2020学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷

1、文档从网络收集而来，已经过整理.word版本可编辑.欢迎下载支持2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在 答题卡相应位置上.1. （5分）抛物线y=x2的准线方程是.2. （5分）命题任意正实数a,函数f （x） =x2+ax在0, +句上都是增函数”的 否定是.3. （5分）已知复数z满足（3+4i） z=5i2016 （i为虚数单位），则|z|=.4. （5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001, 002,，500,采用系统抽 样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为 003,这

2、500名学生 分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356 到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 .5. （5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 1023,则判断框中的整数 M的值是.6. （5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程 Ax+By+C=0 （A2+B2w0）表示直 线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0 （A2+B2+C2w0）表示平面的方程.在平面直角坐标系内，点P （xo, y°）到直线Ax+By+C=0的距lAxp+Byn+Cl.离=，,运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直

3、角va2+b2坐标系内，点P （2, 1, 1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=.7. （5分）等轴双曲线的离心率为 .8. （5分）“A 1”是“（a+1） x>2对xC （1, +8）恒成立”的 条件（填 充分不必要、必要不充分、充要”）.9. （5分）过点P （5, 4）作直线l与圆O: x2+y2=25交于A, B两点，若PA=2, 则直线l的方程为.10. （5分）已知双曲线的渐近线方程为|y=±V3< 一个焦点为（°，-2近），则 双曲线的标准方程是.i-J|11. （5分）已知椭圆二十二片1 （为>卜0）的离心率巳二三 , A、B是

4、椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA PB斜倾角分别为a、B,则8 bq-?)=|ss( Q + 昌)12. (5分)已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点.13. (5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆Oi,圆02均与x轴相切且圆心 Oi, 02与原点0共线，Oi, 02两点的横坐标之积为6,设圆Oi与圆02相交于P, Q两点，直线l: 2x- y- 8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小 值为.I 2214. (5分)在平面直角坐标系x0y中，B是椭圆三匚。1必6>0)的上顶点， a2 b2直线y=b与椭圆右准线交于点A,若以AB

5、为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆 内部，则椭圆的离心率e的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14分)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的 部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随 机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据， 整理得到如图频率分布 直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格 为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3时，估计该市

6、 居民该月的人均水费.16. (14分)设a为实数，给出命题p：关于x的不等式目的解集为？， 命题q：函数f (x) =lgax2+ (a- 2) x+的定义域为R,若命题“”q”为真，“p Aq”为假，求实数a的取值范围.17. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A (1, 0), B (3, 0), C (0, 1).(1)求圆M的方程；(2)若直线l “mx2y- (2m+1) =0与圆M交于点P, Q,且而麻=0,求实数 m的值.18. (16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 七方=1 (a>b>0)与直线y=kx (k>0)相交于A, B两点(

7、从左到右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C, 直线AC交椭圆于另一点D.(1)若椭圆的离心率为 暗，点B的坐标为(6,1),求椭圆的方程；(2)若以OD为直径的圆恰好经过点B,求椭圆的离心率.19. (16分)已知圆M: x2+ (y-4) 2=4,点P是直线l: x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA PB,切点为 A B.(I )当切线PA的长度为 班时，求点P的坐标；(H)若4PAM的外接圆为圆N,试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(田)求线段AB长度的最小值.20. (16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a>b>

8、;0)的离心率为与，其焦点在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆的方程；(2)设A, B, M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角9,使0=cos 日 OA-Hsin § OB.(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求 OA2+O3.试卷(附加题)21. (10分)已知矩阵况=2理，其中a, b均为实数，若点A (3, - 1)在矩阵 _b LM的变换作用下得到点B (3, 5),求矩阵M的特征值.22. (10分)在极坐标系中，设圆C经过点P (内，!)，圆心是直线psin(T-65-0)若与极轴的交点.(1)求圆C的半径；(2)求圆C的极坐标方程.1923. （1

9、0分）如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，/ BAC=90, AB=AC=2 AAi=6,点E、F分别在棱BB1、CC上,且 BEBR3CF=kcC.3(1)求异面直线AE与A1 F所成角的大小；(2)求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.24. (10 分)已知数列满足 a 二 -1, a (3n+3)n+1n(1)求证：数列是等比数列;(2)设bjBl' f '求证：当n>2 , n ' N*时，玮陪广斗b日至引2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数 学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请

10、把答案直接填写在 答题卡相应位置上.1. (5分)抛物线y=x2的准线方程是 4y+1=0 .【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y,焦点在y轴上；所以：2P=1,即p卷，准线方程 y=- -|-=,即 4y+1=0.故答案为：4y+1=0.2. (5分)命题任意正实数a,函数f (x) =x2+ax在0, +句上都是增函数”的 否定是 存在正实数 a, 函数 f (x) =x2+ax在0, +00)上不都是增函数 ”.【解答】解：命题任意正实数a,函数f (x) =x2+ax在0, +句上都是增函数” 的否定是 存在正实数a,函数f (x) =x2+ax在0, +8)上不都是增函数故答

11、案为：存在正实数a,函数f (x) =x2+ax在0, +oo)上不都是增函数3. （5分）已知复数z满足（3+4i） z=5F016 （i为虚数单位），则| z| = 1 . 【解答】解：由（3+4i） z=52016,得 -5.0 =5"产I 55（3Ti） ，蛀 _3一.3+4i3<4i3+4i （3+41） （3-4i）55 5 1则 izi=je）2+q）H故答案为：i.4. （5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001, 002,，500,采用系统抽 样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为 003,这500名学生 分住在三个营区，从001到200在

12、第一营区，从201到355在第二营区，从356 到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14 .【解答】解：系统抽样的抽取间隔为空=10,二.随机抽得的第一个号码为003, 被抽到号码l=10k+3, kCN.在第三营区中被抽到的号码为 363, 373-Z93第三个营区被抽中的人数为14.故答案为：14.5. （5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 1023,则判断框中的整数 M的俏是 9 .【解答】解：执行程序框图，有A=1, S=1当满足条件 A< M, S=1+2+22+- +2M=1023由等比数列的求和公式，可知2m+1 - 1=1023,即可解得M=9.故答案

13、为：9.6. （5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程 Ax+By+C=0 （A2+B2w0）表示直 线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0 （A2+B2+C2w0）表示平面的方程.在平面直角坐标系内，点P（X0, yO）到直线Ax+By+C=0的距|Axn+By|离=-=-,运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角 “ 2 + B?坐标系内，点P （2, 1, 1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d= 2 .|Axn4-By n+C |【解答】 解：类比点P（X0, yo）到直线Ax+By+C=0的距离d=,VA2+B2可知在空间中，t c 一，

14、|AKn+Byn+CEri+D|点 P（xo,yo,zo）到平面 Ax+By+Cz+D=0 A2+B2+C2W0）的距离 d=:；,代入数据可知点 P （2, 1, 1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2.故答案为：27. （5分）等轴双曲线的离心率为 _42_.【解答】解：:等轴双曲线中a=bc=I = -ae= 一 a故答案为：.：8. （5分）“A1”是“（a+1） x>2对xC （1, +oo）恒成立”的 充分不必要 条件（填 充分不必要、必要不充分、充要”）.【解答解：若a>1,则x>上一,而N-<1, a+1a+1 e（1, +oo）,是充分条件；

15、若（a+1） x>2 对 x （1, +8）包成立，则x>只需一j01即可， a+1a+1. .a> 1,是不必要条件，故答案为：充分不必要.9. （5分）过点P （5, 4）作直线l与圆O: x2+y2=25交于A, B两点，若PA=2,则直线l的方程为 y=4或40x- 9y- 164=0 .【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4,由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM,根据勾股定理得：QM= ,1,1 '=3,MN=2QM=6,此时直线l方程为y=4,符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k,直线l方程为y-4=k（x-5）,即kx

16、-y+4-5k=0,由割线定理得到AB=MN=6,再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC&AB=3, 2过。作OS AB,连接OA,根据勾股定理得：OC= . / /=4,圆心O到直线l的距离d装亮=4,解得：k=0 （舍去）或k/。， VThJg则此时直线l的方程为 &x-y+4-5x11=0,即40x-9y- 164=0, 99综上，直线l的方程为y=4或40x 9y 164=0.故答案为：y=4 或 40x - 9y - 164=010. （5分）已知双曲线的渐近线方程为|尸士乃山一个焦点为9 -2也），则双曲线的标准方程是 亡-上=1 .一 6 一 2【解答】解：根据题

17、意，要求双曲线的一个焦点为 肛 也网）,在y轴上, 可以设其标准方程为： 弓-9=1,且有a2+b2=d=8, 其渐近线方程为：y=± px,又由该双曲线的渐近线方程为 W土而工,则有辞小， 联立、可得：a2=6, b2=2,则要求双曲线的方程为： 之-盛1;6211. （5分）已知椭圆A、B是椭圆的左、B,则右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA PB斜倾角分别为cos（4-3 ）3 8W （ 口 + 6 ） 5 【解答】解：由题意，A（ a, 0）, B（a, 0），设P（x, y）,贝加岂二a2-b2 3二 a2=4b24b22+ J-1b2-1tanCl "

18、tan P 二cos（ 口 + 目）cosCT厘+式小呢=+"5cos P -sinCL sin S 1-tanG tan &故答案为:12. （5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C包过定点工01【解答】解：设动圆的圆心到直线x=-1的距离为r,因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=- 1,所以动圆圆心到直线x=-1的距离与到焦点（1, 0）所以点（1,0） 一定在动圆上，即动圆必过定点（1的距离相等,0）.故答案为：（1, 0）.13. （5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆Oi,圆O2均与X轴相切且圆心O1, O2与原点O共线，。

19、1, O2两点的横坐标之积为6,设圆O1与圆O2相交于P,Q两点，直线l: 2x- y- 8=0,则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为一塔足.kJ【解答】解：设圆 Oi： (x xi) 2+ (y kxi) 2=k2xi2,圆 O2： (x X2) 2+ (ykx2)2=k2x22,两方程相减可得：2ky=xi+x2 - 2x,与圆Oi联立可得x2+y2=6,令 y 2x=t,贝U y=2x+t,代入可得 5x2 4tx+t2 6=0, =30-t2>0,可得一师&t0狗，: P到直线l的距离为上二军”1,V5 |.y2x=t=-同时，点P与直线l上任意一点 M之间的距

20、离的最小值为' -故答案为：等2214. (5分)在平面直角坐标系xOy中，8是椭圆三+01储>卜>0)的上顶点， /b直线y=b与椭圆右准线交于点A,若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是 (鱼三，1).2 【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T,圆与横轴交点为N,H则MT=b, MH=r=|,要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH<a-或即可，即 MH2-MT2< (a-或)2,2c2c(Z)2-b2< (a-i) 2,化简得 c3-2a2c+a3<0Zc2c? e3-2e+1&l

21、t;0? (e-1) (e2+eT) <0,. e<1,e2+e-1>0? e>xEz£.2椭圆的离心率e的取值范围是(巧工，1)二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的 部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随 机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据， 整理得到如图频率分布 直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格 为4元/立方

22、米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在0.5, 1）的频率为0.1,用水量在1, 1.5）的频率为0.15,用水量在1.5, 2）的频率为0.2,用水量在2, 2.5）的频率为0.25,用水量在2.5, 3）的频率为0.15,用水量在3, 3.5）的频率为0.05,用水量在3.5, 4）的频率为0.05,用水量在4, 4.5）的频率为0.05,二.用水量小于等于3立方米的频率为85%,为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米.（2）当w=3时，该市居

23、民的人均水费为：（0.1 X 1+0.15X 1.5+0.2 X 2+0.25X 2.5+0.15X 3） X 4+0.05X 3 X 4+0.05X 0.5X 10+0.05 X3X 4+0.05 X1X 10+0.05X 3 X 4+0.05X 1.5 X 10=10.5,当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元.16. （14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式日的解集为？，命题q：函数f （x） =lgax2+ （a- 2） x吟的定义域为R,若命题“”q”为真，“p |oAq”为假，求实数a的取值范围.【解答】解：命题p： |x-1|0,得产”<1, .>

24、1;命题q：不等式9 z +(若一 2)>0的解集为Rra>0ta-2 ) ?0若命题 “q"为真，“小q”为假，则p, q一真一假;alp真q假时,p假q真时,我看典X解得a2:a<l工都解得!<耳<1;实数a的取值范围为:17. (14分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A (1, 0), B (3, 0),C (0, 1).(1)求圆M的方程;(2)若直线l “mx2y- (2m+1) =0与圆M交于点P, Q,且加麻=0,求实数m的值.【解答】解：(1)如图,AB中垂线方程为x=2, AC中垂线方程为y=x,联立，户2,解得M (2, 2

25、),y=i210-4-210-11 _ylOVm .而?祗=0, . ./PMQ=90 ,则|PQ|二回,；M到直线mx- 2y- (2m+1) =0的距离为粤L.+42,解得：m= 18. (16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆斗喧=1 (a>b>0)与直线y=kx (k>0)相交于A, B两点(从左到右)，过点B作x轴的垂线，垂足为C, 直线AC交椭圆于另一点D.（1）若椭圆的离心率为 亨，点B的坐标为（6，1）,求椭圆的方程;（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B,求椭圆的离心率.【解答】解：（1）二椭圆的离心率为 坐，点B的坐标为（6,1）,卡岑'为/斗又

26、*除''联立解得 a2=4, b2=c2=2.椭圆的方程为:(2)设 A(X1,y1)，D(x?,y2),则 B ( 一x1，-y1), C ( X1,0).两式相减可得:【乂什式2）（K工2）（¥+0）（¥了2）二0,二号*吟化为 a2=2b2.19. （16分）已知圆M: X2+ （y-4） 2=4,点P是直线l: x-2y=0上的一动点, 过点P作圆M的切线PA PB,切点为 A B.（I ）当切线PA的长度为2:月时，求点P的坐标；（H）若4PAM的外接圆为圆N,试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存 在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（

27、田）求线段AB长度的最小值.【解答】解：（I ）由题可知，圆M的半径r=2,设P （2b, b）,因为PA是圆M的一条切线，所以/ MAP=90 ,所以 MPWs-2b） 2 + （44） 2HAM 2+AP，解得b二0或b二卷所以P二0）或F（容，当这分 55P （2b, b）,因为/ MAP=90,所以经过 A、P、M三点的圆 N以MP为直径,其方程为：）（厂等产二哈炉即（2x+y 4） b （x2+y2 4y） =02sd-y-4=0解得K=0y=4,所以圆过定点S. 41f心，力9分5 b2：.卜- -（田）因为圆N方程为（x-b） 2+ （y - b；，）即 x2+y2 2bx (b

28、+4) y+4b=0圆 M: x2+ (y-4) 2=4,即 x2+y2 8y+12=0-得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+(b-4)y+12-4b=011 分点M到直线AB的距离d=/= T3分V5b£-8b+1620. （16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 +$二1 （a>b>0）的离心 率为手，其焦点在圆x2+y2=1上.（1）求椭圆的方程；（2）设A, B, M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角 9,使0M=cos 6 OA+sin 6> OB.（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值;（ii）求 OA2+O3.【解答】解：

29、（1）依题意，得 c=1.于是，a=/2, b=1.分）所以所求椭圆的方程为 春+v%l-（4分）又设 M (x, y), H OM=ccs 6 OA+sin OB,直二量e + a产y Cos 白 + y/in8（7分）（2）设 A （xi, yi） , B （龙，y2）,L q r r ,（ E 1 CO s 6 + XtSIH 6）213 M在椭圆上，故!L+卬2日+3口电）二22整理得苧8 + （当+ V,9口“+2（1 + 了1 0）苏曰 Bsin®：1将代入上式，并注意cos 8 sin前0,得 叼"2 +V1第二所以，4k新普二小为定化（10分） （h）（岁小

30、）J（Tr）力 a-第;闫-（帝?：）+了力：，故 yi2+y22=1.22又?+¥：）+ 仔+第；）= 2,故 Xi2+x22=2.所以，OA2+OB2=xi2+yi2+X22+y22=3.（化 分）试卷（附加题）21. （i0分）已知矩阵M=2 ",其中a, b均为实数，若点A （3, - i）在矩阵 _b LM的变换作用下得到点B （3, 5）,求矩阵M的特征值.二篇却解彳喉，设矩阵M的特征值为N则f （片=2-X 31=0,化为（22（1 力6=0,化为入2 3入-4=0,./兀si n-解得启=-1 , 22=4.22. (10分)在极坐标系中，设圆C经过点P 的

31、，乌),圆心是直线p6-9)=匹与极轴的交点.2(1)求圆C的半径；(2)求圆C的极坐标方程.【解答】解：(1)因为圆心为直线P sin年-0) =业与极轴的交点, 2所以令8 =0得p =1即圆心是(1 , 0),又圆C经过点P (如,；), 6P (爪，丁)的直角坐标为O所以圆白半径r= -(2)圆C的普通方程为(x-1) 2+y2=1,即 x2+y2 - 2x=0,x2+y2=x= p cos,0AAi=6,圆C的极坐标方程为 田-2 p cos 0 =0即p =2cos.023. (10分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC=90, AB=AC=2点 E、F 分别在棱 B3、CC 上，且 BEBB, C1F&CC. "sjJ-