高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.2极大值与极小值教学案苏教版选修2-2

1、13.2极大值与极小值 对应学生用书P16极值已知 y f ( x) 的图象 ( 如图 ) 问题 1：当 x a 时，函数值 f ( a) 有何特点？提示：在 x a 的附近， f ( a) 最小， f ( a) 并不一定是 y f ( x) 的最小值问题 2：当 x b 时，函数值 f ( b) 有何特点？提示：在 x b 的附近， f ( b) 最大， f ( b) 并不一定是 y f ( x) 的最大值1观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降 ”(函数由单调 递增 变为单调 递减 ) ，这时在点P 附近，点 P 的位置最高， 亦即 f ( x1 )

2、比它附近点的函数值都要大，我们称f ( x1) 为函数 f ( x) 的一个 极大值2类似地，上图中f ( x2) 为函数的一个 极小值3函数的极大值、极小值统称为函数的极值极值与导数的关系观察图 ()问题 1：试分析在函数取得极大值的x1 的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题 2：试分析在函数取得极小值的x2 的附近左右两侧导数的符号有什么变化？1/12提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1极大值与导数之间的关系如下表：xx1 左侧x1x1 右侧f (x)f (x)>0f (x) 0f (x)<0f ( x)增极大值 f ( x1)减2

3、极小值与导数之间的关系如下表：xx2 左侧x2x2 右侧f (x)f (x)<0f (x) 0f (x)>0f ( x)减极小值 f ( x2)增1极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小2函数的极值并不惟一( 如图所示 ) 3极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示， f ( x1) 是极大值， f ( x4) 是极小值，而 f ( x4)> f ( x1) 对应学生用书 P17求函数的极值 例 1求下列函数的极值：(1) f ( x) x3 3x2 9x 5；ln x(2) f ( x) x.

4、思路点拨 按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域2/12322 精解详析 (1) 函数f ( x) x 3x 9x 5 的定义域为R，且f (x) 3x 6x 9.当 x 变化时， f (x) 与 f ( x) 的变化情况如下表：x( ， 1) 1( 1,3)3(3 ，)f (x)00f ( x)极大值 10极小值 22因此，函数f ( x) 的极大值为f ( 1) 10；极小值为 f (3) 22.ln x(2) 函数 f ( x) x 的定义域为 (0 ， ) ，1ln x.且 f (x) x2令f( ) 0，解得x e.x当 x 变化时， f (x) 与 f ( x) 的变化情况如下

5、表：x(0 ， e)e(e ，)f (x)0f(x)1极大值 e1因此函数 f ( x) 的极大值为f (e) e，没有极小值 一点通 (1) 求可导函数极值的步骤：求导数 f (x) ；求方程 f (x) 0 的根；检查 f (x) 的值在方程f (x) 0 的根左右的符号，如果左正右负，那么f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f ( x) 在这个根处取得极小值(2) 注意事项：不要忽视函数的定义域；要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点1函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a， b) ，导函数 f (x) 在( a， b) 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在

6、开区间 ( a， b) 内有 _个极小值3/12解析：由图可知，在区间(a，1) ，(x2,0)，(0，3) 内( )>0 ；xxfx在区间 ( x1， x2) ，( x3， b) 内 f (x)<0.即 f ( x) 在 ( a， x ) 内单调递增，1在 ( x1， x2) 内单调递减，在 ( x2， x3) 内单调递增，在( x3， b) 内单调递减所以，函数f() 在开区间 (a，) 内只有一个极小值，xb极小值为 f ( x2) 答案： 12关于函数 f ( x) x3 3x2 有下列命题，其中正确命题的序号是_ f ( x) 是增函数；f ( x) 是减函数，无极值；f

7、 ( x) 的增区间是 ( ， 0)和(2 ， ) ，减区间为 (0,2) ； f (0) 0 是极大值， f (2) 4 是极小值解析： f (x) 3x26x，令 f (x) 0，则 x 0 或 x 2.易知当 x( ， 0) 时， f (x)>0 ；当x (0,2)时，f( )<0 ；x当 x (2 ， ) 时， f (x)>0.所以 f ( x) 的单调增区间是 ( ， 0) 和 (2 ， ) ，减区间是(0,2) ；极大值为f (0)，极小值为 f (2) 答案：133设 f ( x) aln x 2x2x 1，其中 aR，曲线 y f ( x) 在点 (1 ，f

8、(1)处的切线垂直于 y 轴(1)求 a 的值；(2) 求函数 f ( x) 的极值13解： (1) 因 f ( x) alnx 2x 2x 1，a13故 f (x) x 2x2 2.由于曲线 y f ( x) 在点 (1 ， f (1) 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即 f (1)4/1213 0，从而 a 22 0，解得 a 1.(2) 由 (1)13知 f ( x) ln x x1( x>0) ，2x21 1 33x2 2x 13x 1x 1f (x) x 2x2 22x22x2.令f( ) 0，解得x1 1，11) 2 (因2 不在定义域内，舍去xx3x3当 x (0,

9、1) 时， f (x)<0 ，故 f ( x) 在(0,1) 上为减函数；当 x(1 ， ) 时， f (x)>0 ，故 f ( x) 在 (1 ， ) 上为增函数故 f ( x) 在 x 1 处取得极小值f (1) 3.已知函数极值求参数 例 2已知 f ( x) x3 3ax2 bx a2 在 x 1 时有极值 0. 求 a， b 的值 思路点拨 解答本题可先求f (x) ，利用 x 1 时有极值 0 这一条件建立关于a，b 的方程组解方程组可得a，b 的值，最后将a， b 代入原函数验证极值情况 精解详析 f ( x) 在 x 1 时有极值0 且 f (x) 3x2 6axb

10、，f 1 0，3 6ab 0，即f 10， 1 3a b a20.a 1，a 2，解得或b 3b 9.当 a1， b 3 时，f (x) 3x2 6x3 3( x 1) 20，所以 f ( x) 在 R 上为增函数，无极值，故舍去当 a2， b 9 时，f (x) 3x2 12x 9 3( x 1)( x3) 当 x( ， 3) 时， f ( x) 为增函数；当 x( 3， 1) 时， f ( x) 为减函数；当 x( 1， ) 时， f ( x) 为增函数所以 f ( x) 在 x 1 时取得极小值，因此a2， b 9.5/12 一点通 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函

11、数性质时，注意两点：(1) 常根据取极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2) 因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性4已知函数f ( x) x3 ax2 bx a2 在 x 1 处有极值为10，则 ab _.解析： f (x) 3x2 2axb，f 1 0，由题意可知：f110，2a b 30，即a2 a b 1 10，a 4a 3，得或b 11b 3.当 a 3， b3 时，f (x) 3x2 6x3 3( x 1) 2，易知在 x 1 的左右两侧都有f (x) 0，即函数 f ( x) 在 R 上是单调递增的，因此

12、f ( x) 在 x1 处并不存在极值，a 4，故ab 44.b 11.答案： 445已知函数y 3x x3 m的极大值为10，则 m的值为 _ .解析： y 33x2 3(1 x)(1 x) ，令 y 0 得 x1 1， x2 1，经判断知极大值为 f (1) 2 m 10， m 8.答案： 86已知函数f ( x) ax3bx2 3x 在 x±1 处取得极值讨论f (1) 和 f ( 1) 是函数f ( x) 的极大值还是极小值解： f (x) 3ax2 2bx 3，6/123a2b 3 0，依题意， f (1) f ( 1) 0，即3a2b 3 0.解得 a 1， b0， f

13、( x) x3 3x， f (x) 3x2 3 3( x1)( x 1) ，令 f (x) 0，得 x 1， x 1，x( ， 1)1( 1,1)1(1 ，)f (x)00f ( x)极大值极小值所以 f ( 1) 2 是极大值， f (1) 2 是极小值极值的综合应用 例 3已知 a 为实数，函数f ( x) x3 3xa.(1) 求函数 f ( x) 的极值，并画出其图象 ( 草图 ) ；(2) 当 a 为何值时，方程f ( x) 0 恰好有两个实数根？ 精解详析 (1) 由 f ( x) x3 3x a，得 f (x) 3x23，令 f (x) 0，得 x 1 或 x 1.当 x( ，

14、1) 时， f (x)<0 ；当 x ( 1,1) 时， f (x)>0 ；当 x(1 ， ) 时， f (x)<0.所以函数 f ( x) 的极小值为f ( 1) a 2；极大值为 f (1) a 2.由单调性、极值可画出函数f ( x) 的大致图象，如图所示这里，极大值a 2 大于极小值a 2.(2) 结合图象，当极大值a 2 0 或极小值 a 2 0 时，曲线f ( x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程f ( x) 0 恰有两个实数根综上，当 a±2时，方程恰有两个实数根 一点通 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查

15、已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键7/127在例 3 中当 a 在什么范围内取值时，曲线y f ( x) 与 x 轴仅有一个交点？解：函数 f ( x) 的大致图象如图所示：当函数f ( x) 的极大值a2<0 或极小值a 2>0 时，曲线y f ( x) 与 x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是 a< 2 或 a>2.8已知 x 3 是函数 f ( x) aln(1 x) x2 10x 的一个极值点(1) 求 a；(2) 求函数 f ( x) 的

16、单调区间；(3) 若直线 y b 与函数 y f ( x) 的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围a解： (1) 因为 f (x) 2x 10，a所以 f (3) 4 6 10 0，因此 a 16.(2) 由(1) 知，f ( x) 16ln(1 x) x2 10x，x ( 1， )2x2 4x3 (3 ， )时，f (x) 1 x，当 x ( 1,1)f (x)>0 ，当 x (1,3)时， f (x)<0 ，所以 f ( x) 的单调增区间是( 1,1) 和 (3 ， ) ， f ( x) 的单调减区间是(1,3)(3) 由 (2) 知， f ( x) 在 ( 1,1) 内单

17、调递增，在 (1,3) 内单调递减，在 (3 ， ) 上单调递增，且当 x 1 或 x 3 时， f (x) 0，所以 f ( x) 的极大值为 f (1) 16ln 2 9，极小值为 f (3) 32ln 2 21，所以要使直线y b 与 y f ( x) 的图象有 3 个交点，当且仅当f (3)< b<f (1) 因此 b 的取值范围为 (32ln 2 21,16ln 29) 根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1) 极大 ( 小 ) 值未必是最大 ( 小 ) 值，可以有多个数值不同的极大 ( 小 ) 值；(2) 极大 ( 小 ) 值是局部充分小的领域内的最大

18、 ( 小 ) 值；8/12(3) 极大 ( 小 ) 值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4) f (x0) 0 只是可导函数f ( x) 在 x0 取得极值的必要条件，不是充分条件 对应课时跟踪训练( 七 )一、填空题1已知函数f ( x) 的定义域为 ( a， b) ，导函数f (x) 在区间 ( a， b) 上的图象如图所示，则函数y f ( x) 在 ( a， b) 上极大值点的个数为_解析：极大值点在导函数f (x ) 0处，且满足 x左侧为正，右侧为负，由图象知有003 个答案： 32( 新课标全国卷 改编 ) 函数 f ( x)在 x x0 处导数存在若p：

19、 f (x0 ) 0； q： x x0 是 f ( x) 的极值点，则 p 是 q 的 _条件解析：设 f ( x) x3， f (0) 0，但是 f ( x) 是单调增函数，在x 0 处不存在极值，故若 p 则 q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则 p 是一个真命题故p 是 q 的必要不充分条件答案：必要不充分x处有极小值，则x _.3若函数 f ( x) x·2 在 x00解析： f(x) 2xxx·2ln 2 ，1令 f (x) 0，得 x ln 2 .1答案： ln 24 设a R，若函数y eax 3x ， x R 取极值的点大于0 ，则a 的取值范围是_解

20、析：令x f ( x) ，则 f (x) aeax 3，函数 f ( x) 取极值的点大于0，ax即 f (x) ae 30 有正根9/12ax30成立时，显然有a 0，当 f (x) ae13此时 x ln ，aa由 x 0 可得 a 3.答案： ( ， 3)5( 福建高考改编) 设函数f ( x) 的定义域为R， x0( x00) 是 f ( x) 的极大值点，以下结论一定正确的是_ ? x R， f ( x) f ( x0) ； x0 是 f ( x) 的极小值点； x0 是 f ( x) 的极小值点； x0 是 f ( x) 的极小值点解析：不妨取函数f ( x) x3 x，则 x3为

21、 f ( x) 的极大值点，但f (3)> f 3 ，33 排除 ；取函数 f ( x) ( x 1) 2，则 x 1 是 f ( x) 的极大值点，但1 不是 f ( x) 的极小值点，排除； f ( x) ( x 1) 2， 1 不是 f ( x) 的极小值点， 排除 ， f ( x) 的图象与f ( x) 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得x0 应为函数 f ( x) 的极小值点，填.答案：二、解答题136已知函数 f ( x) 3x 4x 4，求函数的极值，并画出函数的大致图象解： (1)f (x) x2 4.解方程 x2 4 0，得 x1 2， x2 2.当 x 变化时

22、， f (x) 、 f ( x) 的变化情况如下表：x( ， 2) 2( 2,2)2(2 ，)f (x)00f ( x)2843 328从上表看出，当x 2 时，函数有极大值，且极大值为f ( 2) 3 ；10/124而当 x2 时，函数有极小值，且极小值为f (2) 3.1 3函数 f ( x) x 4x4 的图象如图所示7已知函数f ( x) x3 3ax1， a0.(1) 求 f ( x) 的单调区间；(2) 若f(x) 在x 1 处取得极值，直线y与y(x) 的图象有三个不同的交点，求mfm的取值范围解： (1) f (x) 3x2 3a3( x2 a) 当 a<0 时，对 x

23、R，有 f (x)>0 ，当 a<0 时， f ( x) 的单调增区间为 ( ， ) ；当 a>0 时，由 f (x)>0 解得 x< a，或 x>a，由 f (x)<0 解得 a<x<a， 当 a>0 时， f ( x) 的单调增区间为( ，a) ， (a， )， f ( x) 的单调减区间为 ( a， a) (2) f ( x) 在 x 1 处取得极值，f ( 1) 3×( 1) 2 3a 0. 1.a f ( x) x3 3x 1， f (x) 3x2 3.由 f ( x) 0 解得 x1 1， x2 1，由 (1) 中 f ( x) 的单调性可知，f ( x) 在 x 1 处取得极大值f ( 1) 1，在 x1 处取得极小值f (1) 3.直线y与函数yf() 的图象有三个不同的交点，mx结合 f ( x) 的单调性可知 m的取值范围是 ( 3,1) 8 ( 重庆高考 ) 已知函数f ( x)