2020学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)

1、文档从网络收集而来，已经过整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题 卡相应位置上1. （5分）命题 若a=b,则| a| 二| b| "的逆否命题是.22. （5分）双曲线/天二1的渐近线方程是 .3. （5分）已知复数时汉为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是.1-14. （5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4, 3）到直线3x- 4y+a=0的距离为1,则实数a的值是5. （5分）曲线y=X4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是.6. （5

2、分）已知实数x, y满足条件则z=2x+y的最大值是.7. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C: y2=4x的焦点为F, P为抛物线 C上一点，且PF=5,则点P的横坐标是.8. （5分）在平面直角坐标系 xOy中，圆O： x2+y2=r2 （r>0）与圆M： （x- 3） 2+（y+4） 2=4相交，则r的取值范围是.照此规律，观察下列等式:2=|-X 1X2;2+sin (各二)空 X2X3; 532=lx3X4:32- X 4X 5;3(sin) 2+ (sin)2+ (sin-)2+- + (sin，)2=2n+l2n+l2n+l2n+l10. （5分）若？xCR, x2

3、+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是.11. （5分）已知函数f（x） = （x2+x+m） ex （其中mCR, e为自然对数的底数）.若 在x=-3处函数f （x）有极大值,则函数f （x）的极小值是.12. (5分)有下列命题：“n> 0”是方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件; 力=偲 直线li： ax+y-1=0与直线12： x+ay- 2=0平行”的充分不必要条件; 函数f (x) =x3+mx单调递增”是“心0”的充要条件；已知p, q是两个不等价命题，则“做q是真命题”是“血q是真命题”的必要 不充分条件.其中所有真命题的序号是13. (5分)已知椭圆E:=

4、1(a> b> 0)的焦距为2c (c> 0),左焦点为13F,点M的坐标为(-2c, 0).若椭圆E上存在点P,使得PM/PF,则椭圆E 离心率的取值范围是.14. (5 分)已知 t>0,函数 f (x) = iX) £>t 4,若函数 g (x) =f (f (x)-1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知 ABC三个顶点坐标为A (7, 8),B (10, 4), C (2, -4).

5、(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程.16. (14分)已知数歹!J an满足 a1二1, (an 3) an+1 an+4=0 (n C N*).(1)求 a2, a3, a4；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明.17. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=- 2x上，且 圆M与直线x+y- 1=0相切于点P (2, - 1).(1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为班，求直线l的方程.18. (16分)某休闲广场中央有一个半径为 1 (百米)的圆形花坛，现计划在该 花坛内建造一条六边形观光步道，围

6、出一个由两个全等的等腰梯形(梯形 ABCF和梯形DEFC构成的六边形ABCDEFE域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上， CF为圆的直径(如图).设/AOF=0,其中。为圆心.(1)把六边形ABCDEF勺面积表示成关于8的函数f ( 8);(2)当8为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积.19. (16分)在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E: +vy=1 (a>b>0)的离心 a2 b2率为亨，两个顶点分别为A ( - a, 0), B (a, 0),点M ( - 1, 0),且而靠, 过点M斜率为k (kw0)的直线交椭圆E于C, D两点，其中点C在x轴上方.(

7、1)求椭圆E的方程；(2)若BC± CD,求k的值；(3)记直线AD, BC的斜率分别为k1，k2,求证：，为定值.k220. (16分)已知函数 f (x) =ax- lnx (a R).(1)当a=1时，求f (x)的最小值；(2)若存在x 1, 3,使+lnx=2成立,求a的取值范围；(3)若对任意的x1, +8),有f (x) >f (一)成立，求a的取值范围. x2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理 科)参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题 卡相应位置上1. (5分)命题 若a=b,则| a|

8、 =| b| "的逆否命题是 若| a| w| b| ：贝【I aw b . 【解答】解：命题 若2加，则|a|二|b|"的逆否命题是命题 若|a| w|b|,则awb”, 故答案为：若| a| w | b| ,则aw b”22. (5分)双曲线14二1的渐近线方程是 y=±2x .【解答】解:二.双曲线标准方程为=12其渐近线方程是了 =0, 4整理得y=± 2x.故答案为y=± 2x.3. （5分）已知复数立笔为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是 2 1-i解答解：己+2i =5+2i（l+i）二 G-2） + 2+2）i =521-

9、i （1-D Cl+D 222 1复数士-为纯虚数， IT解得a=2.故答案为：2.4. （5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4, 3）到直线3x- 4y+a=0的距离为1, 则实数a的值是 ±5 .【解答】解：由题意，J已 =1,V9+L6二 a=±5.故答案为土 5.5. （5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是 -3【解答】解：设直线与曲线的切点为P （m, n）则有：产（口）“？（而-，化简求：m=1, b=n-4;I1 4nH-b=nqnr+b=n又因为点P满足曲线y=x4,所以：n=1； 贝U: b=n - 4= - 3;故答案为：-3.6.

10、 （5分）已知实数x,y满足条件叶岁-230K-y<0, y3则z=2x+y的最大值是【解答】解：实数x,y满足条件C s+y-20作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直线y=- 2x+z,则当直线y=- 2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由严可得a（3,3）.此时z=9,故答案为：9.7. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C: y2=4x的焦点为F, P为抛物线C上一点，且PF=5,则点P的横坐标是 4 .【解答】解：:抛物线y2=4x=2px, . p=2,由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等

11、的，. | PF=x+1=5,x=4,故答案为：48. （5分）在平面直角坐标系 xOy中，圆O： x2+y2=r2 （r>0）与圆M： （x- 3）2+ （y+4） 2=4相交，则r的取伯范围是 3V r<7 .【解答】解：由题意，圆心距为5, a | r-2| <5<r+2,3< r<7,故答案为3<r<7.9. （5分）观察下列等式：(sin)2+ (si号)2+ (si叶)(s哈)2+ (sin) 2+ (si 照此规律，2+sin (旦匚)2nx2X3;2+- +sin (A>)2=1"X3X4;2+- +sin (-)

12、 2=-x4X5;9 J(sin) 2+ (sin- ' ) 2+ (sin " ) 2+ (sin-1-1 ) 2= -In (n+1)2n+l2n+l2n+l2n+l -3【解答】解：观察下列等式:(sin-) 2+ (sin-2L)33(sin-H) 2+ (sin2ZL) 55(sin-) 2+ (sinZL)77(sin-) 2+ (sinZL) g92=1xix2;2+ (sin2IL)52+ (sin)72+ (sin-) g2+sin (史L) 2=lx2x3；S 32=lx3X4;32 X 4X 5;3照此规律nsin2n+l)2+(sin2n2n+l)2+

13、 (sinLZn+l)2+ (sin2rL 兀 2n+l)2=- x n（n+1）,故答案为:制（n+1）10. （5分）若？xCR, x2+ax+a=0”是真命题，则实数a |j勺取值范围是0 U4, +8).【解答】解：若? xR, x2+ax+a=0”是真命题，则 =a2 - 4a> 0,解得：a (-8, 0 U4, +oo),故答案为：(-8, 0 U4, +oo)11. (5分)已知函数f(x) = (x2+x+m) ex (其中mCR, e为自然对数的底数).若 在x=-3处函数f (x)有极大值,则函数f (x)的极小值是-1 .【解答】解：f (x) = (x2+x+m

14、) ex,f '(x) = (x2+3x+m+1) ex,若f (x)在x=- 3处函数f (x)有极大值，则 f' ( - 3) =0,解得：m=- 1,故 f (x) = (x2+x 1) ex,f '(x) = (x2+3x) ex,令 f' (x) >0,解得：x>0,令f'(x) <0,解得：x<-3,故f (x)在(-oo, - 3)递增，在(-3, 0)递减，在(0, +8)递增， 故 f (x)极小值=f 0 0) = - 1, 故答案为：-1.12. (5分)有下列命题：“n> 0”是 方程x2+my2=1

15、表示椭圆”的充要条件； 力=偲 直线li： ax+y-1=0与直线12： x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；函数f (x) =x3+mx单调递增”是“心0”的充要条件；已知p, q是两个不等价命题，则“做q是真命题”是“血q是真命题”的必要 不充分条件.其中所有真命题的序号是.【解答】解：对于，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于，; a=± 1时，直线11与直线12都平行，故正确；对于，若函数f (x) =x3+mx单调递增？ m>0,故错；对于，p或q是真命题？ p且q不一定是真命题；？ p且q是真命题？ p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：13.

16、(5分)已知椭圆E:=1 (a> b> 0)的焦距为2c (c> 0),左焦点为F,点M的坐标为(-2c, 0).若椭圆E上存在点P,使得PM=PF,则椭圆E离心率的取值范围是32【解答】解：设 P (x, y),由 PM=72PF? PM2=2PF? (x+2c) 2+y2=2 (x+c) 2+2y2? x2+y2=2c2,椭圆E上存在点P,使得PM=/jPF,则圆x2+y2=2c2与椭圆E: 4+=1 (a>b >0)有公共点， b<V2cv a? !<-J<7?与<e<岁.故答案为：三，=一,若函数 g (x) =f (f (x

17、)14. (5 分)已知 t>0,函数 f (x) = 1 -1)恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是 (3, 4)(x-t) 2-【解答】解：二.函数f (x)=函数 f ' (x)=当xW,或x<t时，f'(x) >0,函数为增函数,当x<t时，f'(x) <0,函数为减函数,故当x=-时，函数f (x)取极大值3函数f (x)有两个零点0和t,若函数g (x) =f (f (x) - 1)恰有6个不同的零点, 则方程f (x) - 1=0和f (x) - 1=t各有三个解,即函数f (x)的图象与y=1和y=t+1各有三个零点,由

18、y|_1 _tx=tk=a27击”-7= ( 3) (2t+3) 2>。得:t>3 C-i2 I故不等式的解集为：te(3, 4),故答案为：(3, 4)二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知 ABC三个顶点坐标为A (7, 8),B (10, 4), C (2, -4).(1)求BC边上的中线所在直线的方程;(2)求BC边上的高所在直线的方程.【解答】解：(1)由B (10, 4), C (2, -4),得BC中点D的坐标为(6, 0)，(2分)所以AD的斜率为

19、k£2=8,分)所以BC边上的中线AD所在直线白方程为y-0=8 (x- 6),即 8x- y 48=0.(7 分)(2)由B(10, 4), C (2, -4),得BC所在直线白斜率为k= =1,(9 10-2分)所以BC边上的高所在直线的斜率为-1,(修分) 所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=- 1 (x - 7),即x+y-15=0.(仰分)16. (14分)已知数歹!J an满足 a1二1, (an 3) an+1 an+4=0 (n C N*).(1)求 a2, a3, a4；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明.【解答】解：(1)令 n=1, - 2a2+3

20、=0, a2=|-,令 n=2,-三央-=+4=0, a3=-,223令 n=3, 04 _+4=0, a4=. 334(2)猜想 an至L(n N*) . n证明：当n=1时，a1=1=A，所以an七L成立，1n假设当n=k时，an="L成立，即ak骞L, nk贝U (ak3) ak+1 ak+4=0,即(% L - 3) ak+1 -+4=0, kk所以平ak+1之R，即ak+1密旦聆' k kk+1k+1所以当n=k+1时，结论an2二L成立. n综上，对任意的nCN*, anL成立.n17. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=- 2x上，且圆

21、M与直线x+y- 1=0相切于点P （2, - 1）.（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为我，求直线l的方程.【解答】解：（1）过点（2, -1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y- 3=0,修分）由产七解得产1 ,所以圆心M的坐标为（1, -2）,分）所以圆M的半径为r=6,（6分）（7分）所以圆M的方程为（x-1） 2+ （y+2） 2=2.（2）因为直线l被圆M截得的弦长为,，所以圆心M到直线l的距离为d=J哼，分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0,此时，圆心M到l的距离为1,不符合题意.若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx,即kx- y=

22、0,由d= JVk3+1（11分）整理得 k2+8k+7=0,解得k=- 1或-7,（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0.（14分）18. （16分）某休闲广场中央有一个半径为 1 （百米）的圆形花坛，现计划在该 花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形 ABCF 和梯形DEFC构成的六边形ABCDEFE域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上， CF为圆的直径（如图）.设/AOF=O,其中。为圆心.（1）把六边形ABCDEF勺面积表示成关于8的函数f （ 8）;（2）当8为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积.【解答】（本题满分16分）解

23、：（1）作 AHLCF于 H,则 OH=co¥, AB=2OH=2coS, AH=sin 9,修 分）则六边形的面积为 f （ 9） =2X-i- （AB+CF） X AH= （2cos+2） sin 9=2 （cos +1） sin ° 泥（0,答）.（6分）（2） f '（8） =2 sin 8 sir+&cos 01） cos =2 （2cos2 Ocos 0- 1） =2 （2cos 0- 1）（ cos +1）.（10 分）令 f'（ 8） =0,因为长（0, 21）,所以cosO=，即8-,（12分） 23当长（0, 2L）时，f 9）&

24、gt;0,所以f （在（0,弓|）上单调递增；当 长（2L, 2L）时，f'（o）<0,所以f （8）在（匹，工）上单调递减， 3232（14 分）所以当8匹时，f （8）取最大值f （匹）=2 （co匹+1） si=，2.33332（15 分）答：当8匹时，可使得六边形区域面积达到最大， 最大面积为豆I平方百米. 32（16 分）19. （16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：弓看=1（a>b>0）的离心 率为亨，两个顶点分别为A （ - a, 0）, B （a, 0）,点M （ - 1, 0）,且而靠, 过点M斜率为k （kw0）的直线交椭圆E于C, D两点，

25、其中点C在x轴上方.（1）求椭圆E的方程；（2）若BC± CD,求k的值；（3）记直线AD, BC的斜率分别为k1, k2,求证：/为定值.【解答】 解：（1）因为3Afli=O,所以3 （ - 1+a, 0） = （a+1 , 0）,解得a=2.（2分）又因为工小过，所以c=/3,所以b2=a2-c2=1, a 2（4分）所以椭圆E的方程为等+y2=1.（2）设点C的坐标为（X0, y°） , y0>0,则 CM= （ - 1 - xo, - y。），CB= （2 - X0, - y0）.因为 BCXCD,所以(1 X0)( 2 X0) +yo2=0.(6 分)2又因为'+yo2=1,4联立，解得xo= 2, yo&l,(8分) 口32/2.(10分)所以 k=272.(3),设 C (xo, yo),则 CD: y=配+1(x+1) ( 2<xo<2 且 xow 1),"工。+1G+1)消去y,2+yo2=1,所以得D (5+2 工口式口所以= k2 .-3%5+2打工口-2一五口产兀二3,得 x2+8yo2x+4yo2 - 4