实验曲线的绘制

1、用最小二乘法绘制实验曲线在做各种实验中，可以获得大量的数据。一般的， 我们都会在实验之后，将这些实验数据进行某种处理， 然后用图形来描绘实验结果。用图形来描绘要比提供一大堆枯燥的数据直观明了得多。但是， 因为实验本身会受到各种具体因素的影响。比如： 实验仪器设备的精度、原材料因素、工作人员的水平以及温度等的影响，使得实验数据测得的数据总会或多或少的带有误差。也就是说， 这些实验数据本身就不精确。所以在绘制实验曲线的时候，如果是按点点通过将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰是不符合实际情况的，因而是不可取的。正确的方法应该是用一条光滑的曲线，以适当的方式来逼近这些数据点。因为

2、曲线并不通过每个数据点，所以可以弥补由于误差造成的数据点的跳动用一系列数据点（xi , yi ）（ i=1 ， 2， m），所要绘制的曲线yf ( x) ，用什么样的表尊来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标之差 作为评判的标准。在这里：i f (xi )yi式中 i 成为残差；f ( xi ) 为理论值； yi 为相应的实测值。m常用的评价方法是：使残差的平方和i2 达到最小。 这也就是常说的 “最小二乘法” 。i 1用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就是要找一个经验方程y f (x) 来描述这些数据点，并使每个点的 f ( xi) 和 yi 之差的

3、平方和为最小。所以，第一步首先要根据数据点的分布情况进行预测， 该经验方程可能是属于什么类型。比如说是线性函数， 还是二次函数或其他阶次的多项式曲线。用最小二乘法拟合直线设有测得的数据点 (xi , yi )(i 1,2,m) ，根据这些数据点的分布情况，预测到他们之间呈线性关系，并设该线性方程为一般形式y a1 xa2 。于是，我们可以按最小二乘法的原理建立起下面的式子：mm2(a1 xia2yi )2ii 1i 1其中 xi , yi 为测得的已知数据点的值，故这个方程可以看成是关于a1 和 a2 的函数，即有两个未知数 a1 和 a2 。这两个未知数也就是我们预测的线性方程中的系数和常数

4、项。于是，上式可改写成函数形式为：f (a1 , a2 )( a1 xia2 yi ) 2mi2 达到最小值。也就是要求根据最小二乘法的要求，要使a1 和 a2 为何值时，该函i 1数 f (a1 , a2 ) 能取得极小值。这是一个二元函数求极小值的条件的问题，其条件为：f (a1, a2 )0a1f (a1, a2 )0a22 (a1 xia2yi ) 0即：2 (a1 xia2yi ) xi0展开整理后的：a1xi a2 myia1xi2a2xixi yi上式写成矩阵形式为：xima1yixi2xia2xi yi可以看出， 现行方程组可以有唯一解。这样，求解该方程组可的未知系数a1 和

5、a2 的值，从而使得线性函数表达式ya1 xa2 唯一确定，并可根据该表达式绘出图形。用最小二乘法拟合二次以上多项式曲线设有二次多项式为：ya1 x2a2 xa3 ，那么，我们可以类似的建立起一个多项式的线性方程组如下：xi2xima1yixi3xi2xia2yi xixi4xi3xi2a3yi xi2对于 n 次多项式： ya1 x na2 x n 1an xan 1可以相应地建立起线性方程组为：xinxin 1xma1yixin 1xinxi2x a2yi xixi2 nxi2 n 1xin 1xinanyi xin由上式表示的线性方程组中，系数矩阵为（ n+1 ）× (n+1)

6、 的方阵，有 n+1 个未知数，即 ai (i 1,2, , n 1)，常数项由n+1 个，所以线性方程组有唯一解。我们可以用高斯校园法求解除方程组中的全部未知数：a1 , a2 , an 1 。从而使得所设知n 次多项式为已知。然后可以根据该多项式，使用差值的方法计算出绘图用数据点。对于阶次 n 的取值，一般不要超过 7。过高的阶次不仅会增加运算工作量，并且还会使曲线产生不必要的抖动。具体的取值可以根据实际情况而定，以拟合处最为理想的曲线为准则。解题过程下面，我们总结归纳一下最小二乘法解题编成的思路和步骤。1给出全部数据点 ( xi , yi )(i 1,2,m) ，并确定所需阶次n。2按照

7、下式，建立系数增广矩阵：xinxin 1ximyixin 1xinxi2xiyi xixi2nxi2 n 1xin 1xinyi xin设该增广矩阵为P ，它是一个（ n+1 ）×(n+2) 的矩阵，其中每个元素的赋值式为：xinj k( j 1,2, , n1; k1,2, n 1)p j ,kj1 yi( j 1,2,n1; kn 2)xi3用高斯消元法解线性方程组将增广矩阵 P 化为上三角矩阵Q ，使对角线上元素全为11q1,2q1, 3q1,nq1,n1q1,n201q2, 3q2 ,nq2,n1q2, n20011qn,n1qn, n21qn 1,n2然后用追赶法解出全部未知