第七章习题课ppt课件

1、第七章第七章 习题课习题课平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数延续的概念延续的概念极极 限限 运运 算算多元延续函数多元延续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容全微分全微分的运用的运用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法那么求导法那么复合函数复合函数求导法那么求导法那么全微分方式全微分方式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的运用经济上的运用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念1.1.区域区域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(0

2、00yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，1邻域邻域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 3n维空间维空间 设设 n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 n元数元数组组),(21nxxx的全体为的全体为 n维空间，而每个维空间，而每个 n元数组元数组),(21nxxx称为称为 n维空间中的一个维空间中的一个点，数点，数 ix 称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标. 2区域区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域2.2.多元函数概念多元函数概念

3、。上上）的的图图形形（或或图图像像）（在在为为函函数数中中的的子子集集的的值值域域，并并且且称称称称为为函函数数的的定定义义域域，称称为为函函数数称称为为因因变变量量，称称为为自自变变量量，其其中中或或值值）函函数数，记记作作元元（实实上上的的一一个个称称为为定定义义在在的的任任一一映映射射到到实实数数集集的的一一个个非非空空子子集集，从从是是设设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定义3.3.多元函数的极限多元函数的极限定定 义义 设设 函函 数数),(yxfz 的的 定定 义义 域域 为为),(,00

4、0yxPD是是其其内内点点或或边边界界点点， 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ，总总存存在在正正数数 ，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切点点，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，则则称称 A A 为为函函数数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时时的的极极限限， 记记为为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf这这里里|0PP ）. 阐明：阐明：1定义中定义中 的方式是恣意的；的方式是恣意的；0PP 2二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx3二元函数的

5、极限运算法那么与一元函数类似二元函数的极限运算法那么与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设5.5.多元函数的延续性多元函数的延续性定定 义义 设设 函函 数数),(yxf的的 定定 义义 域域 为为 点点 集集)(,0,00yxPD是是D的的内内点点或或边边界界点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称函函数数),(yxf在在点点0P处处连连续续. . 如如果果),(yxf在在点点),(000yxP处处不不连连续续， 则则

6、称称0P是是函函数数),(yxf的的间间断断点点. . 6.6.闭区域上延续函数的性质闭区域上延续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，在上的多元延续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值2最大值和最小值定理最大值和最小值定理1有界性定理有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元延续函数是上的多元延续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元延续函数，假设上的多元延续函数，假设在在D D上获得两个不同的函数值，那么它在上获得两个不同的函数值，那么它在D D上上获得介于这两值之间的任何值至少一次获得介于这两值之间的任

7、何值至少一次3介值定理介值定理定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，当当y固固定定在在0y而而x在在0 x处处有有增增量量x 时时，相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对 x的的偏偏导导数数，记记为为 7.7.偏导数概念偏导数概念同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),()

8、,(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，y

9、z或或),(yxfy. .高阶偏导数高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数. 的的相相对对改改变变量量函函数数对对存存在在处处偏偏导导数数在在设设函函数数xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之之比比的的相相对对改改变变量量与与自自变变量量xxx xxzzx .,两两点点间间的的弹弹性性到到从从对对称称为为函函数数xxx

10、xyxf . .偏导数在经济上的运用偏导数在经济上的运用: :交叉弹性交叉弹性即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0时时当当 xxxzzx 记记作作的的弹弹性性处处对对在在的的极极限限称称为为,xyxyxf,xzxEE或或 .lim0zyyzyyzzEEyyyzy 的弹性的弹性处对处对在在类似地可定义类似地可定义yyxyxf, .,表表示示需需求求对对收收入入的的弹弹性性需需求求对对价价格格的的弹弹性性表表示示则则表表示示消消费费者者收收入入表表示示价价格格表表示示需需求求量量中中如如果果特特别别地地yxyxzyxfz 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全

11、增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .10.10.全微分概念全微分概念多元函数延续、可导、可微的关系多元函数延续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数延续函数延续偏导数延续偏导数延续函数可导函数可导11.11.全微分的运用全微分的运用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .)

12、,(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.12.12.复合函数求导法那么复合函数求导法那么定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为全导数称为全导数.dtdz 如如果果),(yxu 及及)

13、,(yxv 都都在在点点),(yx具具有有对对x和和y的的偏偏导导数数，且且函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数),(),(yxyxfz 在在对对应应点点),(yx的的两两个个偏偏导导数数存存在在，且且可可用用下下列列公公式式计计算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .13.13.全微分方式不变性全微分方式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间的函数或中间变量变量 的函数，它的全微分方式是的函数，它的全微分方式是一样的一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz .0),()1( yxF隐函数存在定理隐函数

14、存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式14.14.隐函数的求导法那么隐函数的求导法那么隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxF在点在点,(0 xP),

15、00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则方程，则方程,(yxF0) z在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF15.15.多元函数的极值多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),

16、(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：

17、0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数获得极值的条件多元函数获得极值的条件 定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点函数的驻点. .极值点极值点留意留意驻点驻点定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：

18、处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.拉拉格格朗朗

19、日日乘乘数数法法 要要找找函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值：对自变量有附加条件的极值条件极值：对自变量有附加条件的极值二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求求极极限限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则

20、yx cos)cos(sin)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故1. 讨论二重极限讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时, 以下算法能否正确?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230

21、xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未思索分母变化的一切情况, , 1,111xyxxy时例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的恣意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 由于都不能保证自变量在定义域内以恣意方式趋于原点 .特别要留意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要留意在定义域内 r , 的变化应该是恣意的. 同时还可看到, 此题极限实践上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yx

22、yx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故 f 在 (0,0) 延续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以知在点(0,0) 处延续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx例例1. 知知求出 的表达式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2

23、)()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 一样., )(),(22yxyxyxyxf,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .24

24、22114213f yf yxfxfx 例例3 3解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显显然然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy 于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例4 4解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试

25、求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入例例2. 设设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 2

26、3FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(2019 考研)解法解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1例例3.3.设设),(zyxfu 有二阶延续偏导数, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解:xu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1