向量的线性运算技巧及练习题

1、向量的线性运算技巧及练习题一、选择题1. 以下条件中,不能判定a/b的是.A、allc/bllcB. ci=3bC. a = -5bD. a = 2b【答案】B【解析】【分析】根据平面向屋的性质进行逐一判定即可.【详解】解：A、由i/c/b/!c推知非零向量a、B、2的方向相同,那么a/b故本选项不符合题 意.B、由0|=3|引只能判定向量方、的模之间的关系,不能判定向量方、的方向是否相 同,故本选项符合题意.C、由a = -5b可以判定向量2、厶的方向相反,那么方/£,故本选项不符合题意.D、由a = 2b可以判定向量d、厶的方向相同,那么allb故本选项不符合题意.应选：B.【点

2、睛】此题考查的是向量中平行向量的定义,即方向相同或相反的非零向量&、6叫做平行向 量.2. 四边形ABCD中,假设向量丽与丽是平行向量,贝IJ四边形ABCDA. 是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形,也不是梯形【答案】C【解析】【分析】根据题目中给的条件而与而是平行向量,可得AB与CD是平行的,且不确定丽与 而的人小,有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形,故可得答案.【详解】根据题意可得AB与CD是平行的,且不确定丽与而的人小,所以有一组对边平行的四边 形可能是梯形或者平行四边形.故答案为：C.【点睛】此题考查平行向屋,解题关键在于掌握平行向屋的特征

3、.3. 以下等式正确的选项是A. AB + BC = CB + BAB. AB - BC = ACC ABBCCD = DA【答案】D【解析】【分析】D ABBC - AC = 6根据三角形法那么即可判断.【详解】AB+BC=AC7BC-AC = AC-AC = 应选D【点睛】此题考查平面向量的三角形法那么,解题的关键是熟练掌握三角形法那么.4在矩形ABCD中,如果丽模长为3 z BC模长为1,那么向量丽+就+疋 的长度为A. 2B. 4C yfj-lD、/J+l【答案】B【解析】【分析】先求出AC = AB + BC然后AB+BC+AC = 2AC 利用勾股定理即可计算出向量丽+ BCS疋的

4、长度为【详解】v| AB |= VI| Sc 1=1 .|AC|=7/32 + l2 =2 /AC = AB + BC :.AB + BC + AC = 2AC | AB + BC + AC =2AC= 2x2 = 4 应选：B.【点睛】考查了平面向量的运算,解题关键是利用矩形的性质和三角形法那么.5 以下命题： 假设 ii = b,b = C,那么 c = a 假设a/b , b 厂那么a/cx 假设 1/1=2/ |,那么a = 2ba=-2b ； 假设与Z；是互为相反向量,那么恥/.其中真命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义,互为相

5、反向量的定义对各小题分析判断即可得解.【详解】 假设a = b> b=c >那么c = a,正确； 假设 a/b » b /c,那么 a/c,正确； 假设a=2b h那么a = 2b或矗2方,错误,由于两个向量的方向不一定相同或相 反； 假设与5是互为相反向量,那么万+ 5=0,正确.综上所述,真命题的个数是3个.应选C.6. 以下说法正确的选项是.A. 一个向量与零相乘,乘枳为零B. 向量不能与无理数相乘C. 非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断.【详解】解：A

6、.个向量与零相乘,乘积为零向量.故本选项错误：B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反,但不一定更短.故本选项错误;D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识,属于根底题,掌握平面向量的性质和相关运算法那么即町解题.7. 下面四个命题中正确的命题个数为. 对于实数加和向量力、b,恒有nia-b = ma-mb 对于实数加、和向量Q ,恒有in-na = tna-na 假设加ci = mb m是实数时,那么有d = b 假设ma = na 加、“是实数,0工0,那么有m =

7、 nA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据平面向屋的性质依次判断即可.【详解】 对于实数加和向量万、b »恒有tnd-b = md-mb ,正确； 对于实数加、和向量力,恒有m-nci = ma-na ,正确； 假设md = mb 加是实数时,那么有a = b错误,当m=0时不成立； 假设mci = na 加、是实数,&工0,那么有m = n ,正确； 应选C.【点睛】此题考查平面向屋知识,熟练掌握平面向量的根本性质是解决此题的关键.&以下各式正确的选项是.A. 2d + b + c = 2d + b + cB. 3万+ b + 30-

8、d = OC. AB + BA = 2ABD. a + b + 3a - 5b = 4d-4b【答案】D【解析】【分析】根据平面向屋计算法那么依次判断即可.【详解】A、2d + b+c = 2d + 2b + c ,故 A 选项错误；B、3& + 厶+ 35 万 = 3Q + 3b+3b 3Q=6b,故 B 选项错误；C、屈+丽=6,故C选项错误；D、a + b + 3a-5b = 4d-4b 故 D选项正确： 应选D.【点睛】此题是对平面向屋计算法那么的考查,熟练掌握平面向量计算法那么是解决此题的关键.9. nABCD中,瓦-丽+丽等于C. ABD. AC【答案】A【解析】 【分析】

9、 在平行四边形中,两对对边平行且相等,以一对对边所在的线段构成向量,得到的向量要 么相等,要么是相反向量,根据此题所给的两个向量来看,它们是一对相反向量,和为零 向量,得到结果.【详解】在平行四边形ABCD中,危与丽是一对相反向量,-DC =:.BC ZD+BABC-丽 + BABC,应选A.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义,解题关键在于得出反与BA是一对相反向量.10. 非零向量&、£、7,在以下条件中,不能判定a lib的是()A. a/c b/ca = 2c,b = 3c C. a = -5bD. |a|=2|引【答案】D【解析】分析：根据平面向量的性质即可

10、判断.详解：A.*.* a /c9 b c i a |0 ,故本选项,不符合题意；B.V=2c, h=3c,故本选项,不符合题意；C.* a- - 5/? » A a p »故本选项,不符合题意；D.V| « |=2|/； |,不能判断亦0,故本选项,符合题意.应选D.点睛：此题考查了平面向量,熟练掌握平面向屋的根本性质的解题的关键.11. 方、B、7都是非零向量,如果7 = 2：,b = _2c,那么以下说法中,错误的选项是 ()- r7A. a/bB. a = bC. BD = -D.方与 B 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项

11、判断即可完成解答.【详解】解：a=2c, b=-2c ,故鬲6是长度相同,方向相反的相反向量,故A.B.D正确,向量之和是向量,C错误,应选C.【点睛】此题主要考查的相等向量与相反向量,熟练掌握定义是解题的关键；就此题而言,就是正 确运用相等向量与相反向量的定义判断A、B、D三项结论正确.12. 如图,在平行四边形ABCD中,如果AB = a AD = b,那么ei + b等于A. BDB. ACC. DBD. CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得AD=BC, ADBC,那么可得BC = b 然后由三角形法 那么,即可求得答案.【详解】解：四边形ABCD是平行四边形

12、,.AD=BC, ADBC,T AD = b 9貳二b,a+ b = ABBC = AC应选BB.如果a和厶都是单位向量,那么a = b- 1 一D. a = b 方为非零向量,那么13以下说法正确的选项是A ci + a = 0C.如果忆冃引,那么a = b【答案】D【解析】【分析】根据向量,单位向屋,平行向量的概念,性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案【详解】解：a、a + -a等于0向量,而不是0,故A选项错误；B、如果&和B都是单位向量,说明两个向量长度相等,但是方向不一定相同,故B选项错 误；C、如果a=b,说明两个向量长度相等,但是方向不一定相同,故C选项错误；- 1

13、-D、如果a = b 方为非零向量,可得到两个向量是共线向量,可得到a/b故D选项正确.应选：D.【点睛】此题考查向量的性质及运算,向量相等不仅要长度相等,还要方向相同,向量的运算要注 意向量的加减结果都是一个向量.14.在矩形ABCD中,卞列结论中正确的选项是A. AB = CD B. AC = BDC.阿=|西D. BO = -OD【答案】C【解析】【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可.【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量.A. AB = -CD故该选项错误；b. |ac| = |d|,但方向不同,故该选项错误；c. 根据矩形的性质可知,对角线互相平分且相等,所以

14、wq=|oQ|,故该选项正确:D BO = OD故该选项错误：应选：C.【点睛】此题主要考查相等向量及向量的长度,掌握相等向量的概念是解题的关键.15.以下有关向量的等式中,不一定成立的是A. AB = -BAB.羽卜丽C. ABBC = AC【答案】DD.网+牛网+阿【解析】【分析】根据向量的性质,逐一判定即可得解.【详解】A选项,AB = -BA成立；b 选项,|ab|=|a| ,成立；C选项,ABBC = AC成立；不一定成立;d 选项,|ab+bc|=|ab|故答案为D.【点睛】此题主要考查向屋的运算,熟练掌握,即可解题.16.点C在线段上,AC=3BC,如果AC = a »

15、那么亦用方表示正确的选项是3-3-4-AClB.ClC. CI443【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法那么,即可得到答案D.4 一a3【详解】点 C 在线段 A3 上,AC = 3BC, AC = a4:.BA 二一AC,3刼与 疋方向相反, 4- = - 亍.,应选D.【点睛】此题主要考查平面向量的运算,掌握平面向量的运算法那么,是解题的关键.17.5是单位向量,且d = -2e,5 = 4e9那么以下说法错误的选项是A. a 6【答案】C【解析】【分析】B. k；l=21 一c. Ibl=-2|al D. d =-b【详解】解：臣是单位向量,且a = -2e,万= 40,:

16、.a / /b,= 2,问=4 , ci = b » 故C选项错误,应选C.18. 非零向量&、6和2,以下条件中,不能判定ab的是A. a = -2bB. a = c,b = 3cC. a + 2b = c > a-b = -cD. a =2b【答案】D【解析】【分析】根据平行向屋的定义,符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A、a = -2g,两个向量方向相反,互相平行,故本选项错误；B、a = c,/? = 3c »那么a 厶 c,故本选项错误；C、由条件知2a = b,3a = c,那么a 厶 c,故本选项错误；D、冋=2

17、网只知道两向量模的数量关系,但是方向不一定相同或相反,°与乙不一定平 行,故本选项正确.应选：D.【点睛】此题考查了平面向量,主要是对平行向量的考查,熟记概念是解题的关键19. 如图,在"BC中,点D是在边BC上,且BD=2CD. AB = a, BC = b.那么而等于( )B.【答案】D【解析】【分析】 利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得而=3丘3 一 I 2 一AD AB-BD = a b.3应选D.【点睛】此题考查平面向屋的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属根底题.20. 以下结论正确的选项是.A. 2004cm长的有向线段不可以表示单位向量B. 假设応是单位向量,那么丽不是单位向量C. 假设O是直线/上一点,单位长度已选定,贝ij/上只有两点4、B,使得丙、衍是单位向量D.