概率复习测试题含答案

1、概率论与数理统计及其应用习题解答 1 1. 计算机中心有三台打字机 A,B,C,程序交与各打字机打字的概率 依次为0.6, 0.3, 0.1,打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04 已知一程序因打字机发生故障而被破坏了 ，求该程序 是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？ 解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M , “程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件 NI,N2,N3。则根据全概率公式有 P(M)= P(Ni)P(M 1)=0.6x0.01 +0.3x0.05 +0.1x 0.04 =0.025, i 4 根据Bayes公式，该程序是在A,B,C

2、上打字的概率分别为 P(N3)P(M|N3) 0.1 0.04 P(N3 | M )= = - = 0.16。 - 0.025 2. 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含 有杂质检验结果为含有的概率为 0.8;若真不含有杂质检验结果为 不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含 有杂质的概率分别为0.4, 0.6。今独立地对一产品进行了 3次检验, 结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求 此产品真含有杂质的概率。(注：本题较难，灵活应用全概率公式 和Bayes公式) 解：设“一产品真含有杂质”记为事件 A , “对一产品进行3次检验, P

3、(N1 | M )= P(NI)P(M |NI) P(M ) 0.6 0.01 0.025 = 0.24 P(N2 | M )= P(N2)P(M |N2) P(M ) 0.3 0.05 0.025 =0.60 P(M ) 概率论与数理统计及其应用习题解答 2 结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事概率论与数理统计及其应用习题解答 3 铃响后的一分钟以内, 以X表示铃响至结束讲解的时间。设 X 的概 率密度为f(x)= 侬2 1 (1)确7E k ; (2)求 PX 苴； 3 (3) 求 PX 2 3 1 求 PX 菱1 ; (4) 4 2 -bo 解：(1)根据 1 =

4、 J f (x)dx = Jkx2dx 、得到k =3； 3 (2) 1/3 1 PX = 3 A 3 Rxdx = - 1 27 (3) P1 _ X _ 匕=3x2dx = 4 2 1/4 3 (1 I 2 3 1 I 4； I； (4) 2. , 2 2 PX a = (3x dx=1 - 3 2/3 z 、3 2 ! 19 -I = - O 4.设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布，其概率密度为 f (x) =100 0 Lei2/200 x 0 e 其他 件B。则要求的概率为P(A|B)，根据Bayes公式可得 P(A|B)= P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 又

5、设“产品被检出含有杂质”记为事件 C,根据题意有P(A) = 0.4,而 且 P(C|A)=0.8 , P(C|A)=0.9,所以 P(B| A) =Cf x0.8 (1 -0.8) = 0.384; P(B | A) = C；x (1 - 0 x 0.9 = 0.027 故, P(A| B) = . _ = _ 04 x0.384 _ =036 = 0 9046 P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.4 0.384 0.6 0.027 0.1698 3, 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在 P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 概率论与数

6、理统计及其应用习题解答 4 (2)求寿命超过一年的概率; (3)已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率 1 解：(1) PX 26 26100 PX A26X 20 = - 26 PX 20 20100 -X2/200 , e dx -276/200 =e x _x2/200 . e dx 0.25158。 概率论与数理统计及其应用习题解答 5 P1 x 3 =F (3) F(1)= 9/161/8=7/16 ; PXZ1|X3 = P31X3 = F (3) F(1)=7/9。 PX 3 F(3) 6, 设随机变量(X, Y)的联合概率密度为 Ce42x 4y), x 0, y

7、0 0, 其他 试确定常数C,并求PX2 , PXY , PX+Y1。5. 设随机变量X的概率密度为 1/8 0 x2 f(x) = x/8 2x2 = JJf (x,y)dxdy= Jdx J8e2x*y)dy = 2e2xdx 4eyde ； x 2 2 0 2 0 P X Y = f(x,y)dxdy= dx 8e2x 4y)dy = 2exdx 4e*dy = 2e&(1 - e*)dx = Z x y 0 0 0 0 0 3 1 1 -x 1 1 _x P X +Y 0时, 特别地，当x=0.5时 f(x,y)= f 3 x e 顼(1 y), x 0, y 0 ，其他， 0

8、, 解：(1) -He fx(x)= f(x,y)dy = r - 3 2 X -x(1 y) X -x e dy =e 0 2 0, x 0 其fYiX (y I x)二 f(x,y) fX(x) &y, y0 0, 其他 概率论与数理统计及其应用习题解答 7 -be -be (3) PY -11X = 0.5 = fY|X (y | x = 0.5)dy = 0.5e5yd e5。 1 1 8,设(X,Y)是二维随机变量，X的概率密度为 f ，0 x2 fx(x) = 6 、0, 其他 且当X =x(0 x 2)时Y的条件概率密度为 M + xy fYix(y I x) = * +

9、 x/2, y *， 、0, 其他 (1) 求(X,Y)联合概率密度； (2) 求(X,Y)关于Y的边缘概率密度； (3) 求在Y=y的条件下X的条件概率密度fXY(x|y) ”1 +xy 解：(1) f (x, y) = fX(x) fY|X (y | x) = 3 i o C2 - 1 + xy 2 (2) fY(y)=f (x,y)dx= 0 3 、一3( 皿 0 0 x2, 0y1 . 其他 ； y) 0y1 . 其他 1 + xy m 2 (3)当 0 y 1 时， 9设随机变量X具有 X fX|Y(x|y) = f* = fY(y) 分布律 -2 -1 ,0、x、2 2(1+ y)

10、 。 、0, 其他 0 1 3 fY|X (y | x = 0.5)=; 0.5.5y .0, y0 o 其他 概率论与数理统计及其应用习题解答 8 Pk 求Y =X2 +1的分布律 解：根据定义立刻得: Y 1/5 1/6 ，并求DY与DX。 到分布律为 1 2 1/5 1/15 11/30 5 10 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 概率论与数理统计及其应用习题解答 9 10 (1)设随机变量X的概率密度为 求丫=。灭的概率密度。 (2)设随机变量XU(1,1),求Y = (X+1)/2的概率密度。 (3)设随机变量X N(0,1)，求Y = X2的概率密度。 解：设X,Y的概率

11、密度分别为fX(x), fY(y),分布函数分别为 Fx(x),FY(y)。则 (1) 当 y0 时，FY(y)=PY 玄 y=PJ又 y=0, 当 y A0时，FY(y) =PY y =P灰壬 y = PX My2 fY(y) = FY(y)】 =2yfx(y2) =2y/ 所以，fY (y)=， 2yey2 y 0 o 0 y E /c、 1/2 1x1 (2)此时fx(X 0其他 因为 Fy(y) =PY y =P(X 1)/2 日 = PX Hy-1 故，fY(y) = R(y)】=2fx(2y-1)=1, -12y-10时, FY(y) = PY & y = PX2 y =

12、P-., y X 壬 y 故, fY(y)=FY(y)JfX(而未二岩。 -y/2 O 概率论与数理统计及其应用习题解答 10 1 -y/2 -e y 0 fY(y严o 其他。所以, 概率论与数理统计及其应用习题解答 11 11.设随机变量XU (一1,1),随机变量Y具有概率密度fY(y) = y2)， _*y0 , X,Y相互独立。求Z=X+Y的概率密度。 解：根据卷积公式，得 二 z ,3 fZ(z)=fY(y)fX(z- y)dy = byeTzdy = ：z2e”. 所以Z = X +Y的概率密度为 r.-. 3 f z0 fY( y) - i 2 0 其他 13,设随机变量X,Y都

13、在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立, 求Z = X +Y的概率密度。 解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以 1 0 x1 1 0 x1 0其他口”=：0其他 根据卷积公式，得乂 fz(z) = fY(y)fX(z -y)dy =. 1 dy = z2二(1 y2) ； larctan(z 1) - arctan(z _ 1) 1。 7： ye* y a 0 fX (x)=， 概率论与数理统计及其应用习题解答 12 14,设随机变量X和Y的联合分布律为 (1) 求U =max(X,Y)的分布律。 (2) 求V=min(X,Y)的分布律。 (3) 求W=X+Y的分布律。 XY

14、 0 1 2 0 1/12 1/6 1/24 1 1/4 1/4 1/40 2 1/8 1/20 0 3 1/120 0 0 解：(1) U =max(X,Y)的分布律为 PU =k =Pmax( X,Y) =k =PX =k,Y _ k PY =k,X : k, k =0,1,2,3 如，PU =2 =PX =2,Y 2 PY =2,X : 2 = 1/8+1/20 +0 十1/24+1/40 =29/120 , 其余类似。结果写成表格形式为 U 0 1 2 3 Pk 1/12 2/3 29/120 1/120 (2) V=min(X,Y)的分布律为 P(V =k =Pmin( X,Y) =

15、k =PX =k,Y _ k PY = k, X . k, k = 0,1,2 -be fz(z) = Y(y)fx(zy)dy = -=O 1 1dy, z_1 zl z J1dy, 0z1= 0 0, 其他 2-z, z, 0, 住 z ： 2 0z2 =0 + 0 = 0 , 其余类似。结果写成表格形式为 U 0 1 Pk 27/40 13/40 (3) W = X十Y的分布律为 k PW 二 k =PX Y =k二 PX 二 i,Y =k-i, k = 0,1,2,3,4,5 i =0 2 如，PW =2 = PX=i,Y=2i=1/24+1/4+1/8 = 5/12 , i =0 其

16、余类似。结果写成表格形式为 W 0 1 2 3 Pk 1/12 5/12 5/12 1/12 15,设 ZN(0,1)，求 PZ 壬 1.24 , P1.24Z 2.37 , P2.37 Z 1.24; ft? : PZ 壬 1.24=中(1.24) =0.8925 , P1.24 ：Z 2.37 =PZ 2.37 - PZ _ 1.24-令(2.37) - (1.24) =0.9911 0.8925 = 0.0986 P -2.37 Z - 1.24 -，(一1.24)-。(一2.37) =1-、(1.24)-1 一，(2.37) =0.0986 17,设 X N(3,16)，求 P4 X

17、壬8 , P0X 苴场。 解：因为 X N(3,16)，所以 J3N(0,1)。 4 P4 ：X 8 =P ： 壬 1 = n (1.25) n (0.25) =0.8944 -0.5987 =0.2957 4 4 4 .5 -3 .03 P0 已X 土5 = ，()一品()=0.6915 -(1 一0.7734) =0.4649。 4 4 16,设随机变量 X N(H,。2),已知 PX 16 =0.20 , PX 20 =0.90 ,概率论与数理统计及其应用习题解答 14 求P和CT ； !： (1)由 PX 16=中(1) = 0.20=6(0.84)，得至lj 16 N = _0.84

18、b ; CJ 20 PX 190 , PX 1.645 ,从而 、0.16n 0.16n 0.04 n2 -20.232964n+2450.25 A0 ,解出 n304.95 或者 n 201 (舍去)。P170 X ”85( 185 0.5 -200 .160 )( 170 -0.5 -200 160 PX M80：( 180 0.5 -200 160 广：，(-1.54) =1 - 0.9382 = 0.0618 概率论与数理统计及其应用习题解答 15 所以最少要安装305部电话 18, 一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律 X 8 9 10 Pk 0.01 0.29 0.70

19、 (1) 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。 (2) 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意,E(X)=9.69 , D(X) =94.13 - 9.692 = 0.2339。 (1) 以X”X10分别记10次射击的得分,则 10 P2 Xi96 =P J l996：9 2(99619)=二(-0.59) =0.2776 i4 . 2.339 . 2.339 .2.339 (2) 设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y,则 Y B(900,0.01)。由 De Moivre-Laplace 定理，计算得 PY -6 ： 1 _ .：，(6二0

20、.5_9002_0.01) ： 1 - ：，(-1.17) =0.8790 , 900 0.01 0.99 19.设随机变量(X, Y)的概率密度为 be 0 + fX(x) =f(x,y)dy 0 J J松 ，4 bey) dy dx = b1 - e% -x e 4x x_1 0 ： x 0.3+0 0.4 +1 0.3=0. 概率论与数理统计及其应用习题解答 18 Z=Y/ X -1 1/2 1/3 0 1/3 1/2 1 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 E (Z )= ( 1) 0.2+( 0.5)成1+( 1/3) 0+0 X0.4+1/3 01+0.5 0

21、.1+1 0.1 =(1/4)+1/30+1/20+1/10=( 15/60)+11/60= - 1/15. Z (X- Y)2 0 (1-1)2 1 (1- 0)2 或(2-1)2 4 (2- 0)2或(1(1- (-1)2 或(3-1)2 9 (3- 0)2 或(2-(-1)2 16 (3-(-1)2 Pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0 (3) E (Z )=0 X 0.1 + 1 0.2+4 0.3+9 0.4+16 0=0.2+1.2+3.6=5 22.设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间 X (以分计)是一个连续 型随机变量。其概率密度为 x, 0 4x500

22、 (1500)2 1 f (X)= - (x 3000), 1500 x 菱 1500 0 其他 求 E (X) bo 解：E(X) = i=xf (x)dx 皿 1 2 (1500)2 x3 1500 . 1 3 0 (1500)2 1500 x2 - x3 3000 3 1500 =1500(分) cx2 y, x2 y 1 23.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)= 、0,其它 (1)试确定常数c。(2)求边缘概率密度。 -：-： 1 M.fy 解：U ! j 、f (x, y)dxdy = dy cx - - 0 y . 1 2 f . 4 ydx = c q y2

23、d21 c= 21 4 1 21 2 21 2 X fX(x) = jLx ydy=sx(1 0, 4 -x ), 1 一 x 一 1 其它 (3000 - x) 2 (1500)2 dx 概率论与数理统计及其应用习题解答 19 L 5 Y fY(y) =U?d2ydx = ；y2。2,联合分布律为 P (X= 0, Y=2 = P (X=3, Y=0 = C4 一 35 1 1 2 C；=6 C； 一 35 c；c；c； 6 C74 一 35 C；C2 3 C4 _ 35 C；C；12 C74 一 35 C；C2 3 C4 一 35 c33c2 _ _2_ C22C2 1 P (X= 1, Y=1 = P (X= 1, Y=2 = P (X=2, Y=0 = P (X=2, Y=1 = P (X=2, Y=2 = C4 35 P (X= 3, Y=1 = C C4 2 35 P (X