2020年山东省泰安市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.2-i1.复数一；h的共轲复数在复平面上对应的点位于（）1 + 1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2,已知集合 A=xy= J2r, B=x|x2-2xv0,贝U ()A. AAB=?B. AUB=RC. B? AD . A? B3.设 it, nt是非零向量，已知：命题 p： 1r/ 1，口 /1 ,则 if " n ；命题 q：若it 司=0, 口?t=0则ir?n=0,则下列命题中真命题是（A.pVqB. pA

2、qC. (p) Aq)D.)PVq第1页（共21页）4.A.-1C. V3 D. 1cosl 75.执行如图所示的程序框图，则输出6.在二项式一二）”的展开式中,( )A. AC ±SB的值为（）所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为（）A. - 32B, 0C. 32D. 17 .如图，四棱锥 S-ABCD的底面为正方形，SD，底面ABCD ,则下列结论中不正确的是8 . AB / 平面 SCD9 . SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于 DC与SA所成的角8.已知x, y满足条件的值为()A. 1 或一,若z=mx+y取得最

3、大值的最优解不唯一，则实数 mLb. 1 或-2C. - 1 或-2D. - 2 或-二9.已知双曲线yh=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线l: y=2x+10 ,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为A.2-=1B .202K20=1C.3 J 3y251.00L1D.O 2Q KToo10.将函数f(x) =sin2x的图象向右平移()(0 V (j)<7T一)个单位后得到函数 g (x)的图象.若 11对满足 |f (x“ g (x2)|=2 的 x1、x2,7T有 |x1 - x2|min=，则柠()A.B.TTyC.D.二、填空题：本大题共 5小

4、题，每小题5分.11 .长方形 ABCD中，AB=2 , BC=1，。为AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点， 取到的点到O的距离大于1的概率为 .12 .已知直线 ax+by-6=0 (a>0, b>0)被圆 x2+y2 - 2x - 4y=0 截得的弦长为 2/5 ,贝 U ab 的最大值为13 .如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是14.已知函数f (x)一钎十4工，1口盯(工+4)+ 4Mx<12若存在x1 , x2虫,当0双1 <4»242时,第3页(共21页)f (x1)=f (x2),则 x1f (x2)的最大值是 15 .给出下列

5、命题： 已知E服从正态分布N (0,韵，且P ( - 2W2英=0.4,则P ( >2) =0.3;函数f (x - 1)是偶函数，且在(0, +8)上单调递增,1 则f (2百)>f (log*)>f2 已知直线11： ax+3y- 1=0, 12： x+by+1=0,则li，12的充要条件是 /= - 3,b其中正确命题的序号是 (把你认为正确的序号都填上).三、解答题：本大题共 6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 .已知a, b, c分另1J为4ABC三个内角的对边，且cosC+sinC义阻.b(I )求/ B的大小；(n )若a+c=5而

6、，b=7,求7§押前的值.17 .某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集到的数据分成0, 10), 10,20), 20, 30), 30, 40), 40, 50), 50, 60)六组，并作出频率分布直方图(如图) .将 日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为 课外体育达标(1)请根据直方图中的数据填写下面的2举列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为堞外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标 合计男60 女 110合计 (2)现按照 堞外体

7、育达标”与 课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 12人，再从这12名 学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记 郡外体育达标”的人数为E,求E得分布列 和数学期望.附参考公式与数据：0.0050.0017.87910.8282 K2= 0.100.050.010(a+b) Cc+d) (a+c) (Md)P (K20)k02.7063.8416.63518.已知正项等差数列an的首项为ai=2,前n项和为Sn,若ai+3, 2a2+2, a6+8成等比数 列.(1)求数列an的通项公式；,一一 1 1 UUJ 11 -.(2) I己 Pn= + +-+, Qn=-+k+-+7-,证明：Pn2

8、n.al a2 a42 n 2 巧 '19 .如图，三棱柱ABC - A1B1C1中，D、M分别为CCi和AiB的中点，A1DXCC1, AAAlB 是边长为2的正三角形，A1D=2, BC=1 .(1)证明：MD /平面ABC ；(2)证明：BCL平面 ABB1A1(3)求二面角B-AC -A1的余弦值.20 .已知函数 f (x) wx2+mlnx+x riL-a(1)求f (x)的单调区间；(2)令g (x) =f (x) - =x2,试问过点P (1, 3)存在多少条直线与曲线 y=g (x)相切？ lb-l并说明理由.21 .已知椭圆C: 上亍+-=1 , (a>b&g

9、t;0)的离心率为, F1、F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点 A、B,若4ABF1周长为4历(1)求椭圆C的标准方程(2) P是y轴上一点，以PA、PB为邻边作平行四边形 PAQB,若P点的坐标为(0, -2),1 IF闾求平行四边形PAQB对角PQ的长度取值范围.2020年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .复数 工土的共轲复数在复平面上对应的点位于（1 + 1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数代数形式的乘

10、除运算.【分析】化简复数，得出其共轲复数.故选：A.第9页（共21页）2 .已知集合 A=x|y=弋2-淤,B=x|x 2-2xv 0,贝U （）A. AAB=?B. AUB=RC. B? AD . A? B【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】求出集合A, B,根据集合包含关系的定义，可得答案.【解答】 解：= 集合 A=x|y= 12 - x= （一°°, 2, B=x|x 22xv 0= （0, 2）,故 B?A,故选：C.3 .设it, n, t是非零向量，已知：命题 p： n /1，n / t ,则it / n ;命题q：若ir?t =0, n?1=0则而后=

11、0,则下列命题中真命题是（）A. pVqB. p AqC. （p） A（q） D .pVq【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算.【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可.【解答】解：= ir, n, t是非零向量，若n H t,则口/口；则命题 p是真命题，若 ir?t=0，? ？七二0二则兀？口=0, f一定成立， 比如设原（1, 0）,乖（0,1）,*（2, 0）,满足福司=0,曰司=0,用?! =2利贝而?=0不成立，即命题q是假命题，则pVq为真命题.，pAq为假命题.，（p） A（q）,pV q都为假命题，故选：A.4.2支n犷一冬呈及7

12、76;cosl70A. - 6 B TC.6 D. 1【考点】三角函数的化简求值.【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果.I解答】解:、回二浮口了2式也（ME +17“）2嵬也7°co£170sin30* cds170 +cos309 siril7=2?cosir一 eosSOsirilT=2sin30=1 , 故选：D.5.执行如图所示的程序框图，则输出 i的值为（）【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和=2 +.r?=口2n,当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解.n6【解答】 解：模拟执行程序，可得程序作用是对平

13、方数列求和十22 一二四叫n16容易彳#到 S4=30, S5=55>50,故输出i的值为5.故选：B.6.在二项式（3x2的展开式中，所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和为（）A. - 32B, 0C, 32D. 1【考点】二项式系数的性质.【分析】由二项式系数的性质求出n的值，再令x=1求出展开式中各项系数的和.【解答】解：二项式（3工之一§） ”的展开式中，所有二项式系数的和是32, -2n=32,解得 n=5;令x=1 ,可得展开式中各项系数的和为（3M2二）5=32.故选：C.A. 如图，四棱锥 S-ABCD的底面为正方形，SD，底面ABCD ,则下列结

14、论中不正确的是( )A. AC ±SBB. AB / 平面 SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于 DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质.【分析】 根据SD，底面ABCD ,底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证 ACXSB, 根据线面平行的判定定理易证 AB /平面SCD,根据直线与平面所成角的定义，可以找出 ZASO是SA与平面SBD所成的角，/CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等， 证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果.【解答】 解：.“，底面ABCD ,底面ABCD为正方形

15、，连接BD ,则BD XAC ,根据三垂线定理，可得 ACXSB,故A正确；1.AB /CD, AB?平面 SCD, CD?平面 SCD, .AB /平面SCD,故B正确；,. SD，底面 ABCD ,/ ASO是SA与平面SBD所成的角，/ CSO是SC与平面SBD所成的，而SAOCSO,Z ASO= ZCSO,即SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角，故 C正确; AB/CD,，AB与SC所成的角是ZSCD, DC与SA所成的角是/ SAB , 而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D.8.已知x,y满足条件,若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）1A.

16、1或-万B .1 或-2C. - 1 或-2D .1-2或一亍【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 的变化，从而求出 a的取值.y=ax+z斜率【解答】解：作出不等式组<尺+y4门对应的平面区域如图:x - 2y2（阴影部分mBC）.由z=mx+y得y= - mx+z ,即直线的截距最大，z也最大.若m>0,目标函数y= - mx+z的斜率k= - m>0,要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一,则直线z=mx+y与直线x-Ly+1=0平行，此时 m= - 2, cl若m v 0,目标函数y= - mx+z的斜率k= -

17、 m< 0,要使z=y - mx取得最大值的最优解不唯则直线z=mx+y与直线x+y - 2=0,平行，此时 m= - 1,综上m= - 2或m=1 ,r y一9.已知双曲线一亍-=1 （a>0, b>0）的一条渐近线平行于直线-I?l： y=2x+10 ,双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（A.2=1B.20220=1C.25一二1D .100100252=1故选：B.【考点】双曲线的标准方程.【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线b2=1 （a> 0, b>0）的一条渐近线平行于直线l： y=2x+10,可得卜=2,结合c2=a2+b2,求出a, b,即

18、可求出双曲线的方程. a【解答】解：:双曲线的一个焦点在直线 l上，令y=0 ,可得x= - 5,即焦点坐标为(-5, 0), 1-c=5,;双曲线=1 (a> 0, b>0)的一条渐近线平行于直线l： y=2x+10,第ii页（共2i页）二2,a -.c2=a2+b2, .a2=5, b2=20,，双曲线的方程为直-2二15207T10 .将函数f(x)=sin2x的图象向右平移()(0<个单位后得到函数 g (x)的图象.若对满足 |f (xi) g (x2)|二2 的 xi、x2,有 |xi x2|min=T ,贝U 柠( )【考点】函数y=Asin ( wx+ 4)的

19、图象变换.【分析】利用三角函数的最值，求出自变量 xi, x2的值，然后判断选项即可.兀I【解答】解：因为将函数f (x)=sin2x的周期为兀，函数的图象向右平移。(。一:)个单位后得到函数 g (x)的图象.若对满足|f (xi) - g (x2)|二2的可知，两个函数的最大兀值与最小值的差为 2,有|xi - x2|min-,不妨xi二7T12，即 g (x)在 x2=yy,取得最小值，sin (27TT,不合题意,3兀 5兀xi=，x2=lT，5兀即g (x)在x2二 r,取得最大值,5冗兀sin (2- 2(j) =i,此时(j)二丁 ,满足题意.故选：D.二、填空题：本大题共 5小

20、题，每小题5分.11 .长方形ABCD中，AB=2 , BC=i，。为AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点， 取到的点到。的距离大于i的概率为 1-； .【考点】几何概型.【分析】 本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点到O的距离大于i的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于i的概率：圆外部分的面积 0亍矩形的面积2X112 .已知直线 ax+by 6=0 (a>0, b>0)被圆 x2+y2 2x 4y=0 截得的弦长为 2/5 ,贝U ab的最大值为 .一2一【考点】直线与圆相交的性质.【分析

21、】由圆的方程得到圆的半径为 屏,再由弦长为 2y石得到直线过圆心，即得到 a与b 满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论.【解答】解：圆x2+y2-2x - 4y=0可化为(x- 1) 2+ (y-2) 2=5,则圆心为(1, 2),半径 为垂,又由直线ax+by - 6=0 (a>0, b>0)被圆x2+y2- 2x- 4y=0截得的弦长为 2后,则直线 ax+by - 6=0 (a> 0, b>0)过圆心，即 a+2b- 6=0,亦即 a+2b=6, a>0, b> 0,所以6=a+2b或怎E,当且仅当a=2b时取等号，所以ab1,所以ab的最大值为

22、日g故答案为：1513 .如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是3,三棱柱的高是3;三棱锥的底面也是侧视图，高是1,所以几何体的体积是故答案为：15.V=-X3X3X5t-XyX3X3Xl=1514.已知函数f （x）-工上+4口。<K<41c&?（k+4）. 4式犬12,若存在xi

23、, X2田，当0»1<4a202时,f (xi) =f (X2),则 Xif (X2)的最大值是256-27 【考点】分段函数的应用.【分析】由题意作函数f（X）- J十4k,1口牝（£+4）, 4工1的图象，从而可得1或1，Xif（X2）X13+4 兄，t己 g ( xi) = - X13+4H '2,则 g'(xi) = 38+8xi= 3xi (3x1一8),从而判断函数的单调性及最值，从而求得.- J+4k, 0<k<4【解答】解：由题意作函数f（X）= ./八 “的图象如下,log2（x+4k 4<戈<12?结合图象可

24、知,23W 乂 + +4x i4,解得，i因夕故 Xif(X2)=X if ( Xi)3=Xi ( E +4xi) = -Xi3+4X1 ,22记 g (xi) =xi3+4 工 i , g z (xi) = -3打 +8xi= 3xi ( 3xi 8),3上是减函数,故g （xi）在i, 3上是增函数，在（工825引故xif（x2）的最大值是g （司）=",故答案为:2562715.给出下列命题：已知E服从正态分布N (0,/)，且P ( - 2W法手=0.4,则P (卜2) =0.3；函数f (x - 1)是偶函数，且在(0, +8)上单调递增,则 f (2 百)>f (l

25、og*) >f(j)2 已知直线11： ax+3y-1=0, 12： x+by+1=0,则li，12的充要条件是 /= - 3,b其中正确命题的序号是(把你认为正确的序号都填上).【考点】命题的真假判断与应用.一【分析】根据随机变量E服从标准正态分布 N (0, J),得到正态曲线关于90对称，利用P ( - 2v E 2)=0.4,即可求出P (卜2). 确定函数f (x)图象关于x=-1对称，在(-1, +8)上单调递增，即可得出结论； 已知直线 11： ax+3y- 1=0, 12： x+by+1=0 ,则 11，12 的充要条件是 a+3b=0.【解答】解：二.随机变量E服从正态

26、分布N (0, ，)，正态曲线关于e=0对称，. P (- 2< 卫/=0.4, .P (卜 2)十(1 0.4) =0.3.正确；函数f (x - 1)是偶函数，f ( - x-1) =f ( x-1),函数f (x)图象关于x= - 1对 称，:函数f (x- 1)在(0, +8)上单调递增，.函数f (x)在(-1, +8)上单调递增， f (1og2)=f (- 3) =f (1), (j) 2<1<2 ，.f (2 弟 >f (1og哥 >f 4)2, 正确； 已知直线11： ax+3y- 1=0, 12： x+by+1=0 ,则11，12的充要条件是a

27、+3b=0,故不正确. 故答案为：.三、解答题：本大题共 6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤jTZs16.已知a, b, c分另ij为ABC三个内角的对边，且 U 3cosC+sinCy-(I )求/ B的大小；(n )若a+c=54T, b=7,求押前的值.【考点】 余弦定理；正弦定理.【分析】(I )根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求/ B的大小;(II )由余弦定理可求|AB|BC|=42 ,利用平面向量数量积的运算即可得解.【解答】 解：(I)在 4ABC 中，dlcosC+sinC=1三 b4 -5 cosC+sinC=/SsinAsiriB/3

28、sinBcosC+sinBsinC= V_3sin ( B+C), /3sinBcosC+sinBsinC= 1/3sinBcosC+'/3cosBsinC,.由于 sinC，可彳#： sinB=V3cosB,1. tanB=V_3,.Be(0,兀)，B=(n)B=, a+c=5j7，b=7,J，由余弦定理 b2=a2+c2- 2accosB,可得：49=a2+c2ac= ( a+c) 2 3ac=175 3ac,解得：ac=42,即 |AB|BC|=42 ,屈箴=TAB|BC|cosB= -42>4=-21.17 .某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校20

29、0名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集到的数据分成0, 10), 10,20), 20, 30), 30, 40), 40, 50), 50, 60)六组，并作出频率分布直方图(如图) .将 日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为 课外体育达标(1)请根据直方图中的数据填写下面的2举列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为堞外体育达标”与性别有关？K2=(a+b) Cc4-d) (a+c) (b+d)0.100.050.0100.0050.001P (K20)k06.6357.87910.8282.7063.841【考点】离散

30、型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)由题意得 像外体育达标”人数为50,则不达标人数为150,由此列联表，求出k2=%冬060<6,635 33,从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为男课外体育小达标60课外体育达标合计3090女9020110合计15050200(2)现按照堞外体育达标”与课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记 课外体育达标”的人数为 巳求E得分布列 和数学期望.附参考公式与数据：课外体育达标”与性别有关.(2)由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽

31、取人数为 3人，则E的可能取值为0, 1, 2, 3,分别求出相应的概率，由此能求出E的分布列和E (9.【解答】解：(1)由题意得 课外体育达标”人数为：2004(0.02+0.005) M0=50,则不达标人数为150,，列联表如下：课外体育不达标男60女90合计150课外体育达标合计30902011050200.K=200 X（60乂20 - 30X90） 2-150X50X90X110-(2)由题意得在不达标学生中抽取的人数为:12>i=9 人,200=3人）在达标学生中抽取人数为：123，E的分布列为:021551275522722031220212727=0、方圮*前十型22

32、0 q.在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为堞外体育达标”与性别有关.第19页(共21页)18 .已知正项等差数列an的首项为a1=2,前n项和为Sn,若a1+3, 2a2+2, 36+8成等比数 列.(1)求数列an的通项公式；,1 1 1+ q + 云+ 1+!, 证明： PnQn.【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合.【分析】(1)通过设正项等差数列an的公差为d,并利用首项和公差 d表示出32、06,通 过31+3, 2a2+2, a6+8成等比数列构造方程，进而计算可得结论；1 1通过裂(2)通过(1)可知=-,利用等比数列的求和公式计算可知Pn=1 -2n项可知

33、 蒋-=J,进而并项相加即得结论.n n+1【解答】(1)解：设正项等差数列an的公差为d,则d涮，依题意，a2=2+d, a6=2+5d,- ai+3, 2a2+2, a6+8 成等比数列，(6+2d) 2= (2+3) (10+5d),整理得：36+24d+4d2=50+25d ,即 4d- d-14=0,解得：d=2或d= -(舍)，数列an的通项公式an=2n；(2)证明：由(1)可知1 =1=1，丁1 2X 2r-1 2rL由等比数列的求和公式可知显然，当n当时故Pnn.aa1B19.如图，三棱柱ABC - A1B1C1中，D、M分别为C。和A1B的中点，AD，CC1是边长为2的正三

34、角形，A1D=2, BC=1 .(1)证明：MD /平面ABC ;(2)证明：BCL平面 ABB1A1(3)求二面角 B - AC - A1的余弦值.【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.【分析】(1)取AB的中点H,连接HM , CH,根据线面平行的判定定理即可证明MD /平面 ABC ;(2)根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明BC，平面ABB 1Al(3)建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AC - Ai的余弦值.【解答】(1)证明：取AB的中点H,连接HM, CH,.D、M分别为CCi和A

35、iB的中点，.HM / BB i, HM=yBBi=CD,.HM / CD, HM=CD ,则四边形CDMH是平行四边形，贝U CH=DM . CH ?平面 ABC , DM ?平面 ABC ,MD / 平面 ABC ；(2)证明：取BBi的中点E,AAiB是边长为2的正三角形，AiD=2, BC=i .CiD=i ,.AiDXCCi,AiCi=J 2，1=J,则 AiBi2+AiBi2=4+i=5=A iCi2,则AiBiCi是直角三角形，则 BiCiXAiBi,在正三角形BAiBi中，AiE=73,.AiE2+DE2=3+i=4=A iDi2,则 Aide是直角三角形，则 DEXAiE,即

36、 BCXAiE, BCXAiBi,AiEnAiBi=Ai,.BC,平面 ABBiAi(3)建立以E为坐标原点，EB, EAi的反向延长线，ED分别为x, y, z轴的空间直角坐 标系如图：则 E (0, 0, 0), B (i, 0, 0), C (i, 0, i), A (2,-心 0), Ai (0,73, 0),则设平面ABC的法向量为n= (x, v, z),IE=(-1,迎 0),前二(0, 0, i),n *屁二。 If - x+V3y=o则，即，口 BC =。；iz=O令 y=1 ,则 x=6, z=0,即5=(百，1, 0),平面ACAi的法向量为7= (x, y, z),正=

37、(-1,迎 1), g= (- 2, 0, 0),m'-AC=O工切kV5y令 y=1 ,贝U z= 一 /3, x=0，即 it= (0, 1, V3)，则cosvn>mnixi2X2第23页(共21页)即二面角B - AC - A1的余弦值是工420.已知函数 f (x) =f-x2+mlnx+x riL-a(1)求f (x)的单调区间；(2)令g (x) =f (x) - =x2,试问过点P (1, 3)存在多少条直线与曲线 y=g (x)相切？Ifc-I并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论m的

38、范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；(2)设切点为(x0, x0+minx0),求出切线斜率 K,求出切线方程，切线过点P(1, 3),推出关系式，构造函数 g (x) (x>0),求出导函数，通过讨论 当m<0时，判断g (x)单 调性，说明方程g (x) =0无解，切线的条数为 0,当m>0时，类比求解，推出当 m>0 时，过点P (1, 3)存在两条切线， 当m=0时，f (x) =x,说明不存在过点 P (1, 3) 的切线.2，(x>0),【解答】 解：(1) f (x) =-yx2+minx+xf'(x) =x+1 =m用时，f

39、' (x) >0,函数在(0, +8)递增,m<0时，令f' (x) >0,解得：x>令 f' ( x) < 0,解得：x<f (x)在(0,)递减，在(,+°0)递增;(2)设切点为(X0, X0+minx0),切线方程为y - ( x0+alnx0 )=(1则切线斜率k=1)(x X0).即 m (lnxo+二1) y02=0.因为切线过点 P (1, 3),则 3- (x0+alnx0) = (1+) x0Q- 1)22-+e1+ idm2=me1令 g (x) =m (lnx+§1) - 2 (x>0

40、),则 gz (x) =m (当m<0时，在区间(0, 1)上，g' (x) >0, g (x)单调递增; 在区间(1, +8)上，g'(x) V0, g (x)单调递减，所以函数g (x)的最大值为g (1) =-2v0.故方程g (x) =0无解，即不存在x0满足式.因此当m<0时，切线的条数为 0.当m>0时，在区间(0, 1)上，g' (x) v 0, g (x)单调递减, 在区间(1, +8)上，g'(x) >0, g (x)单调递增，所以函数g (x)的最小值为g (1) = - 2< 0.222.21取 x1=e1+>e 贝u g(x1)=a (1+e- 1 1) 2=ae 1 >0. mitmm故g (x)在(1