2018年全国高考理科数学(全国一卷)试题及参考答案

1、2018年全国普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学一、选择题：(本题有12小题，每小题5分，共60分。)1-i .1、设z=+万,贝卜z I =()111A.0B. C1D.,2、已知集合 A=x|x 2-x-2>0,则CrA=()A x|-1<x<2B、x|-1 <x<2G x|x<-1 U x|x>2D、x|x <-1 Ux|x >2.二二-3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下 饼图：建设前经

2、济收入构成建设后经济收入构成则下面姑例中不正确的是()比例A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S为等差数列an的前n项和，若3&=S+S, ai=2,则a5=()A -12B、-10C、10D 125、设函数f (x) =x3+ (a-1 ) x2+ax.若f (x)为奇函数，则曲线y=f (x)在点(0, 0)处的切线 精心整理方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6、在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则商

3、=()A. -1 B.1 - C.+1 D.1 +444444447、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上，从 M到N的路径中，最短路径的长度为()A.2. 1B.2C.3D.28.设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2, 0)且斜率为£的直线与C交于M, N两点，则晶前 3精心整理二()A.5B.6C.7D.89.已知函数f . (x) = e x<0, g (x) =f (x) Jnx» x>0.+x+a,若g (x)存在2个零点，则a的

4、取值范围是()A.-1 , 0) B.0 , +00) C.-1 , +00) D.1 , +0010 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径 分别为直角三角形ABC勺斜边BC,直角边AB, AC.ABC勺三边所围成的区域记为I ,黑色部分记P1, P2,为H,其余部分记为田。在整个图形中随机取一点，此点取自I , H,m的概率分别记为BP3,则()A.pi=p2B.pi=p3C.P2 = P3D.P1=P2+P311 .已知双曲线C: 4y2=1 , O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点 3"分别为M N.若O

5、MM直角三角形，则I MN =（）A. B.3C、；D.4/4.* ,LJ " /.12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面值所成的角都相等，则s截此正方体所得截面面 积的最大值为（）AW'W4342' -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。rx-2y2<013 .若x, y满足约束条件x*y + l>0则z=3x+2y的最大值为.、”014 .记S为数列 的前n项和.若S=2a+1,则S6=.15 .从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有I I 种.（用数字填写答案）16 .已知函数f （x）

6、 =2sinx+sin2x ,贝U f （x）的最小值是.三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17. （12 分）在平面四边形 ABCDK /AD(=90° , / A=45° , AB=2, BD=5.(1)求 cos/ADB(2)若 DC=2枚，求 BC18. (12 分)如图，四边形ABCM正方形，E, F分别为AR BC的中点，以DF为折痕把？DFCW起，使点 C到达点P的位置，且PF± BFP(1)证明：平面PEFL平

7、面ABFD)(2)求DP与平面ABFM成角的正弦值.£怎二 _19. (12 分)C设椭圆C: £+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交个A0).(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/ OMA=OMB., ILI I .(产、| I 1 120、(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P (0<P<D,且各件产品是否为不

8、合格品相互独立。(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (P),求f (P)的最大值点 物。(2)现对一箱产品检验了 20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的 题 作为P的值，已/ I 卜.,1.知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。(i )若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX(ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21、(12 分)1已知函数 ：.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点Xi,X2,证明：区也一出

9、以<口-2 ."一限(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。22.选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C?的方程为y=k I x I +2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为2+2 cos, i-3=0.(1)求C?的直角坐标方程：(2)若C?与C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.23.选彳4-5 :不等式选讲(10分)已知 f (x) = I x+1 I - I ax-1 I .(1)当a=1时，求不等式f (x) >1的解集；(2)若xC (0,

10、 1)时不等式f (x) >x成立，求a的取值范围.绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. B5. D6. A7. B8. D9. C10. A11. B12. A、填空题13. 614. J6315. 1616-今解答题17.解:（1）在 ABD中，由正弦定理得BDABsin ZA sin ZADB由题设知,sin 45 sin ZADB,所以 sin ADB= 52由题设知，ZADB <90号所以cos/ADB =2.23255由题设及（1）知，cos/BDCS/ADB -在 BCD中，由余弦定理得所以BC =

11、5 .18.解:（1）由已知可得,BF_LPF, BF _LEF ,所以 BF _L平面又BF仁平面ABFD,所以平面PEF _L平面ABFD .(2)作 PH _LEF ,垂足为H .由（1）得，PH _L平面ABFD .以H为坐标原点,Hur的方向为y轴正方向,uuu 、. 一|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H -xyz .由（1）可得,DE_LPE.又 DP=2,DE=1 ,所以 PE =73 .又 PF =1 , EF =2 ,故 PE _L PF .可得PH23EH =2则 H (0,0,0),urndp=(1,2,岁，器=（0。彳）为平面ABFD的法向量.urn uu

12、ui2_设DP与平面ABFD所成角为日，则sine .擂喘|=马=史. |HP|DP| 34所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 壬.19.解：(1)由已知得F(1,0) , l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为(1乌 或(1,_乌.22所以AM勺方程为丫=卫x+短或Y也 X应. 22(2)当 l 与 X 轴重合时，ZOMA =ZOMB =0°.:l-r -厂 一当l与X轴垂直时，OMfe AB的垂直平分线，所以NOMA =/OMB .当l与X轴不重合也不垂直时，设l的方程为y =k(x1)(k#0) , A(X1,y1) , B(x2,y2),则x , X2.2,直线MA

13、MB的斜率之和为kMA-kMB = y1 y2 .Xi -2 X2 -2由 y =kx, k , y2 =% -k 得(Xi - 2)(X2 - 2)2kx1X2 -3k(X1 X2) 4kkMA 'kMB =2将y =k(x -1)代入人+y2 =1得 22222(2k1)x -4k x 2k -2 =0.所以,X1 X2 =4k22k2 -22, X1X2 =22k2 12k2 1贝 2kx1x2 -3k(x1 x2) 4k =3334k3 -4k -12k3 8k3 4k22k 1=0.从而kMA +kMB =0 ,故MA MB的倾斜角互补.所以noma =nomb .综上，.

14、OMA =. OMB .精心整理20 .解：(1) 20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p)=c2op2(1 p)18.因此 218217_217f (p) =C2o2p(1p) _18p(1p) =2C20P(1p) (110p).令 f (p) =0,得 p =0.1.当 pw (0,0.1)时，(p) >0;当 pw (0.1,1)时，(p)<0.所以 f (p)的最大值 点为 p。=0.1.(2)由(1)知，p=0.1.(i )令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y|_| B(180,0.1) , X =20m2 + 25Y , 即 X =40 25Y

15、 .所以 EX =E(40 25Y) =40 25EY =490 .(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX >400 ,故应该对余下的产品作检验. .二二.21 .解：2(1) f(X)的定义域为(0, F , f (x)=1= X Ux 1. X X X(i )若a W 2 ,则f (X) < 0 ,当且仅当a =2 , x =1时(x) =0 ,所以f (x)在(0,y)单调递减.a aa a 4 a a 4(11)右 a >2 ,令 f (x) =0 彳寸， x =或 x =.22当 x W (0, ":4) U (a:

16、4,代)时，f '(X) <0 ；22当X W (aS, a1支&)时f，(x) >0.所以f(x)在(0,且AS),(旦士五二,收)单调递减， 2222在(匕日三,让近三4)单调递增. 22(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f (X)的两个极值点X1,X2满足X2-ax+1=0 ,所以X1X2 =1,不妨设X1 <X2,则X2>1 .由于f (x1) - f (x2)11nxi In x2In x1 Tn x2-2ln x2=1 +a=-2 +a=-2 + a，X1 - X2XX2X1 - X2X1 - X2A一 X2X

17、2所以 f(x1) -f(X2)磔 _2等价于 1 _x2 +2ln x? <0. X - X2X2设函数g(x) =1x+2ln x ,由(1)知，g (x)在(0, 依c)单调递减，又g1) £，从而当x w (1,)时， xg(x)：0.所以1 _x2 +2ln x2<0,即"x1)f(x2)<a -2. x2xi - x222 .解：(1)由* =8$1, y = Psinl得C2的直角坐标方程为 22(x 1) y =4./ 11r. I ,LJ J /, (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知，G是过点B(0,2)且

18、关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为L, y轴左边的射 I . 一一一线为12 .由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.当11与C2只有一个公共点时，A到11所在直线白距离为2,所以 W2|=2,故卜=-f或k=0. k2 13经检验，当k=0时，11与C2没有公共点；当k=f时，11与C2只有一个公共点，12与C2有两个公共3点'：)八、.'1 F3r y ) .X,当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线白距离为2,所以，幺=2,故卜=0或卜=£ . .k 13经检验，当k=。时，11与C2没有公共点；当k=4时，12与C2没有公共点. 3综上，所求G的方程为y=-4|x|2 323 .解：-2 , x< -1, (