高等数学北大第二版69极值问题ppt课件

1、 6-9 极值问题极值问题1. 多元函数极值问题多元函数极值问题0000,fx yfxyfx yfxy 或 那么称函数在点那么称函数在点 处有极大处有极大(小小)值；值；-极值极值00,xy称点称点 为极大为极大(小小)值点；值点； -极值点极值点00,xy 定义定义 设函数设函数 在区域在区域 内有定义，内有定义， 是是 的内点，假设存在的一个邻域，使得对该邻域内任的内点，假设存在的一个邻域，使得对该邻域内任一点一点 ，都有，都有,f x y00,x y, x y00,xyDD 二元函数的极值图例二元函数的极值图例 2234zxy有极小值有极小值 (0,0)0z22zxy 有极大值有极大值

2、(0,0)0z 定理定理1 (极值的必要条件极值的必要条件)假设函数假设函数 在点在点 处到达极值处到达极值,且且,f x y00,xy0000,xyfxyfxy 与 存在存在, 那么必有那么必有0000,xyfxyfxy=0, =0.证证.),(00为极大值不妨设yxf都有邻域内的一切点),(yx某一由定义，对),(00yx).,(),(00yxfyxf特别地有, 0|),(00 xxyxfdxd上式阐明一元函数 在 获得极大值， ),(0yxf0 x由一元函数获得极值的必要条件，有).,(),(000yxfyxf, 0),(00yxfx. 0),(00yxfy同理可证 各偏导数存在的极值点

3、一定是稳定点各偏导数存在的极值点一定是稳定点.但稳定点不一但稳定点不一定是极值点定是极值点.满足方程组满足方程组 的点为的点为 的稳定点的稳定点.,f x y. 0),(, 0),(yxfyxfyx定理极值存在的充分条件定理极值存在的充分条件令令000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy设函数在点在点00,xy的某个邻域内的某个邻域内有延续二阶偏导数，且有延续二阶偏导数，且),(yxfz , 0),(00yxfx. 0),(00yxfy,),(0A.B002是极小值时，则当若yxfAC.),(0A00是极大值时，而当yxf根据代数知识，时，二次三项式当acb 2222cybxyax不全

4、为零）yx,()()(1222ybacbyaxa时。当时当0, 0,0, 0aa),(00yyxxf),(00yxf222)(21xPxfyxPyxf)(22,)(222yPyf. 10),P00yyxx其中为简便起见，令),(22PxfA),(2PyxfB),(22PyfC那么),(00yyxxf),(00yxf221xAyxB2.2yC”或“判别是“-证证邻域内的任意一点，为设),(),(00yxyx,0yyy,0 xxx令根据泰勒公式有充分小时，与当|yx.A2CABA相同的符号，且与时，因此，当0A ,0yx 与）的为对于一切充分小（不全yxB22yC2xA, 0),(00yyxxf从

5、而),(00yxf.),(00是极小值即yxf时，当0A ,0yx 与）的为对于一切充分小（不全yxB22yC2xA, 0),(00yyxxf从而),(00yxf.),(00是极大值即yxf根据二阶偏导数延续的假定，时，当0, 0yx,AA ,BB .CC 因此200,BACf xy 时, 一定不是极值一定不是极值200,BACf xy 时, 能够是，也能够不是极值能够是，也能够不是极值例例3 3求函数解解 第一步第一步 求稳定点求稳定点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(

6、yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC补例补例.讨论函数讨论函

7、数及能否获得极值.解解 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02BAC33yxz能够为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz2. 多元函数的最值问题多元函数的最值问题 假设函数在闭区域假设函数在闭区域 D 上延续时上延续时,它在它在D上有最大上有最大(小小)值，最值，最值一定是在极值点或边境上获得值一定是在极值点或边境上获得. 在实践运用中，假设根据问题的性质

8、可知函数在实践运用中，假设根据问题的性质可知函数在区域在区域 D 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 D 内又只需独内又只需独一的稳定点，那么可断定函数在该稳定点即获得最一的稳定点，那么可断定函数在该稳定点即获得最值值.问题的提出问题的提出: 知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf (x) ., 1(),(iyxiioyx需求处理两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实践背景2. 确定近似函数的规范 )(iixfy 实验数据有误差,不能要求),2n最小二乘法最小二乘法 oyx 偏向)(iiixfyr有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏向平方和最小

9、 min)(21iinixfy为使一切偏向的绝对来确定近似函数 f (x) .最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上, 经过偏向平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为阅历公式 .), 1(),(niyxii, 它们大体 特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b 令min)(21bxayinii),(bauau0)(21iiniixbxaybu0)(21bxayiniibxay满足:使oyx得axnii12bxnii1niiiyx1axnii1bnniiy1解此线性方程组即得 a, b称为法方程组为待定系数，babaxy,使利用这个近

10、似公式算出的 值与实验所得值的误差平方和yniiiybax12)(最小. 例例 4 最小二乘法最小二乘法 知变量知变量 是变量是变量 的函数，由的函数，由 实验测得当实验测得当 获得获得 个不同的值个不同的值 时，对应的时，对应的 的的 值分别为值分别为 . 试据此作一个最正确线性近试据此作一个最正确线性近似似 公式：公式： xyxynxxx,21 nyyy,21 n的纵坐标与直线表示点这里),()(2iiiiyxybax.差的平方处对应的点的纵坐标之上ixbaxyxoyixiy),(iiyxbaxy),(bau解解niiiybaxbau12)(),( 问题 转化为求二元 函数 的最小值.),

11、(bau 令au, 0)(21iiinixybxa, 0)(21iiniybxabu即axnii12bxnii1niiiyx1axnii1bnniiy1解此线性方程组即得 a, b称为法方程组用归纳法可证方程组的系数行列式niixn1221)(niix0)(112nnjiijixx),(00ba因而方程组有惟一解.),(有惟一的稳定点即函数bauaau又,212niixabu,21niix.2nubb处于是在),(00ba2ACB, 0)(4112nnjiijixx, 0A .),(00是极小值因而bau.),(00就是最小值bau于是得到最线性近似公式,00bxay.,00为上述方程组的解其

12、中ba补例补例解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,那么高那么高为为那么水箱所用资料的面积为令得稳定点某厂要用铁板做一个体积为2根据实践问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才干运用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯稳定一点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用资料最省.3m)2,2(333232222333. 条件极值条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :对自变量只需定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制习题习题 6-

13、9 1.(1) (3) 4.6.7 例如例如 求外表积为求外表积为a2而体积为最大的长方体的体积问题而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体三棱的长为设长方体三棱的长为x,y,z，那么体积为，那么体积为V=xyz，又因外表积，又因外表积 为为a2 ，所以，所以x,y,z必需满足附加条件必需满足附加条件2(xy+yz+xz)= a2. 但我但我 们可把条件极值化为无条件极值问题，即将们可把条件极值化为无条件极值问题，即将z表成表成x,y的的 函函 数数.)(222yxxyaz 再把上式代入V=xyz中，那么问题化为)2(22yxxyaxyV的无条件极值.条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入

14、法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyyx 中解出从条件)(,(xyxfz ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,那么问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xyy )(,(xyxfz 例如例如,故 0)(ddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),

15、(yx那么极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF为求为求,zf x y在约束条件在约束条件 下的极值点下的极值点,0 x y其中其中 是常数，称为拉格朗日乘数是常数，称为拉格朗日乘数.作辅助函数：作辅助函数：, ,.F x yf x yx y拉格朗日函数拉格朗日函数解方程组 再判别此稳定点能否是条件极值点再判别此稳定点能否是条件极值点., ,0, ,0, ,0 xxxyyyFx yfx yx yFx yfx yx yFx yx y 设法消去而得到的解，它们就是条件极值设法消去而得到的解，它们就是条件极值的稳定点的稳定点 ., x y推行推行拉格朗日乘数法可

16、推行到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F例例 求外表积为求外表积为 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 解解 设长方体的三棱长设长方体的三棱长 ,那么问题就是在条那么问题就是在条件件2azyx,) 1 (222),(2axzyzxyzyx，下，求函数)0, 0, 0(zyxxyzV的最大值.作拉格朗日函数)222(),(2axzyzxyxyzzyxL求其对 的一阶偏导数，并使之为零，得到zyx, 0)(2zyyz. 0)(2yxxy, 0)(2zxxz)2(式可得由都不为零，因为)2(,zyx ,zyzxyx.zxyxzy由以上两式得，zyx将上式代入(1)式，可得,66azyx这是独一能够的极值点.此时最大体积为.3663aV 例例52222),(Rzyxxyzzyxf在球面求函数.)0, 0, 0(上的最大值zyx解解0,0, 0, 0 xyzzyx时当趋向于球面且当),(zyx界在第一卦限中的三个边2222Rzyx0,222xR