2.1弧微分与曲率ppt课件

1、教学要求：教学要求：1.了解弧微分的概念及计算了解弧微分的概念及计算; 2. 了解曲率和曲率半径的概念了解曲率和曲率半径的概念; 3. 会计算曲率和曲率半径会计算曲率和曲率半径. .弧微分弧微分一一 .曲率及其计算公式曲率及其计算公式二二 .曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径三三 .弧微分弧微分一一1. 弧长函数弧长函数NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时

2、取正号取正号一致时一致时的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM.)( 是是单单调调递递增增函函数数则则弧弧长长函函数数xss 2. 弧长函数的导数与微分弧长函数的导数与微分 用导数定义求得用导数定义求得, 如下图如下图.M RT0M0 xMxxx xyo.,MMxxx 曲曲线线由由时时当当由由MMMMMMs 00则则 22222xMMMMMMxMMxs 2222xyxMMMM 221xyMMMM 221xyMMMMxs, 1limlim0 MMMMMMMMMMxyxyx 0lim 22001limlimxyMMMMxsxx21 dxdy又又s=s(x)是单增函数是单增函数, 21 dxd

3、ydxds21y 2)(1xf dxyds21 从从而而弧微分公式弧微分公式Example 1. .),( )()(dsttytx求求为为参参数数设设有有曲曲线线 Solution.,)( dttdx dttdy)( dxdxdyds2)(1 .)()(22dtttds dtttt)()()(12 Example 2.Solution.,sin)(cos)( ryrx,sin)(cos)( rrddx ,cos)(sin)( rrddy .)()(22 drrds .),(dsrr求求设有曲线设有曲线 .曲率及其计算公式曲率及其计算公式二二1. 曲率定义曲率定义曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的

4、量曲率是描述曲线局部性质弯曲程度的量. 弧长相同时弧长相同时,弧段弯弧段弯曲程度越大转角越大曲程度越大转角越大转角相同时转角相同时,弧段弧段越短弯曲程度越大越短弯曲程度越大1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )1 )曲线的切线转过的角度称为转角曲线的切线转过的角度称为转角. 定义定义: , 的切线转角为的切线转角为到到由由设设MMsMM) S S) .M .MC0Myxo; )1(称为平均曲率称为平均曲率sK .,lim )2(0处的曲率处的曲率称此极限值为点称此极限值为点存在存在若若Mss .lim 0sdsdKs 记记为为注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处

5、处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径圆上各点处的曲率等于半径的倒数的倒数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.2. 曲率的计算公式曲率的计算公式 为为则其上任一点处的曲率则其上任一点处的曲率二阶可导二阶可导设设, )(xfy .)1(232yyK Proof.,dsdK .1 2dxyds 且且,tan y又又dxdy 2secdxdy )1(2.12dxyyd .)1( 232yydsdK 若曲线方程为参数方程若曲线方程为参数方程: ),(),(tytx ,)()(ttdxdy 则则,)()()()()(322tttttdxyd 代入曲率的计算公式可得代入曲率的计算公式可得: .)()

6、()()()()(2322ttttttK .曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径三三1. 曲率半径曲率半径 .1,1),0()(:KMKKMxfyC 记记为为点点处处的的曲曲率率半半径径称称为为则则处处的的曲曲率率为为上上一一点点设设曲曲线线2. 曲率圆曲率圆 D)(xfy Mk1 xyo.,1,)(:为曲率中心为曲率中心点处的曲率圆点处的曲率圆此圆即为此圆即为为半径作圆为半径作圆圆心圆心为为以以点使点使取取在其凹侧在其凹侧作曲线的法线作曲线的法线处处上点上点在曲线在曲线DMDKMDDMNMxfyC N(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 KK即即注意注意: :(2)曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).(3) 曲率圆与曲线在点曲率圆与曲线在点M处有相同的切线与曲率处有相同的切线与曲率.Example 3.?2径径并求出该点处的曲率半并求出该点处的曲率半上哪一点处的曲率最大上哪一点处的曲率最大cbxaxy Solution.,2,2aybaxy .)2(1223