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1、对一道课本例题的证明与商榷人教版八年级数学上册PL有一道探究题，源于古希腊著名的“将 军饮马问题”，大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问 题。原题如下：如图1：要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A,B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？S1课本给出了如下的作图及证明方法：如图2,作B关于直线I的对称点B，连结AB与直线I交于点C, 点C就是所求的位置.证明：如图3,在直线I上另取任一点C,连结A C,B C；B C因为直线I是点BB的对称轴，点C, C在I上， CB=CB , C B= C ,BAC+CB=ACBC =A B 在 A C 中, v A B v

2、AC + C''B,. AC+CBv AC + C'' B 即 AC+CB!小.笔者在教学过程中发现，本题如稍作改动，去掉“分别”二字，例如改为：已知：如图4,A ,B到I的距离分别是m km和n km (m<n),AB=a km,要在燃气管道I上修建一个泵站，向A,B两镇供气，泵站修在管8厂道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ffl分析：根据题意，我们可设计出两种管道铺设方案方案一：其中AC丄I于点C设方案中管道长度为d 1 ,则d 1=(AE+AC)km方案一示意囲方案二(见课本例题的作图方法)：设该方案中管道长度为d_,贝S d一二AC+BC二AC

3、+ CB = A B'计算：方案一中，d . = AB+AC=a+n)km方案二中，我们作如图所示的辅助线，在厶ABK中，AK2= a -(n-m)_在厶 AK B，中，d：二 AB，=“汀+ 2?»«+« +a -n + 2mn-m比较：/ d 一，d均为正数，为了比较d 一，d的大小，我们可以比较其平方的大小：d H = (a+m 1, d】=(J/+4枷)？ =a?+4mnd H- d2 = ( a+m)-( a+4mn)二 a+2am+m- a-4 mn二 2am+m-4mn- m1 当 2am+m -4mn>0 时，a> _， 即 a>2n-1 m时，d 一 - d_ >0, d>d2申mn-m1 当 2am+m-4mn=0时，a= 即 a=2n-1 m时，d H - d - =0, / d .= d.mn - m1 当 2am+m!-4mnv0 时，av即 av2n-1 m时，d . J - d_ - <0, d ' v d.1综上可知：当a>2n-Im时，方案二所用的输气管线最短； 当a=2n- m时，选方案一或方案二均可;1当a<2n- 1 m时，方案一所用的输气管线最短从

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