2021版高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面垂直的判定与性质教学案理北师大版

1、高考总复习第4讲 直线、平面垂直的判定与性质品新考纲考向预测1乂立体几何的定Z ,蛰理和迪盟为出发点. 认匣皿再解京网中线也系ri的仃元性喉节 四定定理、盘陋运用公网】定理用e花得的循他俄明 些交阿耳垢的里比丈系的加球总班，曲股 起势门吒，平而率。的判定及就性质品壶芍中的-nr可行内仃.涉及 蝮螳玉立、蜓而番比、面面第n的判定及苴应nr等内容川十上要 以斛密黑的脂式出凶L要求力歌强的筱理论渡儒力， 就，化m的思想一喷心在乳HL吗一也匣徵象/理敖利丹密必备知识:走进教材,、知识梳理1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语百图形语言何语日一条直线与一个平囿 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与

2、此 平囿垂直a, b aian b=O? l X a判定定理Vl ±bl _L a垂直十间一个平面的两条直线平行b性质定理£ya± a,? a/ bb-L a2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理j-文字语百图形语言何语日判定定理一个平囿过另一个平面的垂线,则这两个平向互相垂直A4匚l B? a ± (3 l -L a性质定理两个平向互相垂直，则一个平囿内垂直于交线的直线垂直于另一个平面Aa -L 3l Ba n 3 = al ±a? l -L a3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这

3、个平面所成 的角，如图，/ PAOM是余线AP与平面a所成的角.兀线面角e的范围：e £史=.(2)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图的二面角，可记作：二面角a-l- B 或二面角 P-ABQ.二面角的平面角如图，过二面角a - l - §的棱l上一点O在两个半平面内分别作 就叫做二面角 a-l-B的平面角.二面角的范围设二面角的平面角为 e ,则e e 0 ,兀. .兀. 当e =5时，二面角叫做直二面角.常用结论1.线线、线面、面面垂直间的转化.列定 定 I”或垂直l线向垂直身而而垂直性质

4、2 .两个重要定理(1)三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直.(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.3 .重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法）.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.4 4） 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.二、教材衍化5 .下列命题中错误的是 （填序号）.如果平面a，平面（3 ,那么平面a内

5、一定存在直线平行于平面（3如果平面 a不垂直于平面（3 ,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面如果平面 a，平面 丫，平面§，平面T , a A § = l ,那么l，平面T如果平面a，平面（3 ,那么平面a内所有直线都垂直于平面（3解析：对于，若平面 a，平面（3 ,则平面a内的直线可能不垂直于平面平面3的关系还可以是斜交、平行或在平面3内，其他选项均是正确的.答案：6 .在三棱锥 P-ABC4点P在平面ABC的射影为点 O若PA= PB= PC则点O是ABC 心；（2）若 PAL PR PBL PC PC! PA 则点 O是ABC勺 心.解析：（1）如图1,连接 OA

6、OB OC OP在 RtA POA RtA POBD Rt POW, PA= PC= PR所以OA= OB= OC即O为ABC勺外心.10（2）如图2,延长AO BO CO分别交BC AC AB于点H, D, G因为 PCI PA PBL PC PAO PB= P,所以PCI平面PAB又AB 平面PAB所以PC! AB因为 ABL PO PGP PC= P,所以ABL平面PGC又CG 平面PGC所以ABL CG即CG为ABCfe AB上的高.同理可证BD> AH别为 ABCfe AC BC上的高，即O为 ABC勺垂心.:走出误区:答案：（1）外（2）垂一、思考辨析判断正误（正确的打“，”

7、 ,错误的打“X”）(1)直线l与平面a内的无数条直线都垂直，则 l，a .()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)直线 a，a , b，a ,则 a / b.()(4)若 a，B , a，B ,则 a/ a .()(5)若直线a，平面a ,直线b/ a ,则直线a与b垂直.()(6)若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数条直线，则 a ± 3 .()答案：(1) X (2) X (3) V (4) X (5) V (6) X二、易错纠偏常见| K(1)忽略线面垂直的条件致误；(2)忽视平面到空间的变化致误.1 .“直线a与平面a内的无数条直线都垂直”是“直线 a与平面a

8、垂直”的 条件.解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a与平面a内的无数条直线都垂直”不能 推出“直线a与平面a垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件.答案：必要不充分2 .已知直线a, b, c,若a, b, b±c,则a与c的位置关系为 .解析：若a, b, c在同一个平面内，由题设条件可得a/c;若在空间中，则直线 a与c的位置关系不确定，平行，相交，异面都有可能.答案：平行，相交或异面诩者向，百市去例考法考点线面垂直的判定与性质(多维探究)角度一线面垂直的证明所示，在四棱锥 P-ABC珅，ABL平面PAD AB/ CD PD= AQ E是PB的中点，F是DC，一 一 一

9、 1上的点，且 D口2AB PH为PAD43 AD边上的高.求证：（1） PHL平面 ABCD(2) EE平面 PAB【证明】（1）因为ABL平面PAD PH 平面PAD所以PHL AB因为PH为 PADP AD边上的高，所以 PHL AD因为ABH AD= A AB 平面ABCD AD 平面ABCD所以PH1平面 ABCD，一 一, 一 ，一， 一 1（2）如图，取 PA的中点 M 连接 MD ME因为E是PB的中点，所以 ME爽2AB一， ,1又因为DF触2AB所以M既DF,所以四边形MEF遑平行四边形,所以EF/ MD因为PD= AD,所以MDL PA因为ABL平面PAD所以MDL AB

10、因为PAH AB= A所以 MD_平面 PAB所以EF1平面PAB下旬如图，在三棱锥角度二线面垂直性质的应用A-BCm, ABL AD BCL BD,平面 ABDL平面 BCD 点 E, F(E与A, D不重合）分别在棱 AD BD上，且EF± AD求证：(1) EFT面 ABC(2) ADL AC【证明】(1)在平面 ABCJ,因为 AB1 AD EF± AD所以EF/ AB又因为EF/平面ABC AB 平面ABC所以EF/平面ABC（2）因为平面 ABDL平面BCD平面ABD平面BCD= BDBC 平面 BCD BC! BQ所以BCL平面ABD因为AD平面ABD所以BC

11、L AD又 ABL AD BCT AB= B, AB 平面 ABC BC 平面 ABC所以ADL平面ABC又因为AC平面ABC画面,函,讦叵审曲二*W年百基i而 京i !一条也有这个平面事贪.I «. * * 一一 ' = 一 一3谢声，二飞宜&停电导言,行?而,面 二不二 州百重二上也遵¥：.! 1 B M 三 ,工* £ 0三,，* 上： * a JS *<« .B. A. =«1利用福蕾垂直的世威定理I所以ADL AC 团伍团麴 (1)判定线面垂直的四种方法 方法一 词用电面重三枸££应理 方法二

12、一 方通三* 方法国一 (2)判定线线垂直的四种方法有话!«J*I*即%,，宜/三角期、,格：必 一旧梯形的甚直关系1 M !1 ! 川 方法二.即词琴f拓币S而叠餐；方法三(京用万股熏理的正工理，行证明 : 方法四1 一 1利用H板与平面求*的林质|层变式削炼 如图所示，在四棱锥E是PC的P-ABCW, PAL 底面 ABCDAB! AD ACL CD / ABC= 60 , PA= AB= BC中占 I 八、证明：（1） CDL AE（2） PDL平面 ABE证明：（1）在四锥P-ABCDK因为PAL底面ABCD CD 平面ABCD所以 PAL CD 因为 ACL CD PAA

13、AC= A,所以CDL平面PAC而AE 平面PAC所以CDL AE(2)由 PA= AB= BC / ABC 60 ,可得 AC= PA因为E是PC的中点，所以 AE! PC由知AE! CD且P6 CD= C,所以AEL平面PCD而PD平面PCD所以AEL PD因为PAL底面 ABCD所以PAL AB又因为 ABL AD且 PAA AD= A,所以ABL平面PAD而PD?平面PAD所以ABL PD又因为ABA AE= A,所以PDL平面ABE考点面面垂直的判定与性质(典例迁移)(一题多解)如图，四棱锥 F-ABC珅，AB± AC ABL PA AB/ CD AB= 2CD E, F,

14、G M N分别为PB, AB BC PD PC的中点.(1)求证：CE/平面PAD(2)求证：平面 EFGL平面EMN【证明】(1)法一：取PA的中点H,连接EH, DH又E为PB的中点,1所以EH触2AB1又C皱2AB所以EH统CD所以四边形DCEHE平行四边形，所以CE/ DH又DH 平面PAD CE?平面PAD所以CE/平面PAD , ,1法二：连接 CF因为F为AB的中点，所以 AF= 2AB-1又 CD- 2AB所以AF= CD又AF/ CD所以四边形 AFCN平行四边形.因止匕CF/ AD又CF/平面PAD AD 平面PAD所以CF/平面PAD因为E, F分别为PB, AB的中点，

15、所以EF/ PA又EF7平面PAD PA 平面PAD所以EF/平面PAD又因为CFA EF= F.故平面CEF/平面PAD又因为CE平面CEF所以CE/平面PAD(2)因为E, F分别为PB, AB的中点，所以 EF/ PA 又 ABL PA 所以 ABL EF同理可得AB± FG又 EFn FG= F, EF?平面 EFGFG平面EFG因此ABL平面EFG又M N分别为PD PC的中点，所以 MIN/ CD又AB/ CD所以MIN/ AB所以MN_平面EFG又MN平面EMN所以平面EFGL平面EMN【迁移探究1】(变问法)在本例条件下，证明：平面EMNL平面PAC证明：因为 AEB

16、L PA ABL AG 且 PAO AC= A所以ABL平面PAC又 MN CD CD AR 所以 MIN/ AB所以MNL平面PAC又MN平面EMN所以平面EMNL平面PAC【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，证明：平面EFG/平面PAC证明：因为E, F, G分别为PB, AB BC的中点，所以 EF/ PA FG/ AC又EF7平面PAC PA平面PAC所以EF/平面PAC同理，FG/平面PAC又EFA FG= F,所以平面 EFG/平面PAC证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的

17、二面角是直二面角，把证明面面垂直的 问题转化为证明平面角为直角的问题.庭变益训炼 如图，在四棱锥P-ABC由，底面ABC西矩形，平面PADL平面ABCD PAL PD PA= PQ E, F分别为AQ PB的中点.(1)求证：PEI BC(2)求证：平面 PABL平面PCD(3)求证：EF/平面PCD证明：(1)因为PA= PD E为AD的中点，所以PEL AD因为底面 ABC时矩形，所以 BC/ AD所以PEL BC(2)因为底面 ABCM矩形，所以 ABL AD又因为平面 PADL平面ABCD所以ABL平面PAD所以ABL PD又因为PAL PD所以PDL平面PAB所以平面 PABL平面P

18、CD取PC的中点 G 连接FG DG因为F, G分别为PB PC的中点,一,1所以 FG/ BG FG= BC因为四边形 ABCD;矩形，且E为AD的中点, ,1所以 DB BC, DE= BC所以 DE/ FG DE= FG所以四边形DEF平行四边形.所以EF/ DG又因为EF/平面PCD DG 平面PCD所以EF/平面PCD考点垂直关系中的探索性问题(师生共研)如图，在三棱柱 ABCABG中，侧棱 AAL底面ABC M为棱AC的中点.AB= BCAC= 2, AA=/.(1)求证：BC/平面ABM(2)求证：AC,平面ABM在BB上是否存在点 N-_ BN使得平面 ACNL平面AAC1C?

19、如果存在，求此时 宝的值;BB如果不存在，请说明理由.【解】(1)证明：连接AB与AB,两线交于点 O连接OM在ABAC中，因为 M O分别为AG AB的中点,高考总复习所以OMF BC,又因为OM 平面ABM BC7平面 ABM所以BC/平面ABM(2)证明：因为侧棱 AA，底面ABC, BM 平面ABC 所以M又因为M为棱AC的中点，AB= BC所以BMLAC因为 AAAAC= A, AA, AC 平面 ACCA,所以BML平面AC(Ai,所以BML AC.因为AC= 2,所以A阵1.又因为 AA = 2,所以在 RtACC口 RtAiAM中，tan /ACC= tan ZAiMA=5，所

20、以/ ACC= / Ai MA即/ ACC+ / OAC= / AMAF / CAC= 90 , 所以 Ai ML AC.因为 BMP AiM= M BM AiM 平面 ABM所以AG，平面AiBM当点N为BB的中点，即1N= 1时，BB 2平面ACN，平面AACC.证明如下：设AC的中点为 D连接 DM DN因为D, M分别为AC, AC的中点, ,- i所以 DM/ CG 且 DM= 2CC.又因为N为BB的中点，所以 DM/ BN且DM= BN所以四边形BNDM?平行四边形，所以BM/ DN因为BML平面 ACdAi,所以DNL平面 AACC又因为DN平面ACN,所以平面ACN，平面AA

21、CC(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关 系的相关定理、性质进行推理论证， 寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾 的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间点的坐标，转 化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.后受试训维 如图所示，平面 ABCCL平面BCE四边形ABCDM；矩形，BC= CE点F 为CE的中点.(1)证明：AE/平面BDF(2)点M为CD上任意一点，在线段 AE上是否存在点P,使得PML BE?若存在，确定点 P的位置，并加以证明；若不

22、存在，请说明理由.解：(1)证明：连接 AC交BD于点Q连接OF因为四边形 ABCDI矩形，所以O为AC的中点.又F为EC的中点，所以OF/ AE又OF平面BDFAE/平面BDF所以AE/平面BDF(2)当点P为AE的中点时，有PML BE,证明如下：取BE的中点H,连接DP PH CH因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH/ AB又 AB/ CD 所以 PH/ CD所以P, H, C, D四点共面.因为平面 ABCDl平面BCE且平面 ABCD平面BCE= BC CD£ BCCD 平面ABCD所以CDL平面BCE又BE 平面BCE所以CDL BE,因为BC= CE且H为BE的

23、中点，所以CHL BE又 CHI CD- C,且 CH CD 平面 DPHC所以BEL平面DPHC又PM平面DPHC所以PML BE齿电素养，逻辑推理平面图形折叠问题的解题技巧25、将平面图形折叠成立体图形如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB CD EF和 GHB原正方体中相互异面的有 对.【解析】平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化.画出图形即可判断,相互异面的线段有 AB CD EF与GH AB与GH共3对.【答案】3国第E3管画折叠图形一般以某个面为基础，依次将其余各面翻折还原， 当然，画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识，这是解答此类问题的关键.、折叠中

24、的“变”与“不变”如图，在等腰直角三角形ABC中，Z A= 90 , BC= 6, D, E 分别是 AC AB上的点，CA BE= 42, O为BC的中点.将 ADEgDE折起，得到如图所示的四棱锥A-BCDE 其中 A O= 3.(1)证明：A OL平面BCDE(2)求二面角A CD- B的平面角的余弦值.图图【解】(1)证明：在题图中，易得 OC= 3, AC= m，AD= 22.连接OD OE在 0。珅，由余弦定理可得0D= 0OC+ CD2OC CDCos 45=4.由翻折不变性可知 A D= 242,所以 A O+OD= a D2,所以 A O!OD同理可证A OL OE又OCT

25、OE= O,所以A OL平面BCDE(2)过O乍OHL C吩 CD勺延长线于 H,连接A H,因为A OL平面BCDE以A Hl± CD所以/ A' HO为二面角A CD- B的平面角.结合题图可知，H为AC的中点，故OH= 呼，从而A H=7OH+ OA，二尊,所以, OH 15cos Z A HG= = 3-,A H 5所以二面角A -CD- B的平面角的余弦值为,155折叠问题的关键有二：画好两个图折叠前的平面图和折叠后的立体图；分析好两个关系一一折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变.一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的.涉及两个半平面内

26、的几何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.、立体图形的表面展开图的应用在一个底面直径是5 cm,高为2兀cm的圆柱形玻璃杯子的上沿B处有一只苍蝇，而恰好在相对的底沿 A处有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇，蜘蛛所走的最短的路程是.1【解析】 利用侧面展开图，如图，蜘蛛所走的最短的路程是线段 AB的长，AO/X 2兀xg= 2 % cm, BC= 2兀cm ,则AB= （2兀）2+ |兀 ="/三兀cm,即蜘蛛所走的最短的路程是"2兀cm.【答案】手兀cm求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题：通常把几

27、何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题.基础题组练1. （2020 辽宁大连模拟 ）已知直线l和平面 a , § ,且l“ I a _LA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B.解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若 l ”，1，3,则“，3,充分性成立； 若l a , a，B ,则l与B平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若l a ,则“ l，B ” 是“ a，B ”的充分不必要条件，故选 A.2. （2020 河北唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线 AB与平面CDE垂直的是 （）A.C.D.解析：选B.对于，易证AB与CE所成角为45

28、° ,则直线A*平面CD环垂直；对于 ，易证 ABL CE, AB± ED且CEH ED= E,则A9平面CDE对于，易证 AB与。即成角 为60° ,则直线AB与平面CD环垂直；对于，易证EDL平面ABC则EDLAB同理ECLAB, 可得ABL平面CDE故选B.3. （2020 黑龙江鹤岗模拟）如图，在三B隹V ABC43, VOL平面ABC O CD VA= VR AD= BD则下列结论中不一定成立的是 （）A. AC= BCB. ABL VCC. VCL VDD. S；AVCD - AB= 3 ABC VO解析：选 C.因为VOL平面 ABC AB 平面AB

29、C所以VOL AB因为VA= VB, AD= BD, 所以VDL AB又因为 VS VD= V,所以 ABL平面 VCD又因为CD 平面VCD所以 ABL CD 又因为AD= BD所以AC= BC故A正确.又因为VC 平面VCD所以AB±VC故B正确；因为 Svcd= 2V0, CD Sabc= 2AB- CD 所以 S»AVCD, AB= S(aabc- VO 故 D正确.由题中条件无法判断VCL VD故选C.4.如图，在斜三棱柱 ABCABG中，/ BAC= 90° , BCAC则G在底面ABC上的射影H必在（）乐A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.

30、 AB6J 部解析：选A.由ACL AB, ACL BC,彳导ACL平面ABC.因为AC平面ABC所以平面ABC，平面ABC所以。在平面ABCh的射影H必在两平面的交线 AB上.5.如图，在正四面体 P-ABC4D E, F分别是AB, BCCA的中点，下面四个结论不成立的是（）A. BC/平面 PDFB. DFL平面 PAEC.平面PDFL平面PAED,平面PDEL平面ABC解析：选 D.因为BC/ DF DF 平面PDFBC/平面PDF所以BC/平面PDF故选项A正确；在正四面体中， AE! BC PEI BC AEP PE= E,且AE PE 平面PAE所以BCL平面PAE因为DF/ B

31、C,所以DFL平面PAE又DF平面PDF从而平面PDFL平面PAE因此选项B, C均正确.6 .如图，在 ABC中，/ ACB= 90 , AB= 8, Z ABC= 60 , PC1平面 ABC PC= 4, M 是边AB上的一个动点，则 PM勺最小值为 .解析：作CHL AB于H,连接PH因为PCL平面ABC所以PHAB, PH为PM勺最小值， 等于2 . 7.答案：277 .如图所示，在四棱锥 P-ABCW, PAL底面ABCD且底面各边都相等， M是边PCi 一动点，当点 M满足 时，平面MBD_平面PCR只要填写一个你认为是正确的条件即可）解析:连接AC BQ则Ad BDD因为PA1

32、底面 ABCD所以PAL BD又PA? AC= A,所以BD)±平面PAC所以BD± PC所以当DML PC或BML PC时，即有PC1平面MBD而PC 平面PCD所以平面 MBD_平面PCD答案：DML PQ 或 BML PC8 .如图，PAL。0所在平面，AB是。的直径，C是。上一点，AE± PC AF，PB给出下列结论： A红BCEF，PB;AH BGA口平面 PBC其中正确结论的序号是解析： AE 平面 PAC BCL AC, BCL PA? AE! BC,故正确； AE± PC AE! BC PB平面PBC AE1 PB AF± PB

33、, EF 平面AEF? EF± PB故正确；若 AF± BC? AF，平面PBC则AF/ AE与已知矛盾，故错误；由可知正确.答案：9 .如图，在多面体 ABCDPE3,四边形 ABCB口 CDPEFB是直角梯形， AB/ DC PE/ DQADL DC PDL平面 ABCD AB= PD= DA= 2PE, CD= 3PE F是 CE的中点.求证：BF/平面ADP(2)已知O是BD的中点，求证：BDL平面AOF证明:(1)如图，取PD的中点为G,连接FG AG因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE勺中位线，因为 CD= 3PE,所以 FG= 2PE,FG/ CD 因为

34、 CD/ AB AB= 2PE所以 AB/ FG AB= FG即四边形ABF舆平行四边形，所以BF/ AG又BF7平面 ADP AG 平面ADP所以BF/平面ADP(2)延长AC交。廿点M连接BM FM因为 BAL AQ CDL DA AB= AD O为 BD的中点，所以ABM遑正方形，则 BDL AM MD= 2PE所以FM/ PD,因为PD1平面ABCD所以FML平面 ABCD所以FML BD因为AMT FM= M所以BDL平面AMF所以BDL平面AOF10 .(一题多解)如图 1,在等腰梯形 PDC即，PB/ DC PB= 3, DC= 1, Z DPB= 45° ,DAL P

35、B于点A,将 PADg A所起，构成如图2所示的四棱锥 P-ABCD点M在PB上，且1PM= 2MB(1)求证：PD/平面MAC(2)若平面PADL平面ABCD求点A到平面PBC勺距离.阳】图2解：(1)证明：在四棱锥 RABCD,连接B® AC于点N,连接MN依题意知AB/ CD所以 AB中 CDN所以BN BANT CDT 22因为P阵2MB所以BN BMND= Mp2,所以在 BPD43, MN/ PD又PD/平面MAC MN平面MAC所以PD/平面MAC(2)法一：因为平面 PADL平面ABCD且两平面相交于 AD PAh AD, PA 平面PAD 所以PAL平面ABCD所以

36、V-AB户-S»AABC * PA= 1x2x2X1 xi = 1.3323因为 ab= 2, ac= qADTCD=,所以 PB= 4pA + aB =m，PC= .PA2+AC =/,BC= aD+ (AB- CD 2 =5,所以 pB=pC+ BC2,故/ PCB= 90° ,记点A到平面PBC勺距离为h,所以h = 7X -x32：3X 2 h因为 V-ABk V- PBq所以1=*h解得h =46故我A到平面PBC勺距离为号30 C因为平面 PADL平面ABCD且两平面相交于 AD P/MAQ PA 平面PAD所以PAL平面ABCD 因为BC平面ABCD 所以PA

37、L BG因为 AEB= 2, AO AD2+ CtD-®BC=留6+ (AB- CD 2 =平, 所以/ ACB= 90° ,即 BCL AC又 PAO AC= A, PA AC 平面 PAC所以BCL平面PAC过点A作A红PC于点E,则BCL AE因为 PCT BC= G PG BC 平面 PBC所以AEL平面PBCPA AC 1X ,2：6所以点A到平面PBC勺距离为AE= pr =A = +.PC 33综合题组练已知 A' DE是1.如图，边长为a的等边三角形 ABCW中线AF与中位线Da于点GADEg DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）动点A

38、'在平面ABC±的射影在线段 AF上;BC/平面A' DE三棱锥A' - FED勺体积有最大值.A.B.D.C.解析：选C.中由已知可得平面 A' FGL平面ABC所以点A'在平面ABC±的射影在线段 AF上.BC/ DE根据线面平行的判定定理可得BC/平面A DE当平面A DEL平面ABC寸，三棱锥 A' -FED勺体积达到最大，故选 C.2.如图，梯形 ABCDh, AD/ BC Z ABC= 90 , AD： BC： AB= 2 ： 3 ： 4, E, F分另是 ARCD的中点，将四边形 ADF的直线EF进行翻折，给出下

39、列四个结论： DFL BQBD£ FC;平面BDFL平面BCF平面DCFL平面BCF则上述结论可能正确的是 （）A.B.C.D.解析：选B.对于，因为BC/ AD AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点 D在平面BCF±的 射影为点 P,当BPL CF时就有BDL FC,而AD： BC： AB= 2 ： 3 ： 4可 使条件满足，所以正确；对于，当点 D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP 平面BDF从而平面 BDFL平面BCF所以正确；对于，因为点 D在平面8。曰:的射影不可能在 FC上，所以不成立.3.在矩形ABCM, AB< BC

40、现将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 存在某个位置，使得直线 存在某个位置，使得直线 其中正确结论的序号是ACW直线BM直；AB与直线CM直；AD与直线BC垂直.（写出所有正确结论的序号）Aa BD解析：假设 AC! BD垂直，过点A作A已BD于点E,连接CE则？ BD1平BDL AC面AEC? BDL CE而在平面 BC加，ECW BD不垂直，故假设不成立，错.假设 AB± CD因为 ABL AD所以 ABL平面 ACD所以ABI AC由AB< BC可知，存 在这样的等腰直角三角形，使 ABL CD故假设成立，正确.假设ADL BC因为DCL BG 所以BC1平面ADC所以BCL AC,即ABC直角三角形，且AB为斜边，而AB< BC故矛盾，假设不成立， 错.综上，填.答案：4.如图，直三棱柱 ABCABG中，侧棱长为2, AC= BC= 1, Z ACB= 90° , c D是AB的中