高等代数--第三章线性方程组§36线性方程组解的结构ppt课件

1、3.6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构111212100(1)0nnnnssnna x a xa xa x a xa xa x a xa x112 2122 21s2 2+1解的性质解的性质性质性质1 (1)的两个解的和还是的两个解的和还是(1) 的解的解;性质性质2 (1)的一个解的倍数还是的一个解的倍数还是(1)的解的解;性质性质3 (1)的解的任一线性组合还是的解的任一线性组合还是(1)的解的解2 基础解系基础解系定义定义 齐次线性方程组齐次线性方程组(1)的一组解的一组解1,2,r，若满足，若满足 1) 1,2,r线性无关； 2

2、) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由1,2,r线性表出； 则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一个基础解系； 4 基础解系存在性基础解系存在性定理定理 在齐次线性方程组在齐次线性方程组(1)有非零解的有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于所含解向量的个数等于nr, 其中其中r 为方为方程组系数矩阵的秩。程组系数矩阵的秩。证：若证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系方程组只有零解，不存在基础解系若R(A) =rn，不妨设NoImage那么(1)可写成 11 112 211, 11121 122 222, 1121 12

3、2, 11(2).r rrrn nr rrrn nrrrr rr rrrn na xa xa xaxa xa xa xa xaxa xa xa xa xaxa x 我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组(1)的一个解。 用组数 (1,0,0), (0,1,0),(0,0,0)来代替自由未知量(xr+1,xn), 就得到(2)的解，也就是(1)的nr个解:111121221222,1,2,(,100(,010(3)(,0 01rrn rn rn rn r rccccccccc， ， ， ）， ， ， ， ）， ， ， ， ）要证明(3)是(1)的基础解系，需证 1,2,n-r线性无关令k1

4、1+ k22+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +kn-rn-r=(*,*,k1, k2,kn-r)=0，从而k1=k2=kn-r=0, 所以1,2,n-r线性无关。 任取(1)的一个解,可由1,2,n-r线性表出由于1,2,n-r是(1)的解,所以线性组合cr+11 + cr+22 + +cnn-r也为(1)的解，比较二者的后n r个分量可知，自由未知量相同，故二者是同一个解，即是 设 =(c1,c2,cn)是(1)的任意一个解, = cr+11 + cr+22 + +cnn-r由 ， 为(1)的一个基础解系例例1求齐次线性方程组求齐次线性方程组1234123412340232203

5、430 xxxxxxxxxxxx的基础解系推论推论 任一线性无关的与任一线性无关的与(1)的某一基础的某一基础解系等价的向量组都是解系等价的向量组都是(1)的基础解系的基础解系二、一般线性方程组解的结构11112211211222221122(4)nnnnsssnnsa xaxaxbaxaxaxba xaxaxb如果b1= b2= bs=0, 则得到方程组(1)，称齐次方程组(1)为方程组(4)的导出组。 性质性质1 线性方程组线性方程组(4)的任意两个解的任意两个解的差为其导出组的差为其导出组(1)的解的解 性质性质2 线性方程组线性方程组(4)的任意一个解的任意一个解与导出组与导出组(1)

6、的任意一个解之和是线性方程的任意一个解之和是线性方程组组(4)的解的解.解的结构解的结构定理定理 假设假设0为为(4)的一个特解，则方程组的一个特解，则方程组(4)的任一解的任一解皆可表成皆可表成 = 0+ ,其中其中为其为其导出组导出组(1)的一个解的一个解 从而, 方程组(4)的一般解为 = 0+k11 + k22 +knrn r其中0为(4) 的一个特解，1,2,n r 为导出组的一个基础解系推论推论 方程组方程组(4)在有解的条件下在有解的条件下,有唯有唯一解一解(4)的导出组的导出组(1)只有零解只有零解求一般线性方程组求一般线性方程组(4)的一般解的一般解步骤：步骤：1求出其导出组的基础解