高中数学第1章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用全方位聚焦正余弦定理的应用素材苏教版必修5

1、1.3正弦定理、余弦定理的应用全方位聚焦正余弦定理的应用正、余弦定理是研究三角形的边和角之间的关系，是解决三角形问题的有力工具和重要手段，下面将对正余弦定理的应用进行全方位扫描.一、合理选用定理解三角形求解三角形是典型问题，问题涉及三角形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形，具体可以解决的类型如下：已知两角一边（唯一解）正弦定理已知两边一对角（不唯一）已知两边一夹角（唯一余弦定理解）已知三边（唯一解）例 1 在三角形ABC中，已知，解此三角形.分析 ：本题是一类已知两边一对角的解三角形问题，可用正弦定理，也可

2、用余弦定理.解法一： 利用正弦定理，得，则.由于，根据大边对大角，得或.当时，得，；当时，得，.1 / 4解法二： 利用余弦定理，得，整理得，得.当时，所以，则；当时，所以，则.点评：已知三角形的两边一对角这一类型，是同学们在学习过程中感到最困难的一种类型，这种类型的题，正弦和余弦定理都可以解决.（ 1）用正弦定理解，往往通过大边对大角这个性质，来判断解的个数；（ 2）用余弦定理解，一般转化为关于某条边的一元二次方程，利用或根的正负性来判断解的个数 .二 判断三角形的形状解此类问题时，往往利用正弦或余弦定理转化到边或角，再通过边来判断或角来判断此三角形的形状 .例 2 在 ABC中已知 aco

3、sB=bcosA, 试判断 ABC的形状 .分析：利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状, 可以将三角形中的边用角表示, 也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.解 1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosA ，sinAcosB-cosAsinB=0， sin(A-B)=0， 则 A-B=0， A=B，即 ABC 为等腰三角形。解 2：由余弦定理 :，即 ABC为等腰三角形 .点评：法一将已知条件全部转化成角的关系，法二则将已知条件全部转化成边的关系，这样更有利于寻求到角与角或边与边存在的内在联系，这种方法在解其它有关三角形的问题中也是常

4、用的，不同的思维有助于学生建立属于自己的良好的认知结构三 解决与面积有关的问题例 3在中，若，求的面积 .2 / 4解析： 由已知得，得由余弦定理得，又因此，从而因此，的面积点评：本题有一定的难度，首先要用和角的正切公式产生的值，进一步产生角；其次要灵活运用条件及余弦定理产生，然后再求三角形的面积，可以说是一道小型综合题，不能全面把握基础知识是难以完成求解的.四、求值例4 在中，求的值解一：原式解二：原式点评 ：本题是一个“纸老虎”，看模样，有点吓人，但真正动手求解，也很顺利，正弦定理与余弦定理均可达到目的.五、证明恒等式例 5 在中，求证：证明 ：右边左边，故等式成立点评 ：本题特点很突出，左边是边的式子、右边是角的式子，要完成这二者的统一3 / 4（即都是边的式子或都是角的式子）可以用正弦定理，也可以用余弦定理或两个定理联合使用 . 这里的求解是两个定理联合使用.六、求解平面几何问题例 6 已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积 .解：连结，则，由，得那么由于，又得，因此故四边形的面积为.点评 ：平几中涉及长度与面积问题往往需要用正弦或余弦定理进行求解. 由于平几