2019高考数学二轮复习专题提能三数列的创新考法与学科素养教案理

1、3数列的创新考法与学科素养提分策略一探究命题情景应用能力此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景考查数列的有关计算问题.典例卜(2017 高考全国卷I)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,121,2,4,124,8,124,8,16,，其中第一项是20,接下来的两项是 20,21再接下来的三项是 20, 222,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N: N> 100且该数列的前 N项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是()A. 440B. 330C

2、. 220D. 110解析：设第一项为第1组，接下来的两项为第 2组，再接下来的三项为第 3组，依此类推，则第n组的项数为n,前n组的项数和为n n+ 12.,什一八人n n+ 1由题意可知，N> 100,令七一> 100,得n>14, nCN*,即N出现在第13组之后.易得第n组的所有项的和为 F9=2n1,前n组的所有项的和为2(1 J) n=2n+1-n 1 21 2-2.设满足条件的N在第k+1(kC N*, k*3)组，且第N项为第k+1组的第t(t CN*)个数，若要使前N项和为2的整数哥，则第k+1组的前t项的和2t1应与一2k互为相反 数，即 2t1 = k+

3、2, .2t = k+3,，t=log2(k+3),13Xf13+1,当 t=4, k=13 时，N=彳4 4= 95V 100,不满足题意；当 t=5, k=29 时，一 29X f29+1 , ，一 一，N=4 5=440;当 t>5 时，N>440,故选 A.答案：A点评本题以软件激活码为背景考查工学生利用逻辑推理分析问题解决新问题的能力,实质上考查了数列求和的应用.对点训练若数列an满足一一-=d（n N*, d为常数），则称数列an为“调和数列”，已知 an+ 1 an一一 1 、正项数列丁为 倜和数列， 且bi+b2+ b2 019=20 190,则b2b2 018的取

4、大值是 一一，1 一 “、一 一 ，,， ,解析：因为数列&是“调和数列"，所以bn+1 bn=d,即数列 bn是等差数列，2 019b2 019 l 2 019（b2+b2 018（由以 b-b2+ b2 S9 = - 20 190，所以 b2+ b2 018 = 20.1又7>0,所以 b2>0）b2 018>0,bn所以 b2+ b2 018 = 20 >2，b2b2 018 ,即b2b2 018100（当且仅当b2=b2 018时等号成立），因此b2b2 018的最大值为100.答案：100提分策略二引入数学文化考核心素养典例卜（2017 高考

5、全国卷n ）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7层塔 共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an,则前7项的和S=381,公比q= 2,依题意，得 S7= -）= 381,解得a1= 3. I2答案：B点评本例以古代传统文化为食景,一 一一考查工与等差数列的通项及前n一项和有关的让算回对点训练1. （2018 衡水中学调研）今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五

6、里， 良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎弩马，问：几日相逢？（）A. 12 日B. 16 日C. 8日D. 9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为 an= 103+ 13( n- 1)一一 一,11= 13n+90,弩马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn=97-2(n-1)=-n十 等，二马相逢时所走路程之和为2X1 125= 2 250 ,所以na； an K Wb； bn)= 2 250 ,1195n/103+13n +90 1nI9"H 三)口 2即22= 2 250,化简得 n2+31n360

7、 = 0,解得 n= 9 或 n = 40(舍去)，故选D.答案：D2 .传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：)3610将三角形数1,3,6,10 ,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列bn,可以推测：(1) b2 012是数列an中的第 项；(2) b2k 1 = (用 k 表本).解析：由题意可得 an=1+2 + 3+ n= ”(“2 1 ) nCN,故 b1=a4, b2= a5 , b3= a9,b4= a10, b5= a14, b6= a15,由上述规律可知：b2k= a5k=k 为正整数

8、),b2k-1= a5k-1(5k 1 ：(5k 1+ 1)5k(5k 1)=22，故 b2 012 = b2X1 006 = a5X1 006 = a5 030 ,即 b2 012 是数列 an中的第 5 030 项.5k(5k1答案：(1)5 030(2) T提分策略三引入临界知识考学科潜力高等数学背景型临界问题典例对于一切实数X,令x为不大于x的最大整数，则函数 f（x）=x称为高斯函c 3 2 , 1B. -n +-n22数或取整函数.若 an = f（n）, nCN*, &为数列an的前n项和，则Sn=（）A#-1nC. 3n2 2nD.29n2 一|n解析：由题意，当n=

9、3k, n= 3k+ 1,- nn= 3k+2 时均有 an= f (-)=3k,所以&n=01 + n 1A. 4B. 3C. 2D. 1解析：对于， =0;当n是奇数时， 的极限.对于，卜11（- 5+Ian2| = |( -1) X22| =2X|( 1) 1| ,当 n 是偶数时，Ian2| |d2| =4,所以不符合数列an的极限定义，即2不是数列(1)nX2|an 2|11x3 + 3x5 +5x7 +-2 (2n1 (2n+1)1 j2n+1 ' 4n+ 1= 1+2由>1，所以对于任意+ 0+1 + 1 + £+2+2 + £ + +

10、(n1) + (n1) +(n1 j+n=3x -2n- 1) + n = 2n 2n.答案：A点评 本题以高斯函数为背景考查数列求和问题.对点训练设无穷数列an,如果存在常数 A对于任意给定的正数 s （无论多小），总存在正整 数N,使得n>N时，恒有|anA v £成立，则称数列an的极限为A给出下列四个无穷数 列：n111'（-；LKL+画中ZTi ； C.1111 一一一 2 一 3n.I2+22 + 23+,"+ * 白1 * 2 + 2X2 +3X2 + nX2 .其中极限为2的数列的个数为（）给定的正数£ （无论多小），不存在正整数 N

11、,使得n>N时，恒有|an2| v e ,即2不是数 .1111' ，一,列:而+而+=+而二1正1f的极限.对于，由Ian 21 =.1111-1+2+ 了+了+ 2n1 2给定的正数£ （无论多小），总存在正整数 11111 :，一2是数列*1 + 2+22+了+ 2 泄极限.nx 2n2| = 2X 2 2+ 3X 2 3+ nx 2n>1, 正整数N,使彳导n>N时，恒有|才21V £N,使得n>N时，恒有| an21V £成立，所以 23对于，|an 2| =|1 X2 + 2X2 +3X2 +所以对于任意给定的正数

12、63; （无论多小），不存在即 2 不是数列1 X 2 + 2X 2 2+ 3X 2 3+ nX2 n22 =智< e ,得n>1-log2£ ,即对于任意的极限.综上所述，极限为 2的数列只有1个.答案：D课后训练提升能力授课提示：对应学生用书第133页一、选择题1.在数列an中，nN*,若史二=k（k为常数），则称an为“等差比数列”，下 an+1 an列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0;等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是（）A.B.C.D.解析：由等差比数列的定义可知，k不为0

13、,所以正确，当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q=1时，an不是等差比数列，所以错误；数列 0,1,0,1 ,是等差比数列，该数列中有 无数多个0,所以正确.答案：C2.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二 人所得与下三人等.问各得几何？”其意思为： “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A.5钱B.5钱33,、C.2钱4Dq钱3"

14、231+ d= 331+ 9d,解析：设等差数列an的首项为31,公差为d,依题意有55231+ d=2，解得431 =3故选D.答案：D3.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“菱草形段”问题：“今有菱草六百八十束， 欲令落一形（同垛）之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了 “垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层 6束）成三角锥的堆垛，故也称三角垛,如图,表示从上往下第二层开始的每层菱草束数,则本问题中三角垛倒数第二层菱草总束数为A. 91C. 1203解析：由题意得，从上往下第 n层菱草束数为1+2+3+ n=nn±l）.n(

15、n+ 1 .1 + 3+6+ 七一I= 680即2匕n+1 0n+ 1JH- 2n(n+ 1 ) =6n( n+ 1) (n+2) =680,，n(n+ 1)( n+2) = 15X16X17,，n=15.故倒数第二层为第14层，该层菱草总束数为14X 15 =105.2答案：B4. （2018 成都联考）等差数列3中的33,a2 017 是函数 f (x) =x36x2+4x 1 的两个不同的极值点，则 k唱：31 m的值为（）B.A. 21C. 2D.-解析：由题易得f '(x)=3x212x +4,因为as,a2 017 是函数 f(x)=x36x2+4x1 的两个不同的极值点，

16、所以 as, a2 017是方程3x212x+4=0的两个不等实数根，所以 as + a 017 =4.又数列an为等差数列，所以 as + 32017 = 2ai 010,即 a1 010 = 2, 从而1 口叫 a1 010 ="培+ 2 =1 ,2,故选B.答案：B5.已知数列an的前n项和为S,点(n, S+3)( nCN)在函数y = 3X2x的图象上，等 比数歹U bn满足bn+bn+1=an(nC N),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是()A.$=2TnB.Tn=2bn+1C. Tn>anD.TnVbn + 1答案：D6 .中国古代数学著作算法统宗中有这样一个

17、问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地，则第二天走了()B. 96 里D. 24 里A. 192 里1叫1f-=378,解得 a1=192,2C. 48 里 -1 解析：设等比数列an的首项为a1,公比q=2,依题意有1- ，一 一一，则a2=192x 2=96,即第二天走了 96里，故选B.答案：B7 .我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前 两步为：,1 1 11第一步：构造数列1

18、,2,3,4,，n.第二步：将数列的各项乘以n,得数列(记为)a1, a2, a3,，an.贝U aa2+a2a3+ + an1an 等于()A. n2B. (n-1)2C. n(n1)D. n( n+ 1)解析：aia+a2a3+ an-®n.，n.n+，.n1 2十 2 3 十 n 1 nn1 n11=n2 - n-= n( n -1). n答案：C8. (2018 衡水中学期末改编)已知函数f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，当x>0时，f(x)<2,对任意的x,yC R, f(x)+f(y) = f (x + y) + 2 成立，若数列an满足 aan= f

19、(0),且 f(an+1)=f(/),*n e N ,则a2 018的值为(A. 26B.2 X 3 2 017 -12C.2X32 °17 12D.2X 3 2 016 -1解析：令x = y= 0得f (0) =2,所以a1= 2.设x1, x2是R上的任意两个数，且 XiVX2,则x2Xi>0,因为当x>0时，f (x) v 2,所以 f(x2xi) <2,即 f (X2) = f (X2-X1 + X1) = f (X2Xi) +f (Xi) - 2<2+ f (Xi) - 2= f (Xi), 所以f(x)在R上是减函数.an 13所以 an+1 =

20、 -即=-+1, an 十 3an+1an所以a+2=3(i + 2)11 I所以U2是以1为首项，3为公比的等比数列,所以 5 + 1=3nT，即 an=777 a 22人 3所以 a2 018=2X3 2°17-1.故选 C.答案：C、填空题9 .意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,，该数列的特点是：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它99前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，则 Zaa + 2-Za2+1的值为.解析：由题意，得aia3-32=1X2 1 = 1, 32a4a3 =1X

21、34 = 1, a3a5 a4=2x5 9=1,a4a6 a2=3X8 25 = 1,，asa10a9 = 21 x55 342：= 一 1,a9an a2o= 34x89 55?=1,所以 Z aai+2 Za2+1= Z ( a a+ 2 a2+1)= 1.i = 1i =1i =1答案：110 . “中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an,则此数列的项数为 .解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故an=15n

22、14.由日 = 15n-14<2 016,解得 nw4,又nCN*,故此数列的项数为 135.3答案：135111 .已知帚函数f(x)=x的图象过点(9,3),令an= -(nC N),记数列anf(n+ 1 广 f(n)的前n项和为Sn,则S 018=.1 一一 .1解析：由备函数f(x)=x"的图象过点(9,3),可得9“ = 3,解得“ =2,所以f(x)=x-,一n.所以 S2 018= a1 + a2+a2 018 = 72-1 + 7311二 "n+ 1 片 f(n)= g + 5 21-啦+ +、2 019 -+ 018 =，2 019 -1.答案：-

23、2 019 - 112 .定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个列叫作等差列，这个常数叫作等差列的公差.已知向量列an是以ai = (1,3)为首项,公差为d=(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn=(xn,用+以门7)垂直，则一=解析：易知 a = (1,3) +(n1,0) =(n,3),因为向量 an与非零向量 bn= (xn, xn+1)(nC* 一 一一N)垂直，所以xn+1n , x10x2x3x4=-所以=一 一 一xn3x1x1x2x3x5x6x7x8x9x10x4x5x6x7x8x9J23三、解答题13 . (2018 临川模

24、拟)若数歹Ubn对于任意的nCN*,都有bn+2bn= d(常数)，则称数4n 1, n为奇数，列bn是公差为d的准等差数列.如数列Cn=*则数列Cn是公差为84n+9, n为偶数,的准等差数列.设数列an满足ai=a,对于n N*,都有an+an+i=2n.(1)求证：an是准等差数列；(2)求 an的通项公式及前 20项和&0. *解析：(1)证明：: an+ an+1= 2n(n N),* an+1+ an+2= 2( n+ 1)( n e N)一*一，得 an+2an=2(nC N).an是公差为2的准等差数列.*.(2) a1 = a, an+an+1= 2n(nC N) , . a + a2=2x 1,即 a2=2 a.其奇数项与偶数项都为等差数列，公差为2,当 n 为偶数时，an= 2-a+(2-1) X2= n-a；, n+1当 n 为前数时，a