高二上期末复习6选修21空间向量ppt课件

1、期末综合复习期末综合复习-选修选修2-12-1圆锥曲线圆锥曲线空间向空间向量与立量与立体几何体几何求空间间隔求空间间隔求空间角求空间角立体几何中立体几何中的向量方法的向量方法空间向量的空间向量的坐标运算坐标运算共线向量定理共线向量定理空间向量的空间向量的数量积运算数量积运算空间向量的空间向量的加减运算加减运算共面向量定理共面向量定理空间向量的空间向量的数乘运算数乘运算空间向量空间向量及其运算及其运算空间向量根本定理空间向量根本定理用空间向量证明平行与垂直问题用空间向量证明平行与垂直问题直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量向量夹角与间隔向量夹角与间隔平行与垂直的条件平行与垂直

2、的条件知识网络知识网络知识归纳知识归纳1.空间向量的概念及其运算与平面向量类似空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加减向量加减法的平行四边形法那么法的平行四边形法那么,三角形法那么以及相关的运三角形法那么以及相关的运算律依然成立算律依然成立.空间向量的数量积运算共线向量定理、空间向量的数量积运算共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在课件中的推行共面向量定理都是平面向量在课件中的推行,空间向空间向量根本定理那么是由二维到三维的推行量根本定理那么是由二维到三维的推行. 是数形结合的纽带之一是数形结合的纽带之一,这是运用空这是运用空间向量研讨线线、线面、面面垂直的关键间向量研讨线线、线面、面

3、面垂直的关键,通常可以通常可以与向量的运算法那么、有关运算律联络来处理垂直与向量的运算法那么、有关运算律联络来处理垂直的论证问题的论证问题.公式公式 是运用空间向量求空间中各种角是运用空间向量求空间中各种角的根底的根底,用这个公式可以求两异面直线所成的角用这个公式可以求两异面直线所成的角,再再结合平面的法向量结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二可以求直线与平面所成的角和二面角等面角等.0a bab cos,| |a ba bab 4.直线的方向向量与平面的法向量是用来描画空间中直线和平面直线的方向向量与平面的法向量是用来描画空间中直线和平面的相对位置的重要概念的相对位置的重要概念,经

4、过研讨方向向量与法向量之间的关经过研讨方向向量与法向量之间的关系系,可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置可以来确定直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及有关的计算问题关系以及有关的计算问题.5.用空间向量判别课件中的位置关系的常用方法用空间向量判别课件中的位置关系的常用方法.(1)线线平行线线平行:证两直线的方向向量是共线向量证两直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直线线垂直:证两直线的方向向量垂直证两直线的方向向量垂直,即即(3)线面垂直线面垂直:证直线的方向向量与平面的法向量垂直证直线的方向向量与平面的法向量垂直;证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线证明

5、可在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线;利用共面向量定理利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线即证明可在平面内找到两不共线向量来线性变式直线的方向向量性变式直线的方向向量.0aba b (4)线面垂直线面垂直:证直线的方向向量与平面的法向量平行证直线的方向向量与平面的法向量平行;利用线面垂直的断定定理转化为线线垂直问题利用线面垂直的断定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行面面平行:证明两个平面的法向量平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量即是共线向量);转化为线面平行、线线平行问题转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直面面垂直:证明两个平面的法向量相互垂直证明两

6、个平面的法向量相互垂直;转化为线面垂直、线线垂直问题转化为线面垂直、线线垂直问题.6.运用空间向量求空间角运用空间向量求空间角.(1)求异面直线所成的角求异面直线所成的角: 留意两异面直线所成留意两异面直线所成的角的范围的角的范围(2)求线面角求线面角:求直线与平面所成角时求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量影直线的方向向量,经过数量积求出直线与平面所成角经过数量积求出直线与平面所成角;另一种另一种方法是借助平面的法向量方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量先求出直线方向向量与平面法向量的夹角的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角

7、即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是其关系是cos,| |a ba bab (0,2 sin|cos| (3)求二面角求二面角:用向量法求二面角也有两种方法用向量法求二面角也有两种方法:一种方法市利用平面角的定义一种方法市利用平面角的定义,在在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出然后求出这两个方向向量的夹角这两个方向向量的夹角,由此求出二面角的大小由此求出二面角的大小;另一种方法市转另一种方法市转化为求二面角的两个面的法向量的夹角化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等它与二面角的大小相等或互补或互补.7.运用

8、空间向量求空间间隔运用空间向量求空间间隔空间中的各种间隔普通都可以转化为求点与点、点与线、点与面的空间中的各种间隔普通都可以转化为求点与点、点与线、点与面的间隔间隔(1)点与点的间隔点与点的间隔: 两点间的线段的长度两点间的线段的长度,即对应向量的模即对应向量的模.(2)点与面的间隔点与面的间隔:求解步骤求解步骤求出该平面的一个法向量求出该平面的一个法向量;求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量求出从该点出发的任一条斜线段对应的向量;求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即即得所求得点面间隔得所求得点面间隔.例例1 知四棱

9、锥知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形的底面为直角梯形,ABDC，DAB=90,PA底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是是PB的中点的中点 证明：面证明：面PAD面面PCD；求求AC与与PB所成的角；所成的角；求面求面AMC与面与面BMC所成二面角的余弦所成二面角的余弦.12证明：以证明：以A为坐标原点为坐标原点,AD长为单位长度，如图建立空间长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，那么各点坐标为直角坐标系，那么各点坐标为1(0,0,0), (0,2,0), (1,1,0),(1,0,0), (0,0,1),(0,1, )2ABCDPM典例解析典例解析证明：因证明：因由题

10、设知由题设知ADDC，且，且AP与与AD是平面是平面PAD内内的两条相交直线，由此得的两条相交直线，由此得DC面面PAD 又又DC在面在面PCD上，故面上，故面PAD面面PCD 0,.AP DCAPDC 故故所所以以(0,0,1),(0,1,0),APDC 解：因解：因(1,1,0),(0,2, 1),ACPB |2,|5,2,10cos,.5| |ACPBACPBACPBAC PBACPB 故故所所以以解：在解：在MC上取一点上取一点N(x,y,z)，那么存在，那么存在 使使 要使要使可知当可知当 时时,N点坐标为点坐标为 能使能使 此时此时 为所求二面角的平面角为所求二面角的平面角 ,NC

11、MC 11(1,1,),(1,0,),1,1,.22NCxyz MCxyz ,R 45 12( ,1, )5514,00,.25ANMCAN MCxz 只需即解得0,0,.AN MCBN MCANMC BNMCANB 由由得得所所以以0.AN MC 1212( ,1, ),( , 1, )5555ANBN0BN MC 有有22cos(,).33| |AN BNAN BNANBN 故所求的二面角的余弦值为30304|,|,.555ANBNAN BN VDCBAxzy例例2 如图，在四棱锥如图，在四棱锥V-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧面侧面VAD是正三角形是正三角形,平面

12、平面VAD底面底面 ABCD 证明：证明：AB平面平面VAD； 求面求面VAD与面与面DB所成的二面角的余弦值所成的二面角的余弦值. ， 证明：证明： 以以D为坐标原点，建立如为坐标原点，建立如下图的坐标系下图的坐标系 证明：无妨设证明：无妨设A(1,0,0)，那么那么B(1,1,0)， ， 由由 得得ABVA，又，又ABAD，因此，因此AB与平面与平面VAD内内两条相交直线两条相交直线VA，AD都垂直都垂直 AB平面平面VAD 13(,0,)22V13(0,1,0),(,0,)22ABVA 0,AB VA VDCBAxzy解：设解：设E为为DV中点，那么，中点，那么，由由因此，因此，AEB是

13、所求二面角的平面角，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的余弦值为解得所求二面角的余弦值为13( ,0,)44E333313(,0,),(,1,),(,0,).444422EAEBDV 0,.EB DVEBDVEADV 得得又又21cos(,),7| |EA EBEA EBEAEB 217PDCABzyx例例3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，侧棱侧棱PA底面底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2， E为为PD的中点的中点 求直线求直线AC与与PB所成角的余弦值；所成角的余弦值；在侧面在侧面PAB内找一点内找一点N，使，使NE面面PAC，3解

14、：解：建立如下图的空间直角建立如下图的空间直角坐标系，那么坐标系，那么A(0,0,0)、B( ,0,0)、C( ,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0, ,0)，3312从而从而设设 的夹角为的夹角为 ，那么，那么与所成角的余弦值为与所成角的余弦值为 ( 3,1,0),( 3,0, 2).ACPB ACPB 与与33 7cos,142 7| |AC PBACPB 3 714PDCABzyx由于由于N点在侧面点在侧面PAB内，故可设内，故可设N点坐标为点坐标为(x,0,z)， ，由，由NE面面PAC可得，可得， 即即N点的坐标为点的坐标为 ，从而，从而N点到点到AB和和AP的间隔

15、的间隔分别为分别为1(,1)2NExz 110,(,1) (0,0,2)0,0,21130.0.(,1) ( 3,1,0)0.22zxzNE APxNE ACxz 即即化化得得361xz 3(,0,1)631,6例例4 如图，在长方体如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中中, AD=AA1=1，AB=2,点点E在棱在棱AB上挪动上挪动 1证明：证明：D1EA1D；2当当E为为AB的中点时，求点的中点时，求点E到到ACD1面的间隔；面的间隔；3AE等于何值时，二面角等于何值时，二面角D1-BC-D的大小为的大小为 4 解：以解：以D为坐标原点，直线为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为分别

16、为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，那么，那么A1(1,0,1) 、D1(0,0,1) 、E(1,x,0) 、A(1,0,0) 、C(0,2,0)1111,(1,0,1),(1, , 1)0,.DA D ExDAD E 12由于由于E为为AB的中点，那么的中点，那么E(1,1,0)，从而，从而 ，设平面的法向为，设平面的法向为 ，那么那么 也即也即 ，得，得 ，从而从而所以点到平面的间隔为所以点到平面的间隔为1(1,1, 1),D E 1( 1,2,0),( 1,0,1)ACAD ( , , )na b c 10,0,n ACn AD 200abac (2,1,2)n 2abac 1|2121.33|D E nhn 3设平面设平面D1EC的法向量的法向量 ，由由 令，令，依题意依题意 不合，舍去，不合，舍去， 时，二面角时，二面角D1-EC-D的大小为的大小为 ( , , )na b c 11(1,2,0),(0,2, 1),(0,0,1),CExD CDD 10,20(2)0.0,n D Cbcab xn CE 1,2,2bcax (2,1,2).nx 121|222cos.422| |(2)5n DDnDDx 123x 223x 23AE 4 由于空间向量兼具由于空间向量兼具“坐标坐标 、 “几何两种方式几何两种方式,使得空间向