动点与抛物线专题复习

1、时间就是金钱,效率就是生命!动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、 2021?钦州如图甲,在平面直角坐标系中,A、B的坐标分别为4,0、 0,3,抛物线yZ+bx+c经过点B,且对称轴是直线 x=-4 21 求抛物线对应的函数解析式；2将图甲中 ABO沿x轴向左平移到 DCE 如图乙,当四边形ABCD是菱形时,请 说明点C和点D都在该抛物线上；3在2中,假设点M是抛物线上的一个动点点 M不与点C、D重合,经过点M作 MN / y轴交直线CD于N,设点M的横坐标为t, MN的长度为I,求I与t之间的函数解析 式,并求当t为何值时,以 M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形. 参考公式：

2、抛物2线y=ax2+bx+c a用的顶点坐标为- 丄,'"心 ",对称轴是直线 x= -£.2a 4a2a唯有惜时才能成功,唯有努力方可成就!2、 2021?鸡西如图,在平面直角坐标系中, RtA AOB的两条直角边 OA、OB分别在 y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程 x2- 7x+12=0的两根OAv OB,动点P从点 A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点 0运动；同时,动点Q从点B开始在线 段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.1 求A、B两点的坐标.2 求当t为何值时, APQ与厶AOB相似,并

3、直接写出此时点 Q的坐标.3 当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？假设存在,请直接写出M点的坐标；假设不存在,请说明理由.23. (2021?恩施州)如图,抛物线 y=-x+bx+c与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3) 两点,与y轴交于点N .其顶点为D.(1) 抛物线及直线 AC的函数关系式；(2) 设点M (3, m),求使MN + MD的值最小时 m的值；(3) 假设抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B ,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF / BD 交抛物线于点F,以B, D , E, F为顶点的四边形能否为平行

4、四边形？假设能, 求点E的坐标；假设不能,请说明理由; (4 )假设梯形与抛物线1、,在 RtAOAB中,/ OAB=90 ° / BOA=30 ° AB =2.假设以0为坐标原点, 0A所在直线为x轴,建立如下图的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将RtAOAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点 C处.(1) 求点C的坐标；(2 )假设抛物线y=ax2+bx (a老)经过C、A两点,求此抛物线的解析式；(3)假设上述抛物线的对称轴与 OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作 y轴的平行线,交抛物线于点M,问：是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形？假设存在

5、,请求出此时点P的坐标；假设不存在,请说明理由.2、( 2021?泉州)如图,O为坐标原点,直线I绕着点A ( 0, 2)旋转,与经过点 C ( 0, 1)的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点 P、Q .4O(1 )求h的值；(2) 通过操作、观察,算出 POQ的面积的最小值(不必说理)；(3) 过点P、C作直线,与x轴交于点B,试问：在直线l的旋转过程中, 四边形AOBQ是否为梯形？假设是,请说明理由；假设不是,请指出四边形的形状.3. 2021?玉林如图,在平面直角坐标系 xOy中,矩形AOCD 的顶点A的坐标是0,4,现有两动点P,Q,点P从点O 出发沿线段OC 不包括端点 O,

6、C以每秒2个单位长度的 速度匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD 不包括 端点C,D以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P, Q同时出发,同时停止,设运动时间为t 秒,当t=2 秒 时,PQ=2 7.1求点D的坐标,并直接写出t的取值范围.2连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD 延长线于点F,连接EF,那么 AEF的面积S是否随t的变化而变化？假设变化,求出 S与t的函数关系式；假设不变化,求出 S的值.3在2的条件下,t为何值时,四边形 APQF是梯形？三、等腰三角形、菱形与抛物线1、 2021?龙岩在平面直角坐标系 xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆

7、放,斜边 AB在x轴上,直角顶点 C在y轴正半轴上,点1请直接写出点 B、C的坐标：A (-1, 0).-:FB、C:并求经过 A、B、C三点的抛物线解析式；32现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF (其中/ EDF=90°, / DEF=60 °),£f把顶点E放在线段AB上点E是不与A、-1/0B两点重合的动点,并使ED所在直线/r ；经过点C.此时,EF所在直线与1中 的抛物线交于点 M.备用图 设AE=x,当x为何值时, OCEOBC ; 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使厶PEM是等腰三角形？假设存在,请写出点P的坐标；假设不存在,请说明

8、理由.3、( 2021?湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6, 0),点B的坐标为(0, 8).动点M从点O出发.沿一OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒：个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t > 0) .-1一J(1 )当t=3秒时直接写出点 N的坐标,并求出经过 O、A、N三点的抛物线的解析式；'(2) 在此运动的过程中, MNA的面积是否存在最大值？假设存在,请求出最大值；假设不存在,请说明理由；(3)

9、 当t为何值时, MNA是一个等腰三角形？4、如图,直线11经过点A (- 1, 0),直线12经过点B (3, 0), li、12均 为与y轴交于点C (0, _§),抛物线 尸ax2+bx+c (a老)经过A、B、 C三点.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 抛物线的对称轴依次与 x轴交于点D、与12交于点E、与抛物线交 于点F、与11交于点 G.求证：DE=EF=FG;(3) 假设h丄-于y轴上的C点处,点P为抛物线上一动点,要使 PCG 为等腰三角形,请写出符合条件的点P的坐标,并简述理由.5、如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,A

10、B/ OC, / AOC=90 ° / BCO =45° BC=12,点 C 的坐标为(18, 0).(1) 求点B的坐标；(2) 假设直线DE交梯形对角线 BO于点D,交y轴于点E,且OE=4, OD=2BD,求直线DE 的解析式；(3) 假设点P是(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？假设存在,请直接写出点Q的坐标；假设不存在,请说明理由.6、( 2021?铁岭)如图,抛物线经过原点 O和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为 E, 它的对称轴与x轴交于点D .直线y= - 2x- 1经过抛物线上一点 B (-

11、 2, m)且与y轴交于 点C,与抛物线的对称轴交于点 F.(1 )求m的值及该抛物线对应的解析式；(2) P (x, y)是抛物线上的一点,假设Saadp=Saadc,求出所有符合条件的点P的坐标；(3) 点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点 M的运动时间为t秒,是否能使以 Q、A、E、M四点为顶点的四边形是 2、(2021?河池)如图,在等腰三角形 ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直 平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线 y x2+ x+4经过菱形？假设能,请直接写出点 理由.M的运动时间t的值；假设不能,请说明四、直角三

12、角形与抛物线3 31、( 2021?广州)如图,抛物线 y= 与x轴交于A、B两点&4(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1) 求点A、B的坐标；(2) 设D为抛物线的对称轴上的任意一点,当 ACD的面积等于 ACB的面积时,求点 D的坐标；(3) 假设直线I过点E (4,0),M为直线l上的动点,当以 A、B、M为顶 点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.2 2A、B两点.(1) 写出点A、点B的坐标；(2) 假设一条与y轴重合的直线I以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点 E、M和点P,连接FA、PB .设直线I移 动的时间为t( 0V

13、 t V 4)秒,求四边形FBCA的面积S(面积单位)与t(秒) 的函数关系式,并求出四边形 FBCA的最大面积；(3) 在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得 FAM是直角三 角形？假设存在,请求出点 F的坐标；假设不存在,请说明理由.3. (2021?海南)如图,顶点为F (4, - 4)的二次函数图象经过原点0),点A在该图象上,OA交其对称轴I于点M,点M、N关于点 称,连接AN、ON,(1) 求该二次函数的关系式；(2) 假设点A在对称轴I右侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问 题： 证实：/ ANM = / ONM ； ANO能否为直角三角形？如果能,请求出所有符合条件的

14、点 坐标；如果不能,请说明理由.4、( 2021?云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=；X+2交X轴于点P,交y轴于点A.抛物线y= -2x2+bx+c的图象过点 E (- 1, 0),并与直线相交2于A、B两点.(1) 求抛物线的解析式(关系式)；(2) 过点A作AC丄AB交x轴于点C,求点C的坐标；(3) 除点C外,在坐标轴上是否存在点 M,使得 MAB是直角三角形？假设存在,请求出点M的坐标；假设不存在,请说明理由.五、相似三角形与抛物线21、( 2021?畐州)如图1,抛物线y=ax+bx (a和)经过A (3, 0)、B (4, 4)两点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线

15、OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;(3) 如图2,假设点N在抛物线上,且/ NBO = Z ABO,那么在(2)的条件下,求出所有满足 POD NOB的点P坐标(点a 34. (2021?黄冈)如图,抛物线的方程Cl： y= -(X+2) (X-m) (m>0)IT与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1 )假设抛物线Ci过点M (2, 2),求实数m的值;(2 )在(1)的条件下,求 BCE的面积；(3) 在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH + EH最小,并求 出点H的坐标；(4) 在第四象限内

16、,抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点 的三角形与 BCE相似？假设存在,求 m的值；假设不存在,请说明理由.5、(2021?常德)如图,二次函数._i.- - !. 的图象过点 A (- 4, 3) , B(4, 4).(1 )求二次函数的解析式：(2) 求证： ACB是直角三角形；(3) 假设点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与 ABC相似？假设存在,求出点 的坐标；假设不存在,请说明理由.4),直线DM丄x6 (2021?鞍山)如图,直线 AB交x轴于点B (4, 0),交y轴于点A ( 0,轴正半轴于点

17、M,交线段 AB于点C,DM =6,连接DA,/ DAC =90 ° °E(1) 直接写出直线 AB的解析式；(2) 求点D的坐标；(3) 假设点P是线段MB上的动点,过点 P作x 轴的垂线,交AB于点F,交过0、D、B三点的 抛物线于点E,连接CE.是否存在点 卩,使厶BPF 与厶FCE相似？假设存在,请求出点P的坐标；假设 不存在,请说明理由.27. (2021?阜新)在平面直角坐标系中, 二次函数y=ax+bx+2的图象与x轴交于A (- 3, 0), B (1, 0)两点,与y轴交于点C.(1) 求这个二次函数的关系解析式；(2) 点P是直线AC上方的抛物线上一动点

18、,是否存在点卩,使厶ACP的面积最大？假设存 在,求出点P的坐标；假设不存在,说明理由；考生注意：下面的(3)、( 4)、( 5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答 时只按作答的首题评分,切记啊！(3) 在平面直角坐标系中,是否存在点0,使厶BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？假设存在,直接写出点 Q的坐标；假设不存在,说明理由;(4 )点Q是直线AC上方的抛物线 上一动点,过点 Q作QE垂直于x 轴,垂足为E.是否存在点Q,使以 点B、Q、E为顶点的三角形与 AOC 相似？假设存在,直接写出点 Q的坐 标；假设不存在,说明理由；(5 )点M为抛物线上一动点,在 x轴上是否存在点

19、 Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？假设存在,直接写出点Q的坐标；假设不存在,说明理由.六、抛物线中的翻折问题21、( 2021?天门)如图,抛物线 尸ax+bx+2交x轴于A (- 1, 0), B (4, 0)两点,交y轴c JZz>/oy?备用團5于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点 D,点P是抛物线上一动点.(1) 求抛物线解析式及点 D坐标；(2) 点E在x轴上,假设以 A, E, D, P为顶点的四边形是平行四边形,求 此时点P的坐标；(3) 过点P作直线CD的垂线,垂足 为Q,假设将 CPQ沿CP翻折,点Q 的对应点为 Q'.是否存在点 P,

20、使Q' 恰好落在x轴上？假设存在,求出此时 点P的坐标；假设不存在,说明理由.22、( 2021?恩施州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x +bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C (0,- 3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.T(1) 求这个二次函数的表达式.(2) 连接PO、PC,并把 POC沿CO翻折,得到四边形 POP C,那么是 否存在点P,使四边形POP C为菱形？假设存在,请求出此时点P的坐标；假设 不存在,请说明理由.(3) 当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时 P点 的坐标和四

21、边形 ABPC的最大面积.动点与抛物线专题复习答案、平行四边形与抛物线3 21解：(1由于抛物线 y=x+bx+c与y轴交于点B( 0,4),贝U c=4;抛物线的对称轴 x=-丄=-',2a 2b=5a=_4即抛物线的解析式：y= x2+ x+4.4 4(2) T A (4, 0)、B ( 3, 0)OA=4, OB=3, AB=J.- 一 + -厂上=5 ；假设四边形ABCD是菱形,那么 BC=AD=AB=5 , C (- 5, 3)、D (- 1, 0).将 C (- 5, 设直线CD的解析式为：y=kx+b,依题意,有：)代入 y= x + x+4 中,得： X ( - 5)

22、+ ' X ( - 5) +4=3,所以点 C 在抛 4444物线上；同理可证：点D也在抛物线上.直线 CD : y= - _x - _ 一44由于MN / y轴,设 M t,卫+丄色+4,贝V N t,卫t -;4444 tv- 5 或 t>- 1 时,l=MN=+4- 't- ' = 't2+ 't+ '4444424- - - 2 2 -5 v tv - 1 时,l=MN= - _ t-二-_ t + "t+4 = -1 - ' t -4444424假设以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,由于 MN /CE,

23、贝U MN=CE=3,那么有:t2+ 1+=3,解得:t= - 3 ± 二;424-r3,解得：匸-3;综上,母谭Y-5或1 号t甲/ OA v OB , OA=3, OB=4 .2在 RtAAOB 中,OA=3, OB=4且当t= - 3+2匚或-3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形._r2、解：1解方程 x - 7x+12=0,得 xi=3, x2=4 ,圏b AB=5,. AP=t, QB=2t, AQ=5 - 2t APQ与厶AOB相似,可能有两种情况:I APQAOB,如图2 a 所示.那么有二丄,即：,解得t='.AO AB 3511i onon i

24、o此时 OP=OA - AP=f PQ=AP?ta nA 亠, Q 牛;111111 11II APQABO,如图2 b 所示.那么有二一三,即 小,解得i匚.ABAO 5313此时 AQ=_2, AH=AQ?cosA=, HQ=AQ?si nA=：,OH=OA - AH= ； ',a Q 二.131313131313综上所述,当t=_L秒或t=_£秒时, APQ与厶AOB相似,所对应的Q点坐标分别为,111311卩或J J.1113 133结论：存在如图3所示./1=2,. AP=2 , AQ=1 , OP=1 .过 Q 点作 QE 丄 y 轴于点 E,贝U QE=AQ?s

25、in / QAP= , AE=AQ?cosZ QAP=',5 5194 19OE = OA-AE=- , Q (,二).5 5 5 ?APQMi,. QMi 丄 x 轴,且 QMi=AP=2,. Ml (,')；5 5 ?APQM2, QM2 丄 x 轴,且 QM2=AP=2,. M2 (,：);55如图(3),过M3点作M3F丄y轴于点F , ?AQPM3,. M3P=AQ,Z QAE=Z M3PF,/ PM3F = Z AQE ; 在厶 M3PF 与厶 QAE 中,/ QAE= / M3PF , M3P=AQ,Z PM3F= / AQE , M3PFQAE ,43R- M3

26、F=QE=, PF=AE= , OF = OP+PF=, M3(-IS当t=2时,在坐标平面内,存在点 M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.3解：1 由抛物线y=,眷,M3匚2x +bx+c 过点 A (- 1, 0 )及 C(2, 3)得,-1 - b+c=O - 4+2b+c=3解得(b=2,L c=32故抛物线为 y= - x +2x+3又设直线为y=kx+ n过点A (- 1, 0 )及C (2, 3 )得'-k+n=OL2k+n=3解得(E,n=l故直线AC为y=x+1 ；(2) 作N点关于直线x=3的对称点N',贝U N'(6, 3),由(1)

27、得D (1, 4),故直线DN的函数关系式为y= - x+二,55当M (3, m)在直线 DN上时,MN+MD的值最小,(3) 由(1)、(2)得 D (1 , 4), B (1, 2)点E在直线AC 上,设 E ( x, x+1), 当点E在线段AC上时,点F在点E上方,那么 F ( x, x+3),/ F在抛物线上,2-x+3= - x +2x+3 ,解得,x=0或x=1 (舍去)二 E (0, 1)； 当点E在线段AC (或CA)延长线上时,点 F在点E下方, 那么 F ( x, X- 1)由F在抛物线上 2 X- 1= - x +2x+3解得X=或x=_L -2 2 E ,二!：或丄

28、匸,-工2 2 2 2综上,满足条件的点 E为E 0, 1、 一 ,一一 或一 ,一一 ；2 2 2 24过点P作PQ丄x轴交AC于点Q ,交x轴于点H ;过点C作CG丄x轴于点G ,如图2,又.SA APC=S APH+S 直角梯形 PHGC - S AGC=设 Q (x, x+1),贝y P (x,- x2+2x+3)-(x+1) (- x2+2x+3) +(- x2+2x+3+3) (2- x)2 2-_X3X32=x +x+3=-(x -)2 2 APC的面积的最大值为27Y二、梯形与抛物线1、解：1过点C作CH丄x轴,垂足为H ;在 RtAOAB 中,/ OAB=90° /

29、 BOA=30° , AB=2, 0B=4, OA=2 '：;由折叠的性质知：/ COB=30° 0C=A0=2二,/ COH=60° 0H = , CH=3; C点坐标为(二,3).(2)抛物线 y=ax2+bx ( af 经过 C (丘,3)、A (2晶,0)两点,0=12a+2V3b解得.a= - 1b处,此抛物线的函数关系式为：y=- x2+2 "ix.(3)存在.由于y= - x2+2:x的顶点坐标为( 二 3),即为点C, MP丄x轴,垂足为N,设PN=t;由于/ BOA=30°所以 0N='t, P ( 3, t)

30、；作PQ丄CD,垂足为 Q, ME丄CD,垂足为 E;把 x=W jt 代入 y= - x2+2；x,2得 y= - 3t2+6t, M (Vt,- 3t2+6t), E (V5,- 3t2+6t),同理：Q ( 7, t), D ( 7, 1);要使四边形CDPM为等腰梯形,只需 CE=QD ,2即 3 -( - 3t +6t) =t - 1,解得 t= 1, t=1 (舍),P点坐标为3' 3存在满足条件的P点,使得四边形 CDPM为等腰梯形,此时 P点坐标为二：,'.1 22、解：(1)v抛物线y=,+h经过点C ( 0, 1),4+h=1 ,4解得h=1 .(2)依题意

31、,设抛物线 y=2x2+i 上的点,P (a,丄a2+1 )、Q (b, 2b2+1) (av Ov b)444过点A的直线I: y=kx+2经过点P、Q,"2- a +仁ak+24一 2 b +仁bk+242 2 >b - xa 得：-：(a b - b a) +b - a=2 (b - a),4化简得：b=-:；-Spoq= OA?XQ- xp|= ?OA? - a|= ( ) + ( - a) > 2?=42 2 aav a由上式知：当-=-a,即|a|=|b| ( P、Q关于y轴对称)时, POQ的面积最小；即PQ / x轴时, POQ的面积最小,且 POQ的面积

32、最小为4.(3)连接BQ,假设I与x轴不平行(如图),即PQ与x轴不平行,依题意,设抛物线 yx2+i 上的点,P ( a,丄a2+1)、Q (b, 4b2+1) ( av Ov b)444直线BC: y=kix+1过点P,"2_a +1=ak1+1,得 k1= - a,44即 y=ax+1 .4令 y=0 得：xb=-',a同理,由(2)得：b=-§点B与Q的横坐标相同, BQ / y 轴,即 BQ/ OA,又 AQ与0B不平行,四边形AOBQ是梯形,据抛物线的对称性可得(a > 0> b)结论相同.故在直线I旋转的过程中：当I与x轴不平行时,四边形A

33、OBQ是梯形；当I与x轴平行时,在 RtA PCQ 中,由勾股定理得：PC=,=_ 霍=.二：<=4, OC = OP+PC=4+4=8 ,又矩形 AOCD , A ( 0, 4), D (8, 4).点P到达终点所需时间为=4秒,点Q到达终点所需时间为 ;=4秒,由题意可知,t的取值2 1范围为：Ov t V 4.(2)结论： aef的面积s不变化./ AOCD 是矩形, AD / OE , AQDEQC,由翻折变换的性质可知：DF = DQ=4 - t,贝U CF = CD + DF=8 - t.:即牙宀解得CE=.-S=S 梯形 AOCF+Sa FCE Saoe二 (OA+CF )

34、 ?OC+_CF?CE -LOA33E2 2 2 七4+ ( 8 -1) y+- (8 - t)化简得：S=32为定值.所以 AEF的面积S不变化,S=32.PQ / AF .(3)假设四边形APQF是梯形,由于 AP与CF不平行,所以只有由 PQ/ AF 可得： CPQDAF ,：',即,化简得 t2- 12t + 16=0,ADiDF 84 - t解得：ti=6+2 ", t2=6 - 2 ",由(1)可知,Ov tv 4 , ti =6+2二不符合题意,舍去. 当t= (6 - 2匸)秒时,四边形 APQF是梯形.4yDF>OCEX三、等腰三角形、菱形与

35、抛物线1、解:(1)v点 A (- 1 , 0), OA=1 ,由图可知,/ BAC是三角板的60°角,/ ABC是30°角,所以,OC=OA?a n60°=1 x=,OB=OC?cot30 °'x；=3,所以,点 B (3, 0), C (0, V3),2设抛物线解析式为 y=ax+bx+c,a - b+c=O那么 * 9+31>+匚二0 ,所以,抛物线的解析式为 y=- x2+- *x+二；3 3(2)/ OCEOBC,一一 -解得OE=1 ,所以,AE=OA+OE=1+1=2, 即 x=2 时, OCEOBC ; 存在理由如下:2體抛

36、物线的对称轴为x=3 =2a 2X (-孕所以,点E为抛物线的对称轴与 x轴的交点,/ OA=OE, OC 丄x 轴,/ BAC=60° ACE是等边三角形, / AEC=60° , 又/ DEF =60° ,/ FEB=60° ,/ BAC=Z FEB, EF / AC,由A (- 1, 0), C (0,)可得直线AC的解析式为 尸,点 E (1, 0),直线EF的解析式为y= =x-二,联立、解得*y=V3x-V3V3 22V3 厂,y-x +x+VsL (舍去),y2= - 4屈Xj=2 yx=3I *点M的坐标为(2,7),EW:-'

37、：=2,分三种情况讨论 PEM是等腰三角形,当 PE=EM 时,PE=2 ,所以,点P的坐标为1, 2或1,- 2,当 PE=PM 时,/ FEB=60° ,/ PEF=90° - 60° =30° ,PE= EM POS30°=-X2十二=工 ',2223所以,点P的坐标为1,3当 PM = EM 时,PE=2EM?;os30°=2X2X =2 7,2所以,点P的坐标为1, 2 ",综上所述,抛物线对称轴上存在点P 1, 2或1 , - 2或1 ,-：或1, 2,3使厶PEM是等腰三角形.3、解：(1)由题意,A(

38、6,0)、B(0,8),那么 OA=6, OB=8, AB=10;当t=3时,AN= 't=5=AB,即卩N是线段 AB的中点；3 2设抛物线的解析式为：y=ax (x- 6),贝U：44=3a (3 - 6) , a=-;g抛物线的解析式：y= - x (x- 6) = - x2+ x.993(2)过点N作NC丄OA于C;由题意,AN= 't, AM=OA-OM=6 - t, NC=NA?sin/ BAO= 't? = t;3 3 5 3那么：Samna=AM?NC= x (6- t) 厂t= - ' (t- 3) 2+6.2233 MNA的面积有最大值,且最

39、大值为6.(3) RtA NCA 中,AN= 't, NC=AN?sin/ BAO= t, AC=AN?cosZ BAO=t;3 3OC = OA-AC=6 - t, N (6- t, t).3 NM=二-=.:- ；又：AM =6 - t, AN= 't (Ov tv 6);3'' 'J = ：t,即：t2-8t+12=0 , t1=2, t2=6 (舍去);才"6 - t,6- t=t, 即卩 t=;3 42或"或 '时, MAN4 43当MN=AN时,当MN=MA时,当AM=AN时,4、解：1抛物线 : 2即：一t2-

40、12t=0, t1=09是等腰三角形.舍去,t2=；432y=ax +bx+c (a0 经过 A (- 1, 0), B (3, 0), C (0,；三点,a - b+c=O9a+3b+c=0,解得 a=, b=-严73,c= ,抛物线的解析式为:2设直线li的解析式为y=kx+b,由题意可知,直线li经过A - 1, 0, C 0,-価 两点,.“比,解得k=-听,b=-听,直线li的解析式为：y=-Jx-听； b=-V3抛物线对称轴为x=1 , D 1 , 0,顶点坐标为F 1 ,点E为x=1与直线12:x=1,得 y=- E (1,点G为x=1与直线11： y= ；x 1的交点,令x=1

41、,得y= -G 1, -也三.各点坐标为：D 1 , 0, E 1,位于对称轴x=1 上,-23,它们均DE=EF=FG=直线12经过B 3, 0, C 0,価两点,同理可求得直线3如右图,过 C点作C关于对称轴x=1的对称点P1, CP1交对称轴于H点,连接CF . PCG为等腰三角形,有三种情况： 当CG=PG时,如右图,由抛物线的对称性可知,此时P1满足P1G=CG ./ C 0,一§,对称轴 x=1 , P1 2, 换. 当CG=PC时,此时P点在抛物线上,且 CP的长度等于CG .如右图,C 1,-听,H点在x=1上, H 1,-氏,在 RtA CHG 中,CH=1, HG

42、=|yG - yH|=| ：-； |=二,由勾股定理得：CG= -：亠2 . PC=2.如右图,CP1=2,此时与中情形重合；又RtA OAC中,AC= |- :'=2,点A满足PC=2的条件,但点 A、C、G在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形. 当PC=PG时,此时P点位于线段 CG的垂直平分线上.丨1丄12,.厶ECG为直角三角形,由(2)可知,EF=FG,即F为斜边EG的中点, CF=FG,. F 为满足条件的 P 点, P2 (1,-EG 2又 cos/ CGE=d=迟,/ CGE=30° / HCG=60°又PiC=CG , PiCG为等边三角形, P

43、i点也在CG的垂直平分线上,此种情形与 重合.综上所述,P点的坐标为Pi (2,).5、解：(1)过点B作BF丄x轴于F在RtA BCF中V/ BCO=45° BC=6血 CF=BF=12/ C的坐标为(-18, 0)AB=OF=6点B的坐标为(-6, 12).(2)过点D作DG丄y轴于点G/ AB / DG ODG OBAV ' =!= ' = ：, AB=6, OA=12AB OB OA 3 - DG =4, OG=8 D (- 4, 8), E (0, 4)设直线DE解析式为y=kx+b ( k0.f-4k+b=£4.k=-l4上二4直线DE解析式为y

44、= - x+4.(3)结论：存在.设直线y=- x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,那么E (0, 4), F (4, 0) , 0E=0F=4,EF=4 '：.如答图2所示,有四个菱形满足题意. 菱形OEPlQl,此时0E为菱形一边.贝U有 PiE=PiQi=OE=4, PiF = EF - PiE=4'： - 4.易知 PiNF为等腰直角三角形,设 PiQi 交 x 轴于点 N,那么 NQi=PiQi- PiN=4 -( 4 - 2 _：) =2 :, 又 ON=OF - NF=2 匚, Qi (2 匚,-2 匚); 菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边.此时Q2与Qi关

45、于原点对称, Q2 (- 2 _, 2二); 菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边.此时P3与点F重合,菱形 OEQ3P3为正方形, Q3 (4, 4); 菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线.由菱形性质可知,P4Q4为OE的垂直平分线,由OE=4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式 y=- x+4得横坐标为2,那么P4 (2, 2), 由菱形性质可知,P4、Q4关于OE或x轴对称, Q4 (- 2, 2).综上所述,存在点 Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点 Q 的坐标为：Qi (2-门,-22), Q2 (- 22, 2 展),Q3 (4, 4), Q4 (- 2 , 2).

46、m=3 即 B (- 2, 3)又抛物线经过原点 0设抛物线的解析式为 y=ax2+bx点B (- 2, 3), A (4, 0)在抛物线上.乜a-223解得：*.b= - 1I设抛物线的解析式为.(2)T P (x, y)是抛物线上的一点,右adp = Saadc ,又点C是直线y= - 2x- 1与y轴交点, C (0, 1), 0C=1 ,丨'-L】,即'厂I或尸工-,解得：>,-_ 2 <1:.点 P 的坐标为I i 一:(3)结论：存在.抛物线的解析式为： .,顶点E(2,- 1),对称轴为x=2 ;点F是直线 y - 2x- 1与对称轴x=2的交点, F

47、 (2,- 5), DF=5. 又 A (4, 0), - AE = , . I.如右图所示,在点 M的运动过程中,依次出现四个菱形： 菱形AEMiQi.此时 DM i=AE= DM4=M4E DE=宀, M4F=dm4+df= ：+5= , , t4= .J ,- MiF=DF - DE - DMi=4 -« ti=4 ; 菱形AEOM2.此时 DM2=DE=i ,- M2F=DF+DM2=6,t2=6 ； 菱形AEM3Q3.此时 EM3=AE= ,- DM 3=EM3 DE= i ,- M3F=DM3+DF= ( i) +5=4+, t3=4+*； 菱形AM4EQ4.此时AE为菱

48、形的对角线,设对角线AE与M4Q4交于点H,贝U AE丄M4Q4,易知 AEDM4EH ,31313综上所述,存在点 M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间 t的 值为：ti=4 -t2=6 , t3=4+V,.2四、直角三角形与抛物线1、解：(1)令 y=0,即：=0,O 4解得X仁-4, x2=2 , A、B 点的坐标为 A (- 4, 0 )、B (2, 0).(2)S acb=AaB?OC=9u在 RtAAOC 中, AC= |. | ； = =5,设厶ACD中AC边上的高为h,那么有 AC?l=9,解得h=j；.25如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到A

49、C的距离=h=这样的直线有2条,分5别是11和12,那么直线与对称轴 x= - 1的两个交点即为所求的点D.设11交y轴于E,过C作CF丄11于F,贝y CF=h=',528 CFCP T 9 ce =-''I:-:i. IJ:.5设直线AC的解析式为y=kx+b,将A (- 4, 0), B (0, 3)坐标代入,23直线AC解析式为y= 'x+3.4 直线li可以看做直线 AC向下平移CE长度单位(丄个长度单位)而形成的,2直线li的解析式为y=_ix+3 -二=_ix-4 2 42那么 D1 的纵坐标为 _ X ( - 1)-丄=_ - , D1 (- 4

50、,- 1 ).4 244同理,直线AC向上平移个长度单位得到12,可求得D2 (- 1 ,24综上所述,D点坐标为：Di (-4, -3,D2(- 1,彳).4 42 条.(3)如答图2,以AB为直径作O F,圆心为F.过E点作O F的切线,这样的切线有 连接FM,过M作MN丄x轴于点N./A (- 4, 0), B (2, 0), F (- 1 , 0), O F 半径 FM=FB=3.又FE=5,那么在RtA MEF中,ME=,丨 -=4, sin/ MFE=, cos/ MFE=5 5在 RtA FMN 中,MN=MN?sin / MFE=3X =丄5 5FN=MN?cos/ MFE=3

51、X =",贝ON5 55 M点坐标为( I")5 5直线l过M (上,良),E (4, 0),5 5设直线I的解析式为y=kx+b,那么有4t1255,解得*L4k+b=0b=33所以直线l的解析式为y= x+3.4同理,可以求得另一条切线的解析式为y=：x-3.4综上所述,直线I的解析式为y= 二x+3或y= x- 3.4 4普图2 2 -2、解：(1抛物线y=-x+ x+4中：2 2令 x=0, y=4,那么 B (0, 4);令 y=0, 0=- x +_x+4,解得 xi= - 1 X2=8,贝U A (8, 0);2 2 A ( 8, 0)、B (0, 4).(2) ABC 中,AB=AC, AO丄 BC,那么 OB = OC=4, C ( 0,- 4). 由 A ( 8, 0)、B (0, 4),得：直线 AC: y= -1 x+4;2依题意,知：OE=2t,艮卩E (2t, 0);2 2 2S=S abc+Sa rab= X8 X8+ 'X ( - 2+8t)>8= - 8t +3