第三章微分中值定理与导数的应用ppt课件

1、兰州交通大学数理与软件工程学院第三章第三章 微分中值定理与导数的运用微分中值定理与导数的运用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第二节第二节 洛必达法那么洛必达法那么第三节第三节 泰勒公式泰勒公式第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性兰州交通大学数理与软件工程学院第七节第七节 曲率曲率第六节第六节 函数图形的描画函数图形的描画第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值兰州交通大学数理与软件工程学院第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理兰州交通大学数理

2、与软件工程学院2019-4-10一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理0 x)(0 xu0 x费马引理费马引理 设函数设函数f(x)f(x)在点在点 的某领域的某领域 内有定义，并且内有定义，并且在在 处可导，假设对恣意的处可导，假设对恣意的 ，有，有)(0 xux )()()()(00 xfxfxfxf 或或那么那么0)(0 xf证证 无妨设无妨设 时，时， 假设假设可类似的证明可类似的证明. . 于是，对于于是，对于 ，有，有)(0 xux )()(0 xfxf )()(0 xfxf )(00 xuxx )()(00 xfxxf 从而当从而当 时，时，0 x; 0)()(00

3、 xxfxxf兰州交通大学数理与软件工程学院当当 时时0 x0)()(lim)()(0)()(lim)()(0000000000 xxfxxfxfxfxxfxxfxfxfxx; 0)()(00 xxfxxf根据函数根据函数f (x)f (x)在在 可导的条件极限的保号性，便得到可导的条件极限的保号性，便得到0 x0)(0 xf所以所以兰州交通大学数理与软件工程学院兰州交通大学数理与软件工程学院几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC例如例如, ,32)(2 xxxf).1)(3( xx,

4、3 , 1上上连连续续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf2019-4-

5、10兰州交通大学数理与软件工程学院, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有, 0 x若若; 0)()( xfxf则则有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院)11()(32 xxxf例例例例 0 , 10 , sin)(xxxxf 上例阐明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件上例阐明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不但不是必要条件是必要条件.2) 罗尔定理的结论中罗尔定理的结论中不是独一的不是独一的.1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成

6、立都是重要的罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.关于罗尔定理的几点阐明关于罗尔定理的几点阐明3) 将罗尔定理的条件将罗尔定理的条件1.2.换为换为a,b上可导上可导,结论仍成立结论仍成立.2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例1 1.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设另有设另有. 0)

7、(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf 结论亦可写成结论亦可写成二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几

8、何解释几何解释: :.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证 分析分析: :).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在0)

9、()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或留意留意: :拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数在这区间内某点处的导数之间的关系. .2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式

10、又称有限增量公式. .2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院拉格朗日中值公式的几种表达方式拉格朗日中值公式的几种表达方式)()()()1abfafbf abafbff )()()()2 )(之间之间与与在在ba )(之间之间与与在在ba )10( )()()()3 ababafafbf)10( )()()()4 xxxfxfxxf.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论推论2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证证明明证证 1 , 1

11、,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即2

12、019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院几何解释几何解释: :)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf2019-4-10兰州交通大学数理与软件工程学院例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(, 1 , 0)(fffxf 使使至至少