第三章直线的投影数学教学课件PPT

1、3-1 直线的投影直线的投影第三章第三章 直线的投影直线的投影3-2 特殊位置直线特殊位置直线3-5 直角投影定理直角投影定理3-3 一般位置直线的实长与倾角一般位置直线的实长与倾角3-4 两直线的相对位置两直线的相对位置3-1 直线的投影直线的投影(一一)投影的特性投影的特性直线的投影仍为直线直线的投影仍为直线(类似性类似性)，特殊，特殊情况下为一点情况下为一点(积聚性积聚性)。特殊情况下。特殊情况下为等长（全等性）为等长（全等性）HabDCc(d)ABaa aXZYWYHOb bb 直线的投影等于直线两端端点的同面投影连线直线的投影等于直线两端端点的同面投影连线(二二)属于直线的点属于直线

2、的点ABbb aa XOcc Cc属于直线的点的投影特性：属于直线的点的投影特性： 1 1 从属性从属性 若点属于直线，则点的各个投影必属于该直线的各同若点属于直线，则点的各个投影必属于该直线的各同面投影。面投影。 2 2 定比性定比性 属于直线段的点分割直线段之长度比等于其投影长度属于直线段的点分割直线段之长度比等于其投影长度比。即比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 根据这两个特性根据这两个特性, ,我们可以判断一个点是否属于直线我们可以判断一个点是否属于直线, ,也可以求也可以求属于直线的点的投影。属于直线的点的投影。bXaabcc

3、 例题例题1 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的的投影投影。例题例题2 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影的正面投影。bXabaccaccbXOABbb aa c CcHVABbb aa XOmnm(M)n(N)概念：概念：直线与投影面的交点称为直线的迹点规定规定: :与H面的交点称直线的水平迹点,用M表示; 与V面的交点称直线的正面迹点,用N表示; 与W面的交点称直线的侧面迹点,用S表示;迹点的投影特征：迹点迹点的投影特征：迹点是是投影面与直线的共有点，故迹点的投影具有两重性，迹点属于投影面，它在该面上的投影

4、与自身重合，其余投影在投影轴上。迹点属于直线，则迹点的各投影应属于直线的各同面投影。迹点的求法迹点的求法：(三）三） 直线的迹点直线的迹点mm(M)ababnn(N)迹点的求法迹点的求法 求作直线AB的水平迹点M及正面迹点N。 求作水平迹点求作水平迹点M M： 延长直线的正面投影与OX轴相交于m； 过交点m作垂直于OX轴的投影连线与直线水平投影的延长线交于m，即直线的水平迹点M。求作正面迹点求作正面迹点N： 延长直线的水平投影与OX轴相交于n ； 过交点n作垂直于OX轴的投影连线与直线正面投影的延长线交于n ，即直线的正面迹点N。bXaabb m a b mm(M)b aa nn (N)nab

5、ababnn(N)nmm(M)m直线在投影体系中的位置直线在投影体系中的位置 直线在三投影面体系中与投影面的位置有直线在三投影面体系中与投影面的位置有三种：三种： 投影面的平行线水平线、正平线、侧平线 投影面的垂直线铅垂线、正垂线、侧垂线 倾斜于三个投影面的线 我们把前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线直线与投影面的倾角直线与投影面的倾角 把直线延长到与投影面相交，与投把直线延长到与投影面相交，与投影面产生的夹角称为直线与投影面的倾影面产生的夹角称为直线与投影面的倾角，分别为角，分别为 与H面的夹角为 与V面的夹角为 与W面的夹角为3-2 特殊位置直线特殊位置直线1 1、直线只平行于

6、一个投影面、直线只平行于一个投影面-即线上每个点的某一个坐标相等即线上每个点的某一个坐标相等 (1) (1) 水平线水平线 (2) (2) 正平线正平线 (3) (3) 侧平线侧平线2 2、直线垂直于一个投影面、直线垂直于一个投影面- - 即平行于两个投影面即平行于两个投影面, ,线上的点有两个线上的点有两个 坐标相等坐标相等 (1) (1) 铅垂线铅垂线 (2) (2) 正垂线正垂线 (3) (3) 侧垂线侧垂线1、投影面平行线 直线只平行于一个投影面直线只平行于一个投影面-即线上每个点的即线上每个点的某一个坐标相等某一个坐标相等 (1) (1) 水平线水平线- - 平行于平行于H H面的线

7、面的线, ,即即Z Z坐标相等坐标相等 (2) (2) 正平线正平线- - 平行于平行于V V面的线面的线, ,即即Y Y坐标相等坐标相等 (3) (3) 侧平线侧平线- - 平行于平行于W W面的线面的线, ,即即X X坐标相等坐标相等(1) 水平线水平线 平行于水平投影面平行于水平投影面H的直线的直线XZYOaababb Xab abbaOzYHYWAB投影特性：投影特性：1、a b OX ; a b OYW 2、ab =AB 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小XZYO（2）正平线）正平线 平行于正面投影面平行于正面投影面V的直线的直线aababbXabab baOZYHYWAB

8、 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小XZYO（3）侧平线）侧平线 平行于平行于侧侧面投影面面投影面W的直线的直线XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小2、投影面垂直线 直线垂直于一个投影面直线垂直于一个投影面- - 即平行于两个投即平行于两个投影面影面, ,线上的每个点有两个坐标相等线上的每个点有两个坐标相等 (1) (1) 铅垂线铅垂线- - 垂直于垂直于H H面面,X,

9、X、Y Y坐标相等坐标相等 (2) (2) 正垂线正垂线- - 垂直于垂直于V V面面,X,X、Z Z坐标相等坐标相等 (3) (3) 侧垂线侧垂线- - 垂直于垂直于W W面面,Y,Y、Z Z坐标相等坐标相等OXZYb a(b)a abZb Xa babOYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB（1）铅垂线 垂直于水平投影面H的直线AB（2）正垂线正垂线 垂直于垂直于正面正面投影面投影面V的直线的直线OXZYbababa投影特性：投影特性： 1、 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OX

10、 ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWab（3）侧垂线）侧垂线 垂直于垂直于侧面侧面投影面投影面W的直线的直线OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab3、属于投影面的线 从属于投影面的直线从属于投影面的直线- - 可以理解为一些坐可以理解为一些坐标等于零的特殊位置直线标等于零的特殊位置直线 （1 1）从属于投影面的直线从属于投影面的直线 （2 2）从属于投影面的铅垂线从属于投影面的铅垂线 （3 3）属于投影轴的直线

11、属于投影轴的直线（1）从属于）从属于V 面的直线面的直线ZXaaaOYHYWbbbOXZYABbbabaa相当于相当于Y坐标等于零的正平线坐标等于零的正平线（2）从属于）从属于V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXababOYHa相当于相当于X、Y坐标等于零的铅垂线坐标等于零的铅垂线(3) 从属于从属于OX轴的直线轴的直线ZXabaOYHYWabbOOXZYABbbabaa相当于相当于Y、Z坐标等于零的侧垂线坐标等于零的侧垂线有关知识的回顾有关知识的回顾Xab abbaOzYHYWzXab baOYHYWab 由前面讲述所知，特殊位置直线，总是可以在相应的投影图

12、由前面讲述所知，特殊位置直线，总是可以在相应的投影图上反映直线的真实长度和倾角。上反映直线的真实长度和倾角。OXZYABbababaZXaaaOYYbbb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 、 不反映不反映 、 、 的真实大小的真实大小3-3 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性|zA-zB |SCABABbbaaB0XO线段的实长和倾角线段的实长和倾角(直角三角形法直角三角形法)|zA-zB|XaabbSCABab|zA-zB|SCAB|zA-zB|abABbbaaB0XO|YA-

13、YB|aXab ba bAB AB a b|YA-YB|YA-YB|AB |YA-YB| A0XZYO ABbbabaaZXa a aOYHYWbbb |XA-XB|XA-XB|A0例题例题1 已知已知 线段的实长线段的实长AB和和正面投影及正面投影及B点的水平投影，点的水平投影，求它的水平投影。求它的水平投影。a|zA-zB| ab |yA-yB|b Xa bABabab|yA-yB|直角三角形法小结：直角三角形法小结： 直角三角形法是用来解决一些空间问题的一种方法，如求空间直线的直角三角形法是用来解决一些空间问题的一种方法，如求空间直线的实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等等。

14、实长、倾角、以及通过求坐标差来求空间直线的投影等等。 在我们所讨论的直角三角形中，有在我们所讨论的直角三角形中，有四个要素四个要素：实长、倾角、投影、：实长、倾角、投影、坐标差。四个要素中任意知道两个要素，都可以求到另两个要素。但必须坐标差。四个要素中任意知道两个要素，都可以求到另两个要素。但必须弄清楚这些要素的关系。在解题的时候搞清楚每一个三角形的含义及目的。弄清楚这些要素的关系。在解题的时候搞清楚每一个三角形的含义及目的。 坐标差坐标差 X Y Z实长实长投影投影 W面投影面投影 a b V面投影面投影 a b H面投影面投影 ab倾角倾角 bbXaaBC(L)例题例题 已知线段已知线段A

15、B的投影，的投影，试定出属于线段试定出属于线段AB的点的点C的投的投影，影， 使使BC 的实长等于已知长的实长等于已知长度度L。cLABzA-zBc ab已知：AB直线通过原点O，且与V面的夹角等于30，求AB的另两个投影。abo30abab3-4 两直线的相对位置两直线的相对位置 平行平行：两直线相交在无限远处：两直线相交在无限远处 相交相交：两直线有共有点：两直线有共有点 相叉相叉（即异面（即异面 ）：两直线既不平行也不）：两直线既不平行也不相交相交一、平行二直线一、平行二直线1、两平行直线的各同面投影都平行。反之，若两直线的各同面投影都平行，则、两平行直线的各同面投影都平行。反之，若两直

16、线的各同面投影都平行，则该两直线平行。该两直线平行。2、平行两直线段的真长比等于其同面投影长度比。、平行两直线段的真长比等于其同面投影长度比。3 、垂直于某一投影面的平行二直线，则二直线、垂直于某一投影面的平行二直线，则二直线 在该投影面上的投影反映二直线在该投影面上的投影反映二直线的真实距离。的真实距离。Xb aa d bbcc Xb a abdc d cABCD 对于两条一般直线，只要任意两组同面投对于两条一般直线，只要任意两组同面投影相互平行，则空间两条线亦平行影相互平行，则空间两条线亦平行 对于两投影面的平行线，则需要根据第三对于两投影面的平行线，则需要根据第三个投影或者比例法、指向法

17、来判别个投影或者比例法、指向法来判别平行线的判别平行线的判别a b aba b c cc d dd 不作出不作出W面投影，面投影，可以根据可以根据ab:cd=ab:cd是否是否成立来判断平行性。成立来判断平行性。或者判断或者判断AB、CD的两面投影指向不的两面投影指向不同来判断不平行性，同来判断不平行性，如果指向相同，则如果指向相同，则用其他方法判断用其他方法判断二、相交二直线二、相交二直线 相交的实质就是共有。相交的实质就是共有。相交二直线各同面投影都相交，且交点相交二直线各同面投影都相交，且交点的投影是二直线投影的交点的投影是二直线投影的交点, ,交点的三个投影应符合点的投影规律。交点的三

18、个投影应符合点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的三个投影也符合点反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的三个投影也符合点的投影规律，则该两直线相交。的投影规律，则该两直线相交。XBDACKbb aa c cdd k kb Xa abkc d dck三、三、 相叉两直线相叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为相叉两直线。 bXaabcddc11 (2 )2XOBDACbbaaccdd211 (2 )21四、判断两直线重影点的可见性四、判断两直线重影点的可见性XOBDACbb aac cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可判断重影点的可见性时，需要

19、看重影见性时，需要看重影点在另一投影面上的点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影，坐标值大的点投影可见，反之不可投影可见，反之不可见，不可见点的投影见，不可见点的投影加括号表示。加括号表示。例题例题 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置dacboYWYHzXaacddcbb例题例题 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置badcabXcd11d1c1两直线交叉两直线交叉例题例题 判断两交叉直线重影点的可见性判断两交叉直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)oYWYHz例题 判断两直线AB和CD是否平行。Xaacddcbbabcd主要方法补W投影定比利用相交、平行直线

20、均共面 首先观看两侧平线各投影字母顺序是否一致，不一致者肯定是交叉二线，一致者再作图判断。不平行( ) 4zoYWYHXaacddcbb( )( ) 1 例题例题 判断两直线的相对位置并判别重影点的可判断两直线的相对位置并判别重影点的可见性。见性。dacb补补W W 投影投影判断二线判断二线交叉交叉31 2 V V 投影重影投影重影处一般位置处一般位置线在前，线在前，H H 投影投影重影处重影处侧平线在上侧平线在上 255 43 2 （ ）（ ）例题 判断两直线的相对位置。 定比判别重影点的可见性同前。 V面投影重影处一般位置直线在前，侧平线在后。 H面投影重影处一般位置直线在下，侧平线在上。

21、点、属于侧平线，点属于一般位置直线判别重影点的可见性。定比判断两直线交叉baacddcbXO131223判别前后判别上下XZOYHYWacbabc例题例题 过点过点A A作直线与直线作直线与直线BCBC及及OZOZ轴相交。轴相交。ff还可换成（与OX或OY轴相交） 因OZ是铅垂线,水平投影积聚成点, 位置在O处,所以应先过a作水平投影.分析：ee3-5 直角投影定理直角投影定理定理：定理： 若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在该投若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在该投影面上的投影反映直角。影面上的投影反映直角。ABCPabc已知：已知：ABBC，ABP面面求证：求证：cba9

22、0证明：证明：ABBC 又又 ABBb ABCBbc 平面平面 ABab ab CBbc 平面平面 故故 abbc abc90cXcbabaAB垂直于垂直于AC,且且AB平行于平行于H面面,则有则有ab ac反定理仍然成立：反定理仍然成立：ABH面，面，ab ac，则：，则：AB ACAB AB 垂直于垂直于MN,MN,且且AB AB 平行于平行于H H 面面, ,则有则有abab mn mnXb a bamnn mO例题例题 过点过点A A 作正平线作正平线ABAB垂直于垂直于EFEF。bbaaOfeefXf例题例题 过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的垂线的垂线EFEF。f

23、OcbaabXcddeeb例题例题 作三角形作三角形ABCABC， ABCABC为直角，使为直角，使BCBC在在MNMN上，且上，且BCBC AB AB =2=2 3 3。bcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnststnmmn例题 作两条线的公垂线并求实长abcdabcdefklefklscsc直角定理小结 存在一个直角(可以以很多方式已知这个直角) 有一条平行于投影面的线(可以是投影面的平行线,也可以是投影面的垂直线) 反映直角(在平行的投影面上)综合练习1：已知AB=BC，完成BC投影。b a c abscscc分析：分析：从已知条件从已知条件可以知道，可以知道，AB、BC均为一般位置直均为一般位置直线，在投影中均不线，在投影中均不能反映真实的长度。能反映真实的长度。由于由于AB的两面投影的两面投影都知道，可以利用都知道，可以利用直角三角形法求出直角三角形法求出AB、BC的实长，的实长，又知道又知道BC的一个投的一个投影