2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习新人教A版选修2_2

1、2.2.2反证法3E I * i I tl I I III1 而h Pd M. I I hd' I 4i Fkl7 限时规范训练基础练习1. （2017年江西宜春月考）已知a, b, c是互不相等的非零实数，若用反证法证明三个方 程ax2+2bx+ c=0, bx2+2cx+a = 0, cx2+2ax+c= 0至少有一个方程有两个相异实根，反证 假设应为（）A.三个方程中至多有一个方程有两个相异实根B.三个方程都有两个相异实根C.三个方程都没有两个相异实根D.三个方程都没有实根【答案】C2. （2017年安徽蚌埠期末）用反证法证明命题“若 a2+b2=0（a, be R）,则a, b

2、全为0”， 其反设正确的是（）A. a, b至少有一个为 0B. a, b至少有一个不为 0C. a, b都为0D. a, b中只有一个为0【答案】B3.设 a, b, c （0 ,+8）, p= a+ b c, Q= b+ca, R= c+ab,贝U " PQR0"是"P, Q R同时大于零”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】首先若P,Q,R同时大于零，则必有 PQ>0成立.其次，若PQR0且P,Q,R不都大于0,则必有两个为负.不妨设P<0,Q0,即a+b-c<0,b+ca<

3、0,.b<0与be （0,+ 8）矛盾.故p, q R都大于0.4. a+b>c+d的必要不充分条件是 （）A. a>cB. b>dC. a>c 且 b>dD. a>c 或 b>d【答案】D【解析】A, B既不充分也不必要；C是充分不必要；D是必要不充分条件.可用反证法证明如下：若a>c或b>d不成立，则aw c且bwd.两式相加，a+bwc+d,与a+b>c+d矛盾,故条件是必要的.又取 a=10, b= 1, c=4, d=8,知条件是不充分的.5. (2017年安徽黄山期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a, b,

4、 c中至多有一个偶数”正确的反设应为 .【答案】a, b, c中至少有两个偶数6. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+ bx+c=0(aw0)有有理数根，那么a,b, c中至少有一个是偶数”正确的假设为 【答案】a, b, c都不是偶数7.求证：1,小,2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1, 4 2为同一等差数列的三项.可设该等差数列的首项为 a,公差为d,其中1,娟，2分别是等差数列的第 mi n, k项，贝U 1 = a+ ( m- 1) d, /3=a+(n-1)d,2 = a+ (k-1) d,.51 = (n m d,1 =(k- m)d,两式相除得n mk- m又

5、n, k, mC NI+,：_ m有理数又1是无理数，显然等式不成立，假设不成立. .1,小,2不能为同一等差数列的三项.8 .已知 f (x) = x2+px+q.求证：(1) f(1) +f(3) - 2f (2) =2;，”.1(2)| f(1)| , |f(2)| , |f(3)| 中至少有一个不小于 2.证明:(1) f(1) +f(3) - 2f (2) =1 + p+q+ (9 + 3p+q) -2(4 + 2p+q) = 2.1(2)假设 |f(1)| , |f(2)| , |f(3)| 都小于 2,则|f(1)| +2|f(2)| +|f(3)|<2.而|f(1)| +

6、2|f(2)| +|f(3)| >f(1) +f(3) -2f(2) =(1 +p+q)+(9 +3p+q)-(8+4p1+ 2q)=2,出现矛盾.|f(1)| , |f(2)| , | f (3)|中至少有一个不小于2.能力提升9 .若 ABd归被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是（）A.钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形 D .不能确定【答案】B【解析】分 ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD点D在BC上），则/ ADB+ /ADC=ti.若/ AD明钝角，则/ AD 锐角，而/ ADO / BAD Z ADO /ABD ABDW.一 .

7、兀 ACM可能相似，与已知矛盾，只有当/ADB= / ADC= / BAC=万时，才符合题意.10. （2019年贵州贵阳校级模拟）已知数列an, bn的通项公式分别为 an=an+ 2, bn=bn+1（a, b是常数，且a>b）,那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有（）A. 0个 B .1个 C .2个D .3个【答案】A【解析】假设存在序号和数值均相等的项，即存在 n使得d = bn,由题意a>b, nCN*,则恒 有an>bn,从而an +2> bn+1恒成立，所以不存在 n使an= bn.11 .已知集合a, b, c = 0,1,2且下列三个关系： a

8、w2；b = 2；cO有且只有 一个正确，则 100a+10b+c等于.【答案】201【解析】假设正确，不正确，则 aw2, bw2, c=0,不合题意，所以不正确， 即a = 2.所以b=2必不正确，cwo正确.所以b=0, c=1.所以100a+10b+c=200 + 0 + 1= 201.12 .等差数列an的前n项和为S, a1=1 +，2, S= 9+ 3m（1）求数列an的通项an与前n项和Sn；（2）设bn=Sn（ nC N*）,求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解析】（1）设公差为d,由已知，得a1 =2+ 1,3a1+3d= 9+ 3 2.13 . d= 2,故 an = 2n1 +啦，S = n（n+&）.SSi（2）证明：由（1）得 bn=-= n+/2.假设数列bn中存在三项bp, bq, br（p, q,互不相等）成等比数列，则b2 = bpb,即（q+啦）2 = （p