高中数学竞赛函数练习题

1、竞赛试卷高中数学竞赛函数练习题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1定义在 R 上的任意函数 f(x) 都可以表示为一个奇函数g(x) 和一个偶函数 h(x) 之和，若f(x)=lg(10 x+1) ，则A g(x)=x, h(x)=lg(10 x+10 -x+2)B g(x)=1lg(10 x+1)+x, h(x)=1lg(10 x+1) x22C g(x)=1x, h(x)= lg(10 x+1) 1x2121D g(x)= x, h(x)= lg(10 x+1) x222若 (log2 3)x (log 53)x (log 23)-y (log 53)-y ，则A xy 0B x+y

2、 0C x y 0D x+y 03已知 f(x)=ax 2 c 满足 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，那么 f(3)应该是A 7f(3) 26B 4 f(3) 15C 1 f(3) 20D 38 f(3) 353310231q4已知 f(n)=log n (n+1) (n N* 且 n 2)，设N* 且 (p,q)=1) ，则 p+q=(p,qn2log f ( n) 100pA 3B 1023C 2000D 20015如果 y=log 56?log6 7?log78?log89?log910，则A y (0,1)B y=1C y (1,2)D y 2,36若实数 a, x 满足 a&g

3、t;x>1，且 A=log a(log ax)， B=log a2x, C=log ax2，则A A>C>BB C>B>AC B>C>AD C>A>B7设 a>0,a1，函数 f(x)=log a|ax2 x|在 3,4 上是增函数，则 a 的取值范围是A a>1Ba>1 或 1 a< 1Ca>1 或 1 a< 1D a>1 或 1<a<16484648 f(x) 是同期为2 的奇函数，当 x0,1) 时， f(x)=2 x 1，则 f( log 124 )的值是223551A B CD

4、 24622二、填空题9设 f(x)=lg(10x4xb的值为。+1)+ax 是偶函数， g(x)=是奇函数，则 a+b2x三、解答题10已知奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x) ，且当 x (-1,0)时， f(x)=2 x。竞赛试卷证明： f(x+4)=f(x)；求 f( log 118)的值。211解方程 lg(4x+2)=lg2 x+lg3 。12设 f(x)=2 x1x0，解不等式 f(x)>1 。1x2x013设 f(x)=1，求 f( 5)+f( 4)+ +f(0)+ +f(5)+f(6)。2x214求函数 f(x)=3?4 x 2x (x 0)的最小值。15设函

5、数 f(x)=|lgx| ，若 0<a<b 且 f(a)>f(b) ，证明： ab<1。16 设 不 等 式 2( log 1 x )2+9 log 1x+90的 解 集 为 M ， 求 当 x M时，函数22xx) 的最大值、最小值。f(x)=(log 2)(log 228ty17已知实数 t 满足关系式 log a a3=log ta3(a>0,a1)令 t=ax，求 y=f(x) 的表达式；若 x (0,2)时， ymin=8，求 a 和 x 的值。18解不等式 |1+2|>3 。log 1x2219解不等式log2 x1 +1 log1x3+2>

6、;0 。2220已知 a、 b、 c、 d 均为正整数，且logab=3, log cd=5 ，若 a c 9，求 b d。2421已知函数 f(x)=ln3x 3( a2 2a 2 )x 的定义域为(0,+ )，求实数 a 的取值范围。22解方程 log5 (3x+4x)=log 4(5 x3x)。23设 f(x)=lg12 x(n1) xn x a ，其中 a 是实数，n 是任意给定的自然数， 且 n2。n如果 f(x) 当 x( ,1)时有意义，求a 的取值范围。24f 是定义在 (1,+ )上且在 (1,+ )中取值的函数， 满足条件： 对任何 x>1,y>1及 u>

7、0,v>0,11都有 f(x u?yv) f ( x) 4u? f ( y) 4v 成立，试确定所有这样的函数f。函数的最值竞赛试卷一、选择题1如果在区间 1,2 上，函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+1在同一点取相同的最小值，那么x2f(x) 在该区间上的最大值是A 4+11 32+34B45 32+3 4C 11 32 +3 4D 以上答案都不对2222已知 x、 y 都在区间 ( 2,2)内，且 xy= 1，则函数 u=4+9422 的最小值是x9y8241212A B CD 511753已知 a、 b、 cR* ，则 f(x)=x 2a +( c x) 2b 的最

8、小值是A a + c2bB c2a + bC2 c+a +bD c2( ab ) 22二、填空题4 f(x)=|x 2 a|在区间 1,1 上的最大值 M(a) 的最小值为。5函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间 3,3 上的最小值是。6若不等式 |x 4|+|x 2|+|x 1|+|x| a 对一切实数 x 成立，则 a 的最大可能值是。三、解答题7在区间 1,2上，函数 f(x)= x2+px+q与 g(x)=x在同一点取得相同的最大值，求2x 21f(x) 在区间 1,2上的最小值。28已知定义在 R 上的函数 f(x) 对任意实数对 (x,y) 恒有 f(x)+

9、f(y)=f(x+y)，且当 x>0 时，f(x)<0 ，又 f(1)= 2 。3求证： f(x) 为奇函数；求证：f(x) 在 R 上是减函数；求f(x) 在 3,6 上的最值。9已知 a 为正常数， x>0 ，求函数 y=x+ax的最小值。+x 210已知 f(x)=ax 2+bx+c ，其中 a N*,bxaN,cZ 。若 b>2a，且 f(sinx) (x R)的最大值为2，最小值为 4，试求 f(x) 的最小值；若对任意实数 x，不等式 4x f(x) 2(x2恒成立，且存在x0，使得 f(x 0)<2(x2+1)成立，+1)0试求 c 的值。竞赛试卷1

10、1求函数 y= x 44x317x 226x 106 的最值，其中 |x| 1。x22x712已知 f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (t参数 t 的取值范围。R 是参数 )，如果 x0,1 时， f(x) g(x) 恒成立，求3x22 xn13已知函数f(x)=log2mx21(m,nR)。若 mN*,xR 且 f(x) 的最大值为2，最小值为1，求 m,n 的值；若 n= 1，且 f(x) 的值域为R，求 m 的取值范围。14求函数 f(x)= x 43x26x 13 x4x21 的最大值。15设 f(x)= x2+2tx t, x 1,1 ，求 f(x) max

11、min。16设 f(x)=x 2+px+q (p,qR)。若 |f(x)| 在 1,1 上的最大值为M ，求 M 的最小值。17设关于 x 的一元二次方程2x2 tx 2=0 的两个根为。若 x1、 x2 为区间上的两个不同的点，求证：4x1x2 t(x1+x 2) 4<0；设 f(x)= 4xt ，f(x) 在区间 上的最大值和最小值分别为fmin(x) 和 f max(x) ，g(t)=f max(x)x 21 f min(x) ，求 g(t)的最小值。18设实数 x、 y 满足 4x2 5xy+4y 2=5 ，设 S=x2+y 2，求1+1。SminSmax19若函数 f(x)=

12、1x2+13 在区间 a,b 上的最小值为2a，最大值为2b，求 a,b 。2220实数 a,b,c 和正数使得 f(x)=x 3+ax2+bx+c, f(x)=0有三个实数根x1、x2、 x3，且满足：12a 327c 9ab x2-x1= ； x3>(x1+x 2)；求的最大值。23竞赛试卷函数的方程迭代一、填空题11已知f(x)+2f()=3x ，则f(x) 的解析式为。x2已知f(x)=ax 2+bx+c ，若f(0)=0且 f(x+1)=f(x)+x+1，则f(x)=。二、解答题23设 f(x)=x +px+q, A=x|x=f(x), B=x|ff(x)=x。4已知 f(x)

13、 是定义在R 上的函数，且f(1)=1 ，对任意x R 都有下列两式成立： f(x+5) f(x)+5 ； f(x+1) f(x)+1 。若 g(x)=f(x)+1 x，求 g(6)的值。5已知二次函数 f(x)=ax 2 +bx (a,b 是常数，且 a 0)满足条件：f(x 1)=f(3 x) ，且方程 f(x)=2x 有等根。求 f(x) 的解析式；是否存在实数m，n (m<n) ，使 f(x) 的定义域和值域分别为求出 m,n 的值；如果不存在，请说明理由。m,n 和 4m,4n ？如果存在，6定义在 (0,+ )上的函数 f(x) 满足： f(2)=1 ； f(xy)=f(x)

14、+f(y) ，其中 x,y 为任意实数；任意正实数 x,y 满足 x>y 时， f(x)>f(y) 。试求下列问题：（ 1）求 f(1), f(4) ；（ 2）试判断函数 f(x) 的单调性；（ 3）如果 f(x)+f(x 3) 2，试求 x 的取值范围。7 已 知 函 数 f(x)=6x 6x2 ， 设 函 数 g1(x)=f(x), g2(x)=fg 1(x), g3(x)=fg 2(x), ,gn(x)=fg n-1(x), 。求证：如果存在一个实数x0，满足 g1(x0)=x 0，那么对一切 n N*, g n(x0)=x 0 都成立；若实数 x0，满足 gn(x0)=x

15、0 ，则称 x0 为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。设区间 A=(- ,0)，对于任意 x A ，有 g1(x)=f(x)=a<0, g 2(x)=fg 1(x)=f(0)<0 ，且 n 2时，gn(x)<0 。试问是否存在区间B (A B )，对于区间内任意实数 x，只要 n 2，都有 gn(x)<0 ？8对于函数y=f(x) ，若存在实数x0，满足 f(x 0)=x 0，则称 x0 为 f(x) 的不动点。 已知 F1(x)=f(x),F2(x)=fF 1(x), F 3 (x)=fF 2(x), , Fn (x)=fF n-1(x) (n N*,n 2)。若 f

16、(x) 存在不动点，试问F2(x),F3(x), ,Fn(x) 是否存在不动点？写出你的结论，并加以证明。设 f(x)=2x-x 2。求使所有 Fn(x)<0（ n N*,n 2）成立的所有正实数x 值的集合。9设函数 f(x) 的定义域是 R，对于任意实数 m,n，恒有 f(m+n)=f(m)?f(n) ，且当 x>0 时，0<f(x)<1 。求证： f(0)=1 ，且当 x<0 时，有 f(x)>1 ；判断 f(x) 在 R 上的单调性；设集合 A=(x,y)|f(x 2)?f(y 2)>f(1) ，集合 B=(x,y)|f(ax-y+2)=1,a

17、 R ，若 A B= ，求 a 的取值范围。竞赛试卷10 设 p 为奇素数，试求1 + 1 = 2 的正整数解。xypxz2 yt311 求方程组的整数解。xtyz1222212 求方程 2x y +y =26x +1201 的正整数解 (x,y) 。2213 求 x +y =328 的正整数解。14 解方程 4x2 20x+23=0 。515求函数 f(x)=x+2x+x+3x+4x在 0 x 100 上所取的不同的整数值的个数。316当 n 是怎样的最小自然数时，方程10 n=1989 有整数解？x17设 S=1+11+1，求 S 。2+980100318已知 S=3 13 23 33 2

18、006，求 S 。单元练习题1、 若 a ,11,2,a1,2,4,a2 ，求 a 的值。2、 已知集合 0, 1,2a=a 1, |a|,a+1，求实数 a 的值。3、 集合 x| 1 log 11, x N 的真子集的个数是10<。x24、 已知集合 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有 2 个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1。4x1)+f(220045、 设 f(x)=，求 f()+ + f()。4 x22005200520056、 函数 f(k) 是定义在正整数集N 上，在 N 中取值的严格增函数，且满足条件

19、f(f(k)=3k ，试求 f(1)+f(9)+f(96)的值。、7、 设函数 y=f(x) 的定义域为 0,1 ，试求 G(x)=f(x+a)+f(x a)的定义域。8、 设 f(x) 是定义在实数集上的周期为2 的函数，且是偶函数，已知当x 2,3 时， f(x)=x ，求当 x 2,0 时， f(x) 的解析式。9、 设函数 f(x)=ax 2+8x+3(a<0) ，对于给定负数 a，有一个最大正数l (a)，使得有整个区间0, l(a) 上，不等式 |f(x)| 5 都成立。问 a 为何值时， l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。竞赛试卷10、求函数y=1998x

20、 +x1997 的值域。11、函数 f(x)=x 2+3ax 2a+1 在区间 0,1 上的最小值为0，求 a 的值。12、已知函数 f(x)=x 2 2x+2, x t,t+1 的最小值为g(t)，试写出函数s=g(t)的解析式， 并画出函数的图象。13、函数 f 定义在实数集上且对于一切实数x 满足等式： f(2+x)=f(2 x)和 f(7+x)=f(7 x)，设 x=0 是 f(x)=0 的一个根，记 f(x)=0 在区间 1000,1000 中的根的个数为 N ，求 N 的最小值。14、已知 a、b、c 是实数，函数2时， |f(x)| 1。f(x)=ax +bx+c, g(x)=a

21、x+b ，当 1 x 1证明： |c| 1；证明：当1 x1 时， |g(x)| 2；设 a>0，当 1 x 1 时， g(x)的最大值为 2，求 f(x) 。15、已知 x,y>10, xy=1000 ，求 (lgx)(lgy) 的取值范围。16、设 f(x)=2+log x25 log x2 64 log x3 8，试确定 x 的取值范围，分别使f(x) 大于零，小于零，等于零。17、设定义域为 R 的函数 f(x) 满足下列条件：对于任意实数x，均有 f(x) 2；对于任意实数 x1、x2，均有 f(x 1+x 2) f(x 1)+f(x 2)。试证：对于任意实数x1、x2，

22、均有 lgf(x 1+x 2) lgf(x 1)+lgf(x 2)。218、求方程 lg x lgx 2=0 的实数根的个数。19、设 x、 y、 z为非负的实数，且满足方程4 5 x 9 y 4 z 68 2 5 x 9 y 4z+256=0，求 x+y+z的最大值与最小值的积。lg 2x20、方程=2 中， a 为何实数时，方程无解？有一解？有两解？lg( xa)21、已知 a>0, a 1，试求方程 log a(x ak)= log2 (x2 a2 )有解时 k 的取值范围。a22、解方程 log4x4x 25x 2 =1 。223、求方程 2w +2x+2 y+2z=20.625

23、 的满足条件 w>x>y>z 的整数解。24、设 、 分别是方程 log2 x+x 3=0 和 2x+x 3=0 的根，求和 log 2 +2 。25、解方程 lg2x lgx 2=0 。26、已知实数 x 满足方程 x= x11+ 1，求 2x 。xx27、求正整数1093的末两倍数字。310 3128、前 1000 个正整数中可以表示成2x+4x+6x+8x的正整数有多少个？竞赛试卷竞赛试卷答案幂函数、指数函数、对数函数11、C；2、B；3、 C； 4、A；5、C；6、B； 7、B；8、D；9、；10、分析：证明：f(x+2)=f( x)f(x+2)= f(x) f(x+

24、4)= f(x+2)= f(x)=f(x) f( log 1 18)= f(log 218)= f(log 2184)= f(log 2988)=f(log 2)=928911、分析： lg(4x+2)=lg2 x+lg3lg(4x+2)=lg(3?2 x)22x 3?2x+2=02x=1 或 2x=2x=0 或x=1x0x012、分析： f(x)>1或1x< 1 或 x>12x11x21所求不等式的解集为( , 1) (1,+)。13、分析： f( x)+f(x+1)=1+1=22x122 2 x=22 x2 2 x 122 f( 5)+f( 4)+ +f(0)+ +f(5

25、)+f(6)=32。学生思考：设 f(x)=4 x2，求 f(1)+f(2)+ +f(1000)。4x100110011001分析： x+y=1 f(x)+f(y)=114、分析： f(x)=3?4 x 2x=3(2 x 1)2 1612 x 02x 1当 2x=1x=0 时， f(x) min =2lg xx 115、分析： f(x)=|lgx|=lg x0x1 0<a<b 且 f(a)>f(b) a、b 不能同时在区间 1,+ ) 上 0<a<b a (0,1)若 b (0,1) ，显然 ab<1若 b 1,+ )，则 f(a)>f(b) lga&

26、gt;lgblg(ab)<0ab<116、分析： 2( log 1 x )2 +9 log 1x +9 0 3 log 1x 33 log 2x 3 2 2 x22222竞赛试卷 8 M=22 ,8 f(x)=(log 2 x )(log 2 x )=(log 2 x1)(log 2x 3)=(log 2x 2)2 128 2 2 x 83 log 2x 32当 log2x=2x=4 时， ymin= 1当 log2x=3x=8 时， ymax=0。ty17、分析： logaa3=log t a3 logat 3=log ty 3log ta t=axx=log at x 3= l

27、og a y 3logay=x2 3x+3 y= a x2 3x 3 (x 0)xx令 u= x2 3x+3=(x 3 )2+ 324(x 0)，则 y=au x (0,2 时， ymin=8当 0<a<1 时， y=au 有最小值，则 u=(x 3)2+3 在(0,2 上应有最大值，但u 在 (0,224上不存在最值。当 a>1 时， y=au 有最小值，则 u=(x 3 )2+ 3 在 (0,2 上应有最小值24当 x= 333时， umin =ymin= a 4243 a 4=8a=16 a=16, x= 3218、分析： |1x+2|>31+2< 3 或1

28、+2>3log 2x<0 或 log2x>2或log 12log 1x2log 1x2222720<x<1 或 x>4 或 1<x<27 。0<log 2x<219、分析：log2x 1 +1 log 1x3 +2>0log 2 x1 3log 2x+2>0222令 t= log 2 x1(t 0)竞赛试卷 t 3t2+1>0 (t 0)0 t<10log2x 1<11 log2x<22 x<422所求不等式的解集为2,4)3535a=( b )2, c=( d )420、分析： logab=

29、, log cd=b= a 2 , d= c 4(*)a|b, c|d24acbd 21b5b2d4bd2 bd2a c2a a c9(=9 (=9a) (c)c) +()b d 2d2aa c94ac2c 2代入 (*) 得：a25,c16b d=93。bd1253221、分析：依题意得：x( a2 2a 2 )xx( a22a 2 )x22 2a 2<13 3>03 >3x>(a 2a 2)xa2a 2a3<01<a<3。22、分析：设y= log 5(3x+4 x)=log 4(5x 3x) 5y=3 x+4x, 4y=5x 3x 5y+4 y=

30、5x+4x f(t)= 5 t+4t 是单调递增函数 f(y)=f(x)y=x 5x=3 x+4x( 3 ) x+( 4 )x=155 g(x)= ( 3)x+(4)x 为单调递减函数且 ( 3)2+(4)2=15555 x=2 是原方程的唯一解。学生思考：解方程 10x+11x+12 x=( 365 )。23、分析：求 a 的取值范围，只需分离参数a 与变量 x，化成 a>g(x) 。依题意得： 1+2 x+3 x+(n 1)x+nxa>0a> (1)x+(2)x+ +( n1) x (x 1)nnn ( k )x，当 k=1,2,3, ,(n-1)时，在 ( ,1上都是增

31、函数n g(x)= ( 1) x+(2)x+ +( n 1)x在 ( ,1上都是增函数nnn竞赛试卷12n 1n 1 g(x)max =g(1)= ( + +)=2nnn a> n 1 ，即 a 的取值范围为 ( n1,+ )。22124、分析：取x=y=a,u=v=b ，则对任何a>1,b>0 有 f(a2b) f ( a) 2b1令 a=10, 2b=lgx ，则对任何 x>1 有 f(x) f (10) lg x再令 a=x, 2b= 11，则对任何 x>1 有 f(x) f (10) lg xlg x1满足条件 f 只能是 f(x)=f (10) lg x

32、1令 f(10)=c (c 为大于 1的任何实数 )，则 f(x)= c lg x(c>1)1经检验知： f(x)= c lg x(c>1) 为所求的函数。函数的最值1、B；2、D；3、D；4、 1 ；5、 4；6、5；27、解析： g(x)=x=1 1x 2112x当 x=1 时， gmax(x)= f(x)= (x 1)2+ 12x12当 x=2 时， fmin(x)= 1 。28、解析：令 x=y=0 ，则 f(0)=0 ，令 y= x 得 f(x)+f( x)=f(0)=0f( x)= f(x) f(x) 为奇函数设 x1、 x2R 且 x1 >x2，则 x1 x2&

33、gt;0 f(x 1 x2)<0 f(x 1) f(x 2 )=f(x 1 x2)+x 2 f(x 2)= f(x 1 x2)+f(x 2) f(x 2)= f(x 1 x2)<0 f(x) 为减函数由知fmin(x)=f( 3)= f(3)= f(2)+f(1)= 3f(1)=2 ； fmax(x)=f(6)=6f(1)= 4。a+xa19、解析： y=x+2a= x+xxxaxx令 t= x+ axt= x+ a 2 a a 为正常数， x>0x y=t+ 1(t 2 a )t当 0<a 1 时， t+ 1 2当 t=1 2a 时， ymin=2 ；4t当 a>

34、; 1 时， t 2a 1, y=t+ 1 是增函数当 t=2 a 时， ymin=24tb10、解析：b>2a<1f(x) 在 -1,1 上的增函数2a |sinx|1 f min(sinx)=f( 1)= 4, f max(sinx)=f(1)=2 a b+c= 4, a+b+c=2b=3 a=1, c= 223217 f(x)=x+3x 2=(x+ )42当 x= 3时， f min(x)= 17 。24令 x=1 代入 4x f(x) 2(x 2+1) 得 f(1)=4 a+b+c=4 4x f(x)ax2+(b 4)x+c 0 恒成立?0(b-4) 2-4ac 0(-a-c)2-4ac 0 (a-c)2 0 a=c b Na+c 4 2c 4c 2 c=1 或 c=2经检验 c=2 不合题意，应舍去 c=1竞赛试卷a +1；22竞赛试卷11、解析： y= x 44x317x 226x 106=(x 2+2x+7)+x 264 1x22x72x7设 u= x 2+2x+7=(x+1) 2+66,10 y=u+ 64 1 在 6,8 上是减函数；在 8,10 上的增函数u47 ymin =15； ymax=3x10x1 012、解析： f(