262用函数观点看一元二次方程同步测控优化训练含答案

1、26.2用函数观点看一元二次方程一、课前预习(5分钟训练)1二次函数y= x2+4x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则 ABC的面积为()A. 6B. 4C. 3D. 12 .当a>0, A =b4ac。时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a 0,A = b 4ac 0时，二次函数 y=ax2+bx+c的值恒为负.3 .已知一抛物线与 x轴的交点为A ( 1,.0)、B (m, 0),且过第四象限内的点 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,则此抛物线关系式是 .二、课中强化(10分钟训练)1 .抛物线 y=ax2+bx+c (awQ和直线 y=kx+d

2、 (kw()有两个交点的条件是 ,只 有一个交点的条件是 ,没有交点的条件是 .2 .抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与 x 轴交于 A (x1，。)，B (x2, 0), x1<x2,则不等式 ax2+bx+c >0的解集为 ,不等式ax2+bx+c<0的解集为 .3 .利用图象求下列一元二次方程的近似值.(1)x 2+x- 10=0;(2)2x2 3x+1=0 .4 .已知抛物线 y=x2+(n 3)x+n+1经过坐标原.点O.(1)求这条抛物线的顶点 P的坐标;(2)设这条抛物线与x轴的另一个交点为A ,求以直线PA为图象的一次函数的解析式.25.已知抛物

3、线 y=x2 mx+m-与抛物线 y=x22+mx 一-m2在平面直角坐标系中的位置如图4262 1，其中一条与 x轴交于A、B两点.(1)试判断哪一条抛物线经过 A、B两点？并说明理由.(2)若A、B两点到原点的距离 OA、OB满足OB -OA2，一，-,求经过A、B两点的3抛物线的关系式.图 262 1三、课后巩固(30分钟训练)1 .二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函 数的解析式是()A. y=2(x 4)(x+2) B . y=2(x+4)(x 1) C. y=2(x 4)(x 1) D. y=2(x 4)(x+1)2 .已知抛物线的顶点到x轴的距离为

4、3,且与x轴两交点的横坐标为4、2,则该抛物线的关系式为.3 .求下列二次函数与x轴的交点：(1) y=x 2+4x 5;(2) y= x2+x+2;(3) y=x 2 3x;(4)y=x26x+10.4 .已知二次函数的图象经过点A (1, 0)和B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为 m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与 x轴还有异于点A的另一个交点，求 m的取值范围.5 .如图 2622,抛物线 y=1(x+1)22,(1)设此抛物线与x轴交点为A、B (A在B的左边)，请你利用图象求出 A、B两点的坐标;(2)有一条直线y=x-1,试利用图象法求出该直

5、线与抛物线的交点坐标；(3) P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P,使S“bp=2?若存在，则有几个这样的点P?并写出它们的坐标.图 26 2-26 .已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5 .(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；(2)设A (x1，y。、B (x2, y2)是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为“'x2 ,试用含a的代数式表示点 P的纵坐标;2设A,B两点的距离d= 1十a2| x x21，试用含a的代数式表示d.7 .画出函数y=x24x 3的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)方程x24x3=

6、0的解是什么.?(3)不等式x2 4x 3>0, x24x3<0的解是什么?8 .某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量 y微克(1微克=10-3毫克)，随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a w0)吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7.5微克.(1)试求出y与x的函数关系，并画出 0WxW的的图象.(2)求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.(3)结合图象说明一次服药后的

7、有效时间是多少？(有效时间是血液中药物含量不为0的总时间)9 .已知二次函数 y=x2+px+q(p,q为常数，A =p 4q>0)的图象与x轴相交于A(x 1,0), B(x2,0) 两点，且A, B两点间的距离为d,例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图26 23),可得出表中第2行的相关数据.y=x2+px+qpqAxix2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x21-21412y=x2+x 2-2-23在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与A的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想；对于函数y=x2+px+q(p,q

8、为常数，A=p4q>0)证明你白猜想.图 262 310 .已知m,n是方程x2- 6x+5=0的两个实数根，且 m<n ,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过 点A(m,0)、B(0,n) . (1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中抛物线与 x轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点C、D的坐标和 BCD的面积；注：抛物线y=ax2+bx+c(a w 0)顶点坐标为(一b 4ac-b2a1 4a2一)(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH，x轴，与抛物线交于 H点，若直线BC把 PCH分成面积之比为2 3的两部分,请求出 P点的坐标.图 2624参考答案一、课前预

9、习(5分钟训练)1二次函数y= x2+4x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则 ABC的面积为()A. 6B. 4C. 3D. 1解析：解方程一x2+4x3=0，得 A、B 为(1, 0)、(3, 0),当 x=0 时，y= 3,所以 C 为(0, 3),所以 ABC 的面积为 1 >3(3 1)=3.答案：C2 .当a>0, A =b4ac 0时，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正；当a 0,A = b 4ac 0时，二次函数 y=ax2+bx+c的值恒为负.解析：当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，若与 x轴无交点，则其值恒 为正；当a&l

10、t;0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，若与 x轴无交点，则其值恒 为负.答案：< < <m + n = -1, mn = -12.3 .已知一抛物线与 x轴的交点为A ( 1,，0)、B (m, 0),且过第四象限内的点 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,则此抛物线关系式是 .解析：由题意，得m、n为方程x2+x 12=0的两根,解得 m= 4, n=3 或 m=3 , n=4.又:(1, n)在第四象限，n<0.m=3, n=-4,即 B(3,0) , C (1, 4).设抛物线的关系式为 y=a(x 3)(x+1) .把(1, 4)

11、代入上式，得-4=a (1 3) (1+1),- 4a= - 4. a= 1. .y = (x 3) (x+1)=x 2- 2x-3.答案：y=x2-2x-3二、课中强化(10分钟训练)1 .抛物线 y=ax2+bx+c (awQ和直线 y=kx+d (kw()有两个交点的条件是 ,只 有一个交点的条件是 ,没有交点的条件是 .解析：图象有无交点或有几个交点，取决于两个方程组的解的情况.答案：(bk) 24a(cd)>0; (bk) 24a(c d)=0 ; (bk) 24a(c d)<02 .抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与 x 轴交于 A (xi, 0), B

12、(x2, 0), xi<x2,则不等式 ax2+bx+c>0的解集为,不等式 ax2+bx+c<0的解集为.解析：抛物线在x轴上方的范围是 y>0,抛物线在x轴下方的范围是 y<0,抛物线上的点在x轴上时y=0 ,对应的x的范围分别为*»2或x<x1; x1<x<x2.答案：x>x2 或 x<xi xi<x<x23 .利用图象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x10=0;(2)2x23x+1=0 .解析：作图象要尽量精确一些，与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值.解：略.4 .已知抛物线y=x2+(n 3)

13、x+n+1经过坐标原.点O.(1)求这条抛物线的顶点P的坐标；(2)设这条抛物线与x轴的另一个交点为 A ,求以直线PA为图象的一次函数的解析式.解：(1)二.抛物线 y=x2+(n 3)x+n+1 经过原点，n+1=0,，n= 1.得 y=x24x, 即 y= x2 4x=(x 2)24.，抛物线的顶点 P的坐标为(2, 4).(2)根据题意，得点 A的坐标为(4, 0).，0 = 4k +b.'k =2.设所求的一次函数解析式为y=kx+b .根据题意，得,解得，,、4 = 2k + b,、b = -8.二所求的一次函数解析式为y=2x 8.2m223 25 .已知抛物线 y=x

14、-mx+与抛物线 y=x +mx m 在平面直角坐标系中的位置如图24262 1，其中一条与x轴交于A、B两点.图 26 21(1)试判断哪一条抛物线经过 A、B两点？并说明理由.4 一一 一，112,， 一,（2）若A、B两点到原点的距离 OA、OB满足=,求经过 A、B两点的OB OA 3抛物线的关系式.解析：（1）经过A、B两点的抛物线的 A>: （2）可根据一元二次方程根与系数关系来解2解法一：（1） y=x2mx+m,中 Ai=m2-2m2=- m2.2.抛物线不过原点，0. .- m2<0. A1<0.2，抛物线y=x2mx+m与x轴无交点.2 .y=x2+mx-

15、 3 m2经过 A、B 两点.4（2）设 A （x1，0）, B （x2, 0）,则 x1<0, x2>0,1. OA= x1, OB=x2.°112112又 =,.+,OB OA 3x2 x13即 3 （x+x2）=2x1x2-又: x1、x2是方程 x2+mx 3 m2=0 的两根，x1+x2= -m, x1x2= m2.443m= m 1 m1=0 （不符合题意，舍去），m2=2.2经过A、B两点的抛物线为 y=x2+2x-3.解法二：（1） ;两条抛物线都不过原点,2，廿0.抛物线y=x2mx+四一与y轴交于（0,2）2m>0,，抛物线22y=x2 mx+口

16、一不经过A、2B点.抛物线 y= x2+mx 3 m2 与 y 轴交于（0, 一 ° m2）, m2<0,444，抛物线y=x2+mx m2经过A、B两点.4（2）同解法一中的（2）.三、课后巩固（30分钟训练）1.二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函,数的解析式是A. y=2(x 4)(x+2) B . y=2(x+4)(x 1) C. y=2(x 4)(x 1) D. y=2(x 4)(x+1)解析：由二次函数两点式y=a(x-xi)(x-x2), a=2,xi=1,x2=4即得.答案：C2 .已知抛物线的顶点到x轴的距离为3,且与x轴两交点

17、的横坐标为 4、2,则该抛物线的关系式为.解析：已知两个特殊点及一个关系，可用y=a(x xi)(x x2)或一般式求其解析式.抛物线与x轴交于(4, 0), (2, 0),. .设 y=a(x 4)(x 2)=a(x2 6x+8)=ax2 6ax+8a.顶点到x轴距离为3,即顶点纵坐标为3或一3,32a2 -36a2_32a2 -36a2=3或=-3.4a4a解得 a=3 或 a=3.，y=3x2+i8x 24 或 y=3x2- 18x+24 .答案：y= - 3x2+l8x 24 或 y=3x218x+24注意：顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况.3 .求下列二次函数与 x轴的交

18、点：(1) y=x 2+4x 5;(2) y= x2+x+2;(3) y=x 2 3x;(4)y=x26x+10.解析：令y=0,求解关于x的一元二次方程.答案：(1) (1, 5) ; (2) (1, 2) ; (3) (0, 3) ; (4)不存在.注意：顶点到x轴距离分顶点在 x轴上方和下方两种情况.4 .已知二次函数的图象经过点A (1, 0)和B (2, 1),且与y轴交点的纵坐标为 m.若m为定值，求此二次函数的解析式;(2)若二次函数的图象与 x轴还有异于点A的另一个交点，求 m的取值范围.解：(1)设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=

19、m代入解析式中m + 1c =m,得七 + b + m = 0,4a +2b + m =1,a 一 2 , 解得b = 3m二】2c = m,所以，解析式为 y= m- x2 m- x+m(m 1).22(2)二次函数与x轴有两个相异的交点，即.2 , 3m 1 2 , , m 1A =b - 4ac=( -)- 4m( -)>0 ,解得1.又 m 1,得 ± 1.5 .如图 2622,抛物线 y=1(x+1)22,2图 26 2 2(1)设此抛物线与x轴交点为A、B (A在B的左边)，请你利用图象求出 A、B两点 的坐标；(2)有一条直线y=x-1,试利用图象法求出该直线与抛

20、物线的交点坐标；(3) P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P,使S“bp=2?若存在，则有几个这样的点P?并写出它们的坐标.解析：(1)读图易得；(2)画图精确度要高一点；(3)设P点坐标为(a, b),则4ABP中AB边上的高为b,而|b|二1，代入抛物线解析式可求得 P点坐标.解：(1) A ( 3,0) , B (1,0).(2)交点坐标为(1,0)和(一1, 2).(3)设P点坐标为(a, b),则 ABP中，AB边上的高为| b | ,又S"bp=2,从而得|b|=1.把b=1,b= -1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为P(- <16 1,1)；P(6 1

21、,1)；p( J2 -1,-1)；p( V2 -1,-1).6 .已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5 .(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；(2)设A (x1，y1)、B (x2, y2)是抛物线与直线的两个交点，点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为X1 +x xi=4.6 x2» 0.65,，抛物线与x轴交点坐标为(4.6, 0), (-0.65, 0). xi=4.6 x2» 0.65. (3)不等式 x24x3>0 的解为 x< 0.65 或 x>4.6 ; ,试用含a的代数式表示点 P的纵坐标;2d.设A,B两点的距离d= Ji +

22、a2 | xi-x21 ,试用含a的代数式表示解：(1)将 y=ax+5 代入 y=2x2，消去 y 得 2x2ax 5=0,A =( - a)24>2N 5尸a2+40>0 , .,.方程有两个不相等的实数根.，不论a取何值，抛物线与直线一定有两个不同的交点.(2)xv x2是方程 2x2ax5=0 的两个根，xi+x2= a ,xix2=-任22点P的纵坐标为yy2axi 5 ax2 5=(xi+x2)+5= 万+5=+5.(3) - xi+x2= ,xix2=-22xi-x2 I =(xi -x2)2(x1 x2)2 - 4xix2 -al+ioJa2'402 a2

23、40d= .i a 2-a4 4ia2 40.27.画出函数y=x24x 3的图象，根据图象回答下列问题：(i)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)方程x24x3=0的解是什么.?(3)不等式x2-4x-3>0, x24x3<0的解是什么?解：图象如图所示.不等式 x24x3<0 的解为0.65<x<4.6.8 .某医药研究所进行某一新药研发，经过大量的服用试验知：成年人按规定剂量服用后，每毫升血液中药物含量 y微克(1微克=10-3毫克)，随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a w0)吻合，并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克，服用2小

24、时后每毫升血液中药物含量为6微克；服用3小时后，每毫升血液中药物含量为7.5微克.(1)试求出y与x的函数关系，并画出 0WxW的的图象.(2)求服用后几小时，才能使每毫升血液中药物含量最大？并求出血液中的最大药物含量.(3)结合图象说明一次服药后的有效时间是多少?(有效时间是血液中药物含量不为0的总时间)解：(1)由题意得，函数图象经过(0, 0), (2, 6), (3, 7.5),将它们代入 y=ax2+bx+c,1aa =c =0,2 ,得 d4a+2b+c=6,解之，得 4 b =4,所以 y=工 x2+4x.9a+3b+c = 7.5. c = 0(2) y= x2+4x =>

25、; y= (x 4) 2+822所以x=4时，y最大=8.(3)当 y=0 时,x=8,x2=0 (舍去).答案：(1) y= - - x2+4x; (2)服药4小时后含药量最大，此时最大含药量为每毫升血 2液中8微克；(3) 8小时.9 .已知二次函数 y=x2+px+q(p,q为常数，A =p 4q>0)的图象与x轴相交于A(x 1,0), B(x2,0)两点，且A, B两点间的距离为d,例如，通过研究其中一个函数y=x25x+6及图象(如图26 23),可得出表中第2行的相关数据.图 26 23y=x2+px+qpqAx1x2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x21214

26、12y=x2+x 2-2-23(1)在表内的空格中填上正确的数；(2)根据上述表内d与A的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数， 验证你的猜想；(3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数，A=p4q>0)证明你白猜想.解：(1)第二行 q=0,xi=0； d=;第三行 p=1,A =9, X2=1；22(2)猜想：d = A .例如：y=x2x2 中,p=1,q= 2, A=9;由 x2 x2=0 得 Xi=2, x2= 1,d=3,d2=9, 'd2= A.(3)证明:令 y=0 ,得 x2+px+q=0，丁 A >0设 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2.贝U x+x2= p,x1 x2=q .d2=( | x1 x2 | )2=(xl x2)2=(x 1+x2)24x1x2=( p)24q=p24q=A .10 .已知m,n是方程x26x+