椭圆的定义及其标准方程教学设计

1、1 课题： 2.1.1椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学 田光海 一、 教案背景： 1. 面向对象：高中二年级学生 2. 学科：数学 3. 课时：2课时 4. 教学内容：高中新课程标准教科书数学北师大版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方 程，对曲线和方程的概念有了一些了解， 对用坐标法研究几何问题有 了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可 以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课 有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观

2、察发现、启发引导、 探究合作。在学生的生活体 验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生 数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件 ，精心构建学生白主 探究的教学平台，启发引导学生观察，想象，思考，实践，从而发现规 律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得 知识，体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析 从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例， 对曲线 和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认 识。 2 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一 定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经

3、验，在一定程度上具 备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例， 但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述？如何“定 性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。 他们渴望将感性认识理性化，渴望通过白己动手作图、观察来辨析和 完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生 学好本节课的情感基础。 3. 教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程， 掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方 程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提 高学生的观察、

4、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的 推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法坐标法， 并渗透数形结 合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的 兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。 4. 教学重点与难点 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5. 教学准备 通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学 3 资料制作多媒体课件，白制教具：绘图板、图钉、细绳 三、教学过程 教 学 环 节 教师活动 学生活动 设计意图 创 设 情 ，时1:用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在 水平桌

5、面上，截面为圆形.当端起水杯喝水时， 水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆 形.（演示） 问题1:联想生活中还有哪些是椭圆图形？ 11 1 * J 7 M 5 学生观察 学生举例 引入生活 情境激发 学生的 学 习 欲望，白 然引入新 课，同时与 其实际相 联系，拓宽 学 生 思维， 发展他们 联想、类比 4 问题2: (1)圆是怎么画出来的？ (2) 圆的定义是什么？ (3) 圆的标准方程是什么形式的？ 猜想：1、椭圆是怎么画出来的？ 2、椭圆的定 义是什么？ 3、椭圆的标准方程又是什么形 式? 识猜想椭 圆，开展后 续教学。 引 入 新 课 能力。 使学生在 感叹祖国 科技辉煌 发展的氛

6、 围中认识 椭圆。 用类比的 思想，通过 学生思考已经学过 后回答。的圆的知 情景2: 5 探究1 将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉, 一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆 吗？ 让学生白己动手画图，使其探究性学习， 再提出以下问题： 思考1:在纸板上作图说明什么？ 思考2:在作图过程中，有哪些物体的位 置没变？有哪些量没有变？ 思考3:若调节两图钉的相对位置，所得 到的图形有何变化？ 根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义与两个 定点的距离之和为定长 （绳长） 的点的轨迹为 椭圆 （绳长大于两定点间距离）. 动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想互 动 探 究 形 成 概 念 同桌同学 按

7、照老师 的要求 合 作 画图，并 思考轨迹 上的点具 备 什 么 特 点 展示学生 成果。请学 生代表本 小组交流 探究结论: 给学生提 供一个动 手操作，合 作学习的 机会；通过 实验让学 生去探究 “满足什 么样的条 件下的点 的集合为 椭圆”；让 每个人都 动手画图， 白己思考 问题，由此 培养学生 的白信 心。 6 探究2 在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间 的距离，圆出的椭圆有何变化？ 当两个图钉重合在一起时，圆出的图形是 什么？ 利用动 当两个图钉之间的距离等于绳长时，圆出 画显示结 的图形是什么？ 果 互 当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个 动 图钉之间的距离吗？ 探 定义：

8、平面内与两个定点也距离的和等于常 究 数（大于早也）的点的轨迹叫椭圆。 学生通过 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点 课件观察 的距离叫椭圆的焦距。 思考1：焦点为牝 L的椭圆上任一点 M有什 变化情况 深 么性质？ 化 令椭圆上任点M则有 请学生给 概 网+ |岬国 出经过修 念 补充：若2a = 2c时，轨迹是线段约的；若2a 0） （）叫做椭圆的标 方程X2 y2 a b 准方程。 它表示焦点在x轴上，焦点坐标为 F2(c,0)，其中 c2=a2-b2 . R(c,0), Fl 2 2 彳+与=1 （abA0 ）,它也是椭圆的标准 a b 方程。 此时，椭圆的焦点在y轴上, 焦点坐

9、标为 Fi(0, c) F2(0, -c)，其中 c2 =a2 -b2 我们可以发现，以上两种方案是最好的。 问：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆 的标准方程，如何根据方程判断其焦点在 x轴 上还是在y轴上？（看分母大小，哪个分母大 焦点就在哪一条轴上） 说明: 解曲线与 学生思考 方程的关 后主动发 系，感受恰 言回答。 以上三条， 尽量由学 当选择坐 标系 的 优 越性，感受 标准方程 的简洁、对 称、和谐之 美，并在实 践中通过 对比提高 决 策 能力、 计算能力、 培养学生 简约的思 维能力。 生总结出 培养学生 的观察、分 9 (1) 在两个方程中，总有ab0 (2) 椭圆的三个

10、参数a、b、c满足：c2=a2b2 即 a2 =b2 +c2 , a 最大 要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分母 2 2 的大小。例如椭圆+= 1 (m0 , n0 , m#n) m n 当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当m0) a b a=4, b=1 2 x + 2 , 所程为插y = (2) 因为焦点在y轴上，所以设所求方程为 x2 . y2 工+。=1 (aAb0) b2 a2 a=4, b=1 2 2 , y , 所求方程为x T6 = 1 (3) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标 学生独立 完成学生 讨论 培养学生 运用知识 解决问题 能力 解决情景 设置中的 问题 10

11、准方程为x2 y2 -202=1 （a：bA0） 由椭圆的定义知， 3 2 5 2 f 3 2 5 2 2a =J（ $）2+（5 + 2）2 +（ +（歹 2）2 y 2 2 V 2 2 3 L 1 L = 2ip;i0 =210 a = Ti0 c = 2 b2 = a2-c2 = 10-4 = 6. 2 2 x y ） 所以所求椭圆方程为 6 10 例2.我国发射的神舟八号飞船曳轨前，是在以 地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行，已知它 的近地点B距地面200公里，远地点A距地面 330公里，并且F2、A B在同一直线上，地球 半径约为6371km 河虹程(精确到1kn)。 练 1、如果椭

12、圆壬十 W = 1上一点P到焦点E距 100 36 习 离是6,则点P到另一个焦点F2距离 检 是_ o 检测学习 测 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程 学生练习 成果 (1)两个焦点坐标分别是(0, 2) , (0, -2 ), 当 椭圆经过点R-3,5) 2 2 堂 a+b=10,c= 2 由 11 巩 固 摆脱传统 教学中教 最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个 学生总结 师小结的 别提问，然后集体补充，最后教师才引导和完 出在知识、 做法，以表 善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律 数学思想 格形式出 总 以及所学的数学思想和方法。 等方面的 现，让学生 结 收获 白己总结，

13、 概 这一节课你收获到了什么？ 加深对本 括 布置作业 节课内容 层次1 的认识 1.教材练习A 3.4题 练习B 第二题 层次1 2.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点 的目的是 课 吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法， 强化巩固 后 能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？ 本节内容 提 层次2的 升 层次2 目的是激 课苗U用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知 发学生学 识进行了解。 习的兴趣， 提高数学 文化品位。 12 六、板书设计 椭圆的标准方程 1、 椭圆的定义 2、 椭圆的标准方程 (1) 、焦点在x轴上 (2) 、焦点在y轴上 椭圆标准方程的推导过程 书写 例1: 例2: (1) 详写 (2) 写关键步骤 七、教学反思 本节课整个教学过程为：提出问题一一探索一一解决问题一一归 纳反思提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深 度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点 的突破水到渠成。 本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在白觉进入问题 情境后，在I可题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、 反思等活动把探究活动层层展开、 步步深入，亲身经历知识的产生过 程。使学生在知识的形成过程中，获