2018年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题六解析几何十五圆锥曲线的综合问题课时作业文

1、1.(2015 全国卷n)已知椭圆22C： 2+ 2 =a b1(a>b>0)的离心率为课时作业(十五)圆锥曲线的综合问题点(2 ,平)在C上.线段AB的中点为(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点 A B, M证明：直线 OM勺斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析：(1)由题意有 年2瞽，红春=1，解得 a2= 8, b?=4,所以C的方程为x+ !=1.8 4(2)设直线 l： y= kx+b(kw0, bw0),A(X1, y1) , B(X2, y2) , M(xm, yM).22将y = kx+b代入二+y=1得84(2 k2 + 1)

2、x2+ 4kbx+ 2b2-8= 0.X1+X2 2kbxM=2 =2k2+1 'yM= kxM+ b=b2k2+ 1.于是直线0M勺斜率k0- x；= -2k，即 kOIM- k =所以直线OM勺斜率与直线l的斜率的乘积为定值.作直线l与抛物线A B,其中O为原2. (2017 北京卷)已知抛物线 C: y2=2px过点P(1,1),过点0, 2C交于不同的两点 M N,过点M作x轴的垂线分别与直线 OP ON交于点 与 八、(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.解析：(1)由抛物线C： y2=2px过点P(1,1),得p =；所以抛物线C

3、的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为 1, 0 ,准线方程为x=-7.44(2)由题意，设直线1l的万程为y= kx+2（kw0）, 1与抛物线C的交点为M>1, y” , N（x2,1y = kx+2,得 4k* 2 3 * * * *x2+ (4 k-4) x+ 1 = 0,1 x1x2=4F直线ON勺方禾呈为y =/点B的坐标为yxx1, 一 x2丫必因为y1+ x2丫区+ yx 2x1x22x1 =X2y故A为线段BM的中点.=x,1-kxd x2= rrk因为点P的坐标为（1,1）,所以直线 OP的方程为y = x,点A的坐标为（xi, xi）.x= m丹 2 由 y2= 2

4、x可得 y2-2my-4=0,kx1 + 2x2+ kx2+ 2 x1- 2x1x2X22k 2*1x2 + !x?+x12x2X20,则 yy = 4.2y1 又 x1=-,2y2皿x2=2，故 xx2 =yy2一= 4. . y1 y2 4一一因此OA勺斜率与OB的斜率之积为 亍亍=二= 1,所以OAL OBx1 x24故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得 yi + y2=2m2 ,/xi+ X2= n(yi + y2)+ 4 = 2m+ 4,故圆心M的坐标为(m2+2, m),圆 M的半径 r = 'm2+ 22+ m2.由于圆M过点R4, 2),因此APB2 0, 故(xi

5、 4)( X24) +(yi+2)( yz+2) =0, 即 XiX2 4(Xi + X2) + yiy2+ 2( yi + y?) + 20= 0.由(i)可彳导 yiy2=4, XiX2= 4,一,2八i所以 2m mi- i = 0,解得 m= i 或 mi=-.当mi时，直线l的方程为X-y- 2=0,圆心M的坐标为(3,i),圆M的半径为币0,圆 M的方程为(X3)2+(y i)2=i0.i 、一 9 i当mi= 2时，直线l的方程为2X+y 4=0,圆心M的坐标为q ,圆M的半径为,854 ，XOy中,椭圆x yE： a2+b2=i(a>b>0)的离心率为圆M的方程为X

6、4 2+ y+2 2=i6.4. (20i7 山东卷)在平面直角坐标系(i)求椭圆E的方程;(2)如图，动直线l: y=kiX呼交椭圆E于A, B两点，C是椭圆E上一点，直线 OC的斜率为k2,且kik2=72. M是线段OC延长线上一点，且|MC ： I AB =2 : 3, O M的半径为|MC, OS OT是。M的两条切线，切点分别为 S, T.求/SOT勺最大值，并求取得最大值时 直线l的斜率.解析：由题意知冶=兴2c=2，所以a =1，1，L rA、1X22所以椭圆E的方程为7+y2=1.(2)设丹X1, y。，Rx2, y2),X22得(4 k2+2)x2-4>/3kix -

7、 1 = 0.2- + y =1，联立方程一k 3y= Kx亍,由题意知 >0,且X1 + X2=2 3k1_12k2+ 1，X1X2= -22k2+1'所以 | AE| = q1 + k| X1 X2|_ c q1+k2 q1+8k1=2 11 + 2k2由题意可知圆 M的半径r为2r = 3|AB32-j2 qi+k：.,qi + 8ki2k1 + 1由题设知k1k2=所以 k2=44k1因此直线OC的方禾呈为V=2联立方程x222- +y =1，：2 y*ZB 28k1得X二E21y =i+4ki,因此 |OC=x2+ y2=21+8ki1 + 4k2.由题意可知sin/S

8、OT r2 r+|OC 十|OC，而|OCr.21 + 8ki21+ 4k12 ：2 ” + k2 ：1 + 8k11 + 2k231+2k141 + 4k1 5 + k2，令 t=1 + 2k2,则 t>1, 1c (0,1),因此|Oq 3 t2.2t2+t-1 2=>1, 1 2 92 +4当且仅当；=；,即t =2时等号成立，此时匕=±乎/SOT 1/SOT 兀所以sinw)因此石,一一 ，. TT所以/ SOT勺最大值为.3综上所述：/ SOT勺最大值为取得最大值时直线l的斜率为k=±*. 325.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P

9、(1,2) , A(X1, y1) , B(X2,y2)均在抛物线上.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 因为点P(1,2)在抛物线上，所以22=2pX1,y1 y2的值及直线 AB的斜率.y2= 2px( p>0).解得p= 2.故所求抛物线的方程是y2= 4x,准线方程是x=- 1.(2)设直线PA的斜率为kp为直线PB的斜率为kPB,V1 2y2 2则 kPA= t_7(x2 1) , kPB=-7(x2 1), x1 1x2 1B(x2, y2)均在抛物线上，得因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA= - kPB.由

10、 A(x1, y1),2y1= 4xb y2= 4x2,所以yi 2y2 21 21 24y14y2T,所以 yi + 2 = (yz+2).所以 y + y2= 4.由一得，y1-y2= 4(x1 x2),y1-y24所以 kAB= = = 一 1( X1 W X2).X1 X2 y1+y2226. (2017 陕西省高三教学质量检测试题(一)已知F1, F2为椭圆E：看+看=1(a>b>0) 3 .一 .的左、右焦点，点 R1 , 2)在椭圆E上，且|PF1|十|PF2| =4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1, 12分别交椭圆E于A, C和B, D,且l 1H2,

11、问是否存在常数入，1使得两1， bd成等差数列?若存在，求出 入的值，若不存在，请说明理由.解析:I PF| + | PF2| =4,a= 2.，椭圆E：22z+b2=1.将P(12)代入可得b2=3,，椭圆22E的方程为扛上1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时,| AC + | BD = 3+4= 12；当AC的斜率k存在且kwo时，AC的方程为y=k(X+1),代入椭圆方程22x y一十 = 143，并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k212 = 0.设 A(xi, yi)则 Xl+ X2=一QX2, y2)8 k2.24k 1272, X1 , X2="T.3+4k '3+4k| AC = W + k直线BD的斜率为一k1 Xi - X2|2=1 + k2X1 + X22 - 4X1X2 = 2 :3 +4k121 +BD =3+41 22k 12 1 + k=7T21 23k+4k3+4k23k2+47|Aq + |BD = 12 1 + k2 +12 1 + k2 =12.综上，2入=| AC+ | BD = 12,入=274.,、，711、一故存在存数 X =24? 使得|