概率论复习题解答

1、1概率论复习题一、填充题：1.设事件 A 与 B 互不相容,P(A) =0.2,P(B)=0.3，则P(AuB)= 0.5。2.设事件A与B相互独立，P(A)=0.5, P(B)=0.8，贝U P(Au B) = 0.9,P(A-B)= 0.1。P(A) P(B)=0.5 X (1-0.8)3.设P(A)=0.5 , P(B)=0.4 , P(B|A)=0.8，则P(AU B) = 0.7。4.已知P(A) =0.6, P(AB)=0.3，贝UP(A B)=0.3 ; 0.6X(1-0.3/0.6)P(A|B)+P(A|B) =1。5.从1,2,3,4,5中同时任取3个数，求其中至少含有1个偶

2、数的概率为9/10。6.设一射手进行5次独立射击，每次击中目标的概率0.7，恰有3次命中的概率是C；x0.73K0.32。7.一盒晶体管内有6个正品，4个次品，作不放回抽样，每次任取一个，取两次。 则第二次才取到正品的概率4/15，第二次取到的是正品的概率3/5。8.设随机变量X服从二项分布b(100,0.2)，则PXA1 = 1 0.8100- 20K 0.899。9.设随机变量X服从(0, 1)上的均匀分布，则 P1X1=1/2X(1-ln2)。x11.设随机变量 X 的分布函数为 F(x) =1e5x0，贝 UX 的概率密度0 x 0f(x)=投,XA0。0,x 三 012.X 为连续随

3、机变量，对任意实数C , PX#C= 1。13.设E(X)=H , D(X)=。2,WJE(X-E(X)= 0, D(X-E(X)=U14.设 X 和 Y 是互相独立的随机变量，且 X 服从0,1上的均匀分布,Y 服从参数 为22的指数分布，那么E(XY)=。315.设X与Y相互独立，X N(4,9),Y N(1,4), 乂 Z =2X3Y ,则EZ=5DZ= 72, f(x) = e18,Ex=“乘轮船到达”，B3=“乘汽 车到达” ,B=“乘飞机到达”，则P (A) =HP(Bi)P(Bi|A)=0.3 X 1+0.2 X 1+0.1 x +0.4 X 0=3/20;4312咯窿一1一1/

4、2.5.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计 资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次 为0.05 , 0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%“一般的”占50%“冒失的”占30%现知某 保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”客户的概率是多少？ 解：(1)设A=“某人一年内发生交通事故” ,B=“某人为谨慎的”，B=“某人为 一般的”，B3=“某人为冒失的”，则P (A) =*oP(Bi)P(Bi|A)=0.2X0.05 +0.5X 0.15+0.3x 0.3=0.175;D/ID* PfBjPCBjW一-2/35.、3/7.56.连续型随机

5、变量X的概率密度函数为1一求(1)常效 k ；(2) X 的分布函数；(3) PX2；3(4)随机变量Y =X2的概率密度函数 fY(y)0,x 壬。解：(1)k=2; (2)FX(X) = X2,0 x1,；(3)P1X2=F(2)-F(1)=8/9 ;331, x _ 1.(4)因为FY(y) =PY立y； =P*X2三y,=P一：；y X-旧=Fx(vy)-Fx(ry)，所以 fY(y)=M7(fx(，*fx(Ty),0，7.设连续型随机变量X的概率分布密度为228-1/2321,：。0 ：y : 1,else.f(x)=k(1-x)2|x|10其它611求(1)常数k；(2) EX ,

6、 DX ;(3) P(-X)；22(4) X的分布函数。解：(1) 2上卜成二J.k=3/8 ;31o1cc(2) EX=x(1 x)2dx = , DX =E(X2) (EX)2=2/5 1/4 = 3/20;；8-121/2/c、11、3、213(3)P(-一 X )= 一(1 一 x) dx =;(2) Y = cos(nX)的分布律。a +b + c = 1解：（1）可得方程组.-a+b+2c = 0.5，解之得a=0.3,b=0.6,c=0.1;（_1）2a +12b +22c = 1.3（2） Y=1，对应概率为0.1，此时X=2; Y=-1,对应概率为0.9，此时X=-1,1.9

7、.设离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为X123410.060.020.040.0820.150.040.110.2030.090.040.050.12求（1）关丁X,Y的边缘分布律；（2）判别X,Y的独立性；（3）PXY.解：(1)边缘分布律；X:0.3,0.1,0.2,0.4;Y:0.2,0.5,0.3(2)不独立0.06丰0.3 X 0.3或0.05丰0.2 X 0.3 ,Cov(XY) E(XY)-EXxEY 5.66-2.7x2.1 -0.01.二- =. .二- 二一。on2223223 3D(Y) = E(Y2)-E(Y)2=(-1)20 12=;888 4(2) E(XY)

8、=0,Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y) =0，、XY= 0;(3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X, Y) =3/2;?XY并且已知，E(X2)=1.3.求7丫成廊敏而Y而而西0.888，E(X2)=8.9, E(Y2)=4.9.10.已知随机变量（X,Y）的联合分布为-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8求(1) E(X), D(X), E(Y), D(Y)；(2) PXY；(3) D(X +Y)；(4)X与Y是否相互独立？(请说明理由)323323E(X)=-10 1 =0;E(Y) = -1 0 1=0;888888222322

9、33解：(1) D(X) = E(X2) - E(X)2= (-1)20 12=;888483 3(4) X与Y不相互独立，因为一丰一X 8 8 811.设随机变里(X,Y)的联合概孕分布侔为0 10a0.310.2b(1)求a , b使2 PY = 0= 3 PX= 0; 2 (a+0.3) =3(a+0.2),a=0,b=0.5(2)求关丁X,Y的边缘分布律；X:0.2,0.8;Y:0.3,0.7;(3) Cov(XY) , PX,Y。Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) =1 妇 x0.5-1 x 0.8 号尺 0.7 = 0.06;_2_22_2E(X)=0.8; E(Y

10、)=0.7; D(X)=E(X )E(X) =0 x.2+1 x .80.64 = 0.16;_ _2_222-D(Y)=E(Y )E(Y) =0 x.3 + 1 乂 .7 0.49 = 0.21;PXY=COV(X,Y)/JDXJDY=(0.06)/0.40.458 = 0.327.12.设随机变量(X,Y)的概率密度为x2+1xy0 x壬1,0y2f(x,y)=3 0其它求(1) fX(x), fY( y);(2)判另J X与Y是否相互独立(需说明理由)。(3) PX+Y32, 2122fX(x)=(x + xy)dy = 2x 十 x,0 x1解：(1)033一.1,2.1y . 1一f

11、Y(y)= ( x2+ xy)dx = ； + ,0y2;0363(2)判另UX与Y是否相互独立(需说明理由)。11L,c二 m-, fx(京=5/6 弋侦)=5/122，3 6 12221口21PX +Y M =1 -PX +Y 1 =1-盘 (x +-xy)dxdy =1 -5/36 =31/36.0 03913.设(X,Y)的联合概率密度为10(3)P(X+Y2);(4)判另J X与Y是否相互独立(需说明理由)。解：(1)A=6；(2)fX(x)=。6 危、场 dy =2ea,0 x* ;2 2_x(3)PX+Y0其它 试求(1)常数A；(2)X的边缘概率密度fx(x)；1811求(1)

12、边缘概率密度函数 fX(x), fY(y),并判断X与Y是否独立;(2) P3X4,Y2 ; (3) PX351 ,x5fX(x)= o 777(2xy)dy =篇 房,2：x ：: 6021021 84一612y 16fY(y)- (2x y)dx,0 y ： 52 21010510531722IM 驾飞邃fX(3)=17/84,fY(3)=22/105；4 51W(2x y)dxdy=3/20；1f (x, y) = 3=(仝+?)dx=23/28.321 8416.设随机变量XN(10,22),计算(1) P10X12;(2)PXA12；(3) P|X10|12 =1 PX 80 =1PX80 =1W8165) =1-中(3),5乙组：P(Y 80 =1 -PY 80 =1，(0) =1 -，(2.5), 4因为中(3) a中(2.5)，所以乙组出线的可能性大。(2) X Y N(134,41)18.设连续型随机变量X N(3, 22)(1)求PX 2；(2)求常数C的值，使PX AC = PX 2=1 - P| X |三2 =1一P -