2019届新人教B版导数与函数的综合问题配餐作业

1、2019 届新人教 B 版 导数与函数的综合问题配餐作业配餐作业 (十六 ) 导数与函数的综合问题1 . (2019 沈阳模拟)据统计某种汽车白最高车速为120千米/小时，在匀速行驶时每小时的耗油量y ( 升) 与行驶速度x ( 千米 / 小时 ) 之间有133 如下函数关系：y = 128 000 80+8。已知甲、乙两地相距100千米。(1) 若汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？(2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当x =40时，100 汽车从甲地到乙地行驶了 402.5( 小时 ) ，13 ? ? 3

2、 需耗油 128 000 X408040+ 8? X2.5= 17.5(升)。？ ？所以汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 17.5 升。(2) 当汽车的行驶速度为 x 千米 / 小时时，100 从甲地到乙地需行驶x设耗油量为 h (x ) 升，依题意，13 ? ? 1*? x -x +8 得 h(x )= 128 000 = 1 280x +x 4, 0V80? ? xx <120,33x 800x 80h ' (x ) = 640x 640x <x <120)。令 h ' (x ) = 0,得 x = 80,因为当x (0,80

3、)时，h ' (x ) v 0, h (x ) 是减函数；当 x C (80,120)时，h ' (x ) > 0, h (x )是增函数，所以当 x =80 时，h (x )取得最小值h (80) =11.25。所以当汽车以 80 千米 / 小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。2 . (2019 长春模拟)设函数 f (x )= ln x ax , g (x )= e x ax ,其中 a为实数。(1) 若f (x )在(1 , +°°)上是单调减函数，且 g (x ) 在(1 , +°°)上有最小值，

4、求 a 的取值范围。(2) 若g (x )在(一1,十8)上是单调增函数，试求f(x ) 的零点个数，并证明你的结论。1 解析：(1)f (x ) = x a。在(1 , +°0)上恒成立，1 则 aAx,xC(1,十°°)，故 a >10 g z (x ) = e x a,若 1 &a <e ,则g'(x ) = e x a >0 在(1 , +°0)上恒成立，此时，g (x )= e x ax在(1 , +°°)上是单调增函数，无最小值，不合题意；若a >e ,则g (x )=e x ax在

5、(1 , In a ) 上是单调减函数，在(lna , +°°)上是单调增函数，g (x ) min = g (lna ),满足题意。故a的取值范围为a >e。(2)g (x ) = e x a RO 在(一1,十°°)上恒成立，1 则ae x ，故ae,1 ax 1f (x ) = x a = x x >0)。1( i )若 0va <e1 ? ?令f ' (x ) >0得增区间为0, a ? ; ? ? 1?令f ' (x ) v 0得减区间为a ,?。 ? ?当 x 0 时，f (x )f oo；当 x 十8

6、 时，f (x )f oo；?1?Lx=a f a ? = - In a -1>0,? ?1 当且仅当a =e时取等号。1 故当a =e时，f (x ) 有1个零点；1 当0vave f (x ) 有2个零点。(ii)若 a = 0 时，则 f (x )= ln x ,易得 f (x ) 有 1 个零点。(iii)若 a V0,1 则f'(x ) = x 2>0在(0,十00)上恒成立，即f (x )= In x ax在(0,十°°)上是单调增函数，当 x 0 时，f (x )f oo；当 x 十00 时，f (x )一十00。此时， f (x ) 有

7、1 个零点。1综上所述，当a =e或aW0时，f (x ) 有1个零点；1 当0vave f (x ) 有2个零点。3 . (2019 山西四校联考)已知f (x )=ln x -x +a+1。(1) 若存在x C (0 , +°°)使得f (x )>0成立，求a的取值范围;11(2) 求证：当 x >1 时，在(1)22 + ax a >x ln x+2解析：(1)原题即为存在x >0,使得 ln x x + a +1 >0,.' a > In x +x 1,令 g (x )=In x +x 1,x 11 则g (x ) = x

8、 1x令 g ' (x ) =0,解得 x =1。当 0Vx V 1 时，g ' (x ) v 0, g (x )为减函数，当x >1时，g ' (x ) >0, g (x )为增函数，g (x ) min = g (1) =0, a >g (1) = 0。故a的取值范围是0,十8)。(2) 证明：原不等式可化为121x+ax x In x a 22 >0(x > 1, a >0)121 令 G (x )=2x +ax -x In x a2G (1)=0。由可知x In x 1>0,则 G (x ) =x+a In x 1 &g

9、t; x In x 1>0,G (x )在(1 , +oo)上单调递增， .G (x )>G (1) =0 成立，121 2+ ax x In x a 20 成,121 即 2+ax a >x In x +2x +14. (2019 东北三校联考)已知函数f(x )=e为自然对数的底数) 。(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；1(2) 设函数 (Hx )=xf (x )+tf ' (x ) e ,存在实数 x 1 , x 2 c 0, 1,使得2 (J)(x 1) v 6(x 2)成立，求实数t的取值范围。x 解析：(1) ,函数的定义域为R , f '

10、 (x ) =- e:当 x V0 时，f ' (x ) > 0,当 x >0 时，f ' (x ) V 0,f (x ) 在(一8, 0)上单调递增，在(0 ,十8)上单调递减。(2) 假设存在 x 1 , x 2 0,1,使得 2 6(x 1) v (Rx 2)成立，则 2 6 (x )min < ()(x )max 。2x + (1 t )x + 1 x ()(x )= xf (x )+tf (x ) +e =, e x 2 +(1 +t )x -t (x -t )(x 1)' (x ) o e e 当 t ni 时，旷(x ) <0, (

11、)(x )在0,1 上单调递减，e ：2 6 (1) v 6 (0),即 t >321。当t0时，旷(x ) >0, Hx )在0,1上单调递增，：2 6(0) v 6 (1),即 t v32e v 0。当0Vt V 1时，若xC0,t ),旷(x ) V0, (Rx ) 在0 , t )上单调递减；若x C(t, 1, 厂(x ) >0, (Hx ) 在(t, 1 上单调递增，所以 2(Ht )vmax()(0) , 6(1),? t 13t ? ? ， (*) 即 e max ? 1， e ? ?t +1由(1)知，g (t )=e 0,1上单调递减，t + 1423 t

12、 3 故 e <e <2,而 e &e所以不等式(*) 无解。e ? ?综上所述，存在t G(8, 3-2e) U 3- 2?,使得命题成？ ？立。5 . (2019 皖南名校联考)已知函数f(x )=ax ln x (a w0, a CR ) ,(1) 证明：当 a >0 时，f (x )>a (x 1)；x - 1(2)当x C (1 , e)时，不等式a v ln x 恒成立，求实数a的取值范围。解析：(1)证明：依题意，要证f (x )>a (x - 1),即证 ax ln x >a (x 1)；因为 a >0,即证 x ln x>

13、;x 1,即证 x ln xx +1 >0o令 g (x )= x ln x x+1,故 g'(x ) = ln x + 1 1 = ln x ,故 g (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1 ,十8)上单调递增，故g (x )min =g (1) =0,故当 a >0 时，g (x )>0,x 1(2)当a v0时，a In x在(1 , e)上恒成立，故 a v 0。当a >0时，因为x C (1 , e),x 1x1 故 In x >0,故 avln x ? a > In x 。x 1x In xx + 1 令 h (x )= In x h

14、 (x ) = x (In x )(1 ， e) 时，x In x x+1>0,故 h (x ) >0,x 1故h (x )=ln x (1, e)上单调递增，故 h (x )< h (e) =e 1,故 a >e 1,故实数a的取值范围是e 1,十8) U(-oo5 0)。6 . (2019 湖北八校联考)已知函数f(x )=e x , x CR。(1) 若直线y =kx与f (x ) 的反函数的图象相切，求实数 k(2) 若m V0,讨论函数g (x )=f (x )+ mx 2零点的个数。解析：(1)f (x )的反函数为y =ln x ,设切点为 (x 0 ，

15、ln x 0)，1ln x 1则切线斜率为 k =x x x 0 =e, k e。00(3) 函数g (x )=f (x )+mx 2的零点的个数即是方程f (x )数，e x等价于两个函数h (x )=x与函数y =m图象交点的个数。e x (x 2)h ' (x )=x x Q(8,0)时，h ' (x ) > 0h (x ) 在(一8, 0)上单调递增；当 x (0,2)时，h ' (x ) v 0,h (x ) 在 (0,2) 上单调递减；当 x C(2,+8)时，h ' (x ) > 0,(1) 可知，当 x的值;+ mx 2=0根的个h

16、(x ) 在(2, +oo)上单调递增。e 2：h(x ) 在(0,十8)上有极小值为 h (2) =4? e ? e当m C 4, 0?时，函数h (x )=x与函数y = - m图象交点的个? ? 2x数为 1；e 2e x当m =4函数h (x ) x 与函数y =m图象交点的个数为2;e ? ?当 m C 8, 4 时，？ ？e x函数h (x ) x 与函数y =m图象交点的个数为3。e ? ?综上所述，当 m C 8, 4时，函数g (x )有三个零点；？ ？e 2 当m =- 4g (x )有两个零点；? e ?当m C - 40?时函数g (x )有一个零点。？ ？ 2227.

17、 (2019 哈尔滨六中模拟)已知函数f (x )= e x x 2+a,x CR的图象在点 x = 0处的切线为y =bx(1) 求函数 f (x ) 的解析式；(2)当 x C R 时，求证：f (x ) >- x 2 +x ;(4) 若f (x )>kx对任意的x C(0,十8)恒成立，求实数 k的取值范围。解析：(1)f (x )= e x x 2+a,f'(x ) = e x2x,? ? ? f (0) =1 + a=0, ?a=1,由已知？解得？ ？f '(0) = 1 = b,?b =1,故 f (x )= e x x 21。(2) 证明：令 g (x

18、 )= f (x )+ x 2 x =e x x 1,由 g (x ) = e x 1=0 得 x=0。当 x G (8, 0时，g ' (x ) v 0, g (x )单调递减；当x C(0,+8)时，g ' (x ) > 0, g (x )单调递增。g (x ) min = g (0) =0,从而 f (x )> x 2 +x。f (x )(3)f (x )>kx对任意的x C(0,+8)恒成立？ x >k对任意的x C(0,+ °0)恒成立，f (x ) 令 6(x )=x,x>0, ' (x ) =xf ' (x

19、) f (x )x = x (e x 2x ) (e x x 21)x =(x 1)(e x -x 1), x 由(2)可知当 x C(0, +oo)时，e 2 x 1>0 恒成立, 令 g ' (x ) > 0,得 x > 1 ； g ' (x ) v 0 得 0Vx v 1, g (x ) 的增区间为(1 , +°0),减区间为(0,1) , g (x ) min = g (1) =0,k < g (x ) min =g (1) =0,:实数k的取值范围为(8, 0)。8 . (2019 河南八市质检)已知函数f (x )=( x 2 +x 1)e x ,其中e是自然对数的底数。(1) 求曲线 f (x ) 在点 (1 ， f (1) 处的切线；1312(2) 若方程f (x )=3 + 2x +m有3个不同的根，求实数 m的取值范围。解析：(1)因为f(x )=(x 2 +x1)e x ,所以 f ' (x )=(2x + 1)e x + ( x 2 +x 1)e x=( x 2 x )ex 。所以曲线f(x ) 在点(1, f(1)处的切线斜率为k =f '