含绝对值不等式的解法

1、1_kjnNJI* 1r学科：数学教学内容：含绝对值不等式的解法【自学导引】Hx | Via的解第 is沁| Vcfl漪?集|毘对值的蕙义1X 1|1|1 绝对值的意义是：xx(x °)x(x 0)2 | x |v a(a>0)的解集是 x |- av x< a I x |> a(a> 0)的解集是 x | x<- a 或 x> a 【思考导学】1 . |ax+ b|< b(b >0)转化成一b< ax+ b< b的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax + b|< b转化b< ax+ b< b的根据是由绝

2、对值的意义确定.2 解含有绝对值符号的不等式的根本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的根本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同.【典例剖析】例1 解不等式2<| 2x 5 |W7-可编辑修改-解法一：原不等式等价于|2x 5| 2|2x 5| 72x 5|2 或 2x 57 2x 5| 7原不等式的解集为 x3 71 <x v 或 一 v x <62 2解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集2x 52 2x2x 5 025 2x不等式组I 的解集为 x | - v x<623不等式组n

3、的解集是 x |- 1 <x v23 7原不等式的解集是 x |- 1 <xv 或v x<62 2解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集.(I )2 v 2x-5 <7(n )2 v 5 2x<7不等式I的解集为x 17v xW62不等式n 的解集是x 131 <x v2原不等式的解集是x I3亠71 <x v或 一 v x <62 2点评：含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三.例2 解关于x的不等式:(1) | 2x+ 3 | 1 v a(a R)；

4、(2) | 2x+ 1 |> x +1 .解：原不等式可化为丨2x + 3 |v a+ 1当a + 1 >0,即卩a> 1时,由原不等式得一(a+ 1) v 2x + 3 v a+ 1a 4 a 2 v xv2 2当a + 1 wo,即aw1时,原不等式的解集为 ,a 4 a 2综上,当a> 1时,原不等式的解集是 x| vxv 2 2当aw1时,原不等式的解集是2原不等式可化为下面两个不等式组来解2x2x0或(n)2x 1 0x 1(2x 1) x 1不等式组I 的解为x>02不等式组n 的解为xv32原不等式的解集为 x | xv或x>03点评：由于无论

5、x取何值,关于x的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0 ,故| f(x) |v a(aw0)的解集为解不等式分情况讨论时, 一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集般不合并,如1对变量分类,解集必须合并如2.例 3解不等式 |x |2x + 1| > 1 .解：T 由|x |2x+ 1| > 1 等价于x |2x + 1| > 1 或 x |2x+ 1| v 1(1)由 x |2x + 1| > 1 得 |2x + 1| vx 12x10或2 102x1x1(2x1) x 111即x2或x2均无解x2x 0由 x - |2x + 1| V 1 得

6、|2x + 1| > x + 1.2x10或2x 102x1x或1(2x1)x 111x2即x2或2 .,x > 0或x V-023xx32综上讨论,原不等式的解集为 X|XV或x > 0 3,反复应用解答绝对值点评：这是含多重绝对值符号的不等式,可以从“外向“里根本不等式类型的方法,去掉绝对值的符号,逐次化解.【随堂练习】1 不等式|8 3x|> 0的解集是C x|xz 8 , x R38答案：C2 以下不等式中,解集为 R的是A | x+2 |>1B | x + 2 |+ 1 > 1C (x 78) 2 > 1D (x+ 78)2 1 > 0

7、答案：C3 在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是A . x | - 2 v x v 2 B. x | 0vxW2C. x | - 2 wx <2D . x | x或 x < 2解析：所求点的集合即不等式| x |<2的解集.答案：C4 .不等式| 1 2x |v 3的解集是A . x | xv 1 B. x | 1 v xv 2 C. x|x>2D . x | xv 1 或 x > 2解析：由 | 1 2x | v 3 得一3 v 2x 1 v 3 ,二一1 v x v 2答案：B5 .不等式| x+ 4 |> 9的解集是解析：由原不等式得 x+ 4

8、 > 9或x+ 4 v 9 ,.x> 5或x v 13答案： x | x > 5 或 x v 13 6.当a>0时,关于x的不等式| b ax |v a的解集是_解析：由原不等式得 | ax b | v a, /av ax b v abb1 v xv + 1aax |bb、1 v x v + 1 aa答案：bbx | 1 v xv + 1 aa【强化练习】1 不等式丨x+ a IV1的解集是A. x I - 1 + av xv 1 + aB. x |- 1 avxv 1 aC. x I 1 | a |v xv 1 | a I D . x I xv 1 | al或 x&g

9、t; 1 I a I解析： 由 I x+ a Iv 1 得一1 v x+ a v 11 a v x v 1 a答案：B2 .不等式1 <Ix 3 I <6的解集是A . x I 3<2 或 4 <x<9B. x I 3 <x <9C. x I 1 <x <2x 3解析：不等式等价于! xD . x I 4 <x <90 x 3 0 或3 613x6解得：4<x<9 或 3<x<2 .答案：A3.以下不等式中,解集为x I xv 1或x> 3的不等式是A . I x 2 I> 5B . I 2x

10、 4 I > 3x1 I 1 I<22X i解析： A 中,由 | x 2 |> 5 得 x 2 > 5 或 x 2 v 5X > 7 或 x v 3同理,B的解集为 x | x > -或xv 12C的解集为 x | x <1或x>3D的解集为 x | xv 1或x>3答案：D4 .集合 A = x|x 1| v 2, B= x|x 1| > 1,那么 A AB 等于()A . x| 1 v xv 3B. x|xv 0 或 x> 3C. x| 1 v xv 0D . x| 1 v xv 0 或 2 v xv 3解析：|x1| v

11、 2 的解为一1 vxv 3, |x 1| > 1 的解为 xv 0 或 x>2 .:A nB = x| 1 v xv0 或 2 vxv 3.答案：D5 .不等式 | x 2 |v a(a>0)的解集是 x | 1 vxv b,贝U a+2b =解析： 不等式| x 2 | v a的解集为 x | 2 a v xv 2 + a由题意知：x | 2 av xv 2 + a = x | 1 vxv b2 a 1 a 32 a c c 5'a + 2b = 3 + 2 X5 = 13答案：136 不等式|x + 2| >x+ 2的解集是解析：当 x+ 2 >0

12、时,|x+ 2| = x + 2 , x + 2 >x + 2 无解.当 x+ 2v 0 时,|x + 2| =- (x + 2) >0 >x + 2当 xv- 2 时,| x + 2 | > x+ 2答案： x | xv-2 7 .解以下不等式：(1) |2 3x| <2 ; (2)|3x 2| > 2.4解： 由原不等式得2 <2 3x<2,各加上2得4 <3x<0,各除以3得>x34»,解集为x|0<x<.34 由原不等式得3x 2 v 2或3x 2 >2 ,解得xv 0或x> -,故解集

13、为x|xv 0或x34>3.8 .解以下不等式：(1)3 <x 2| v 9 ; (2)|3 x 4| > 1 + 2x.解：1原不等式等价于不等式组Jim由得x <1或x >5 ;由得一7 vxv 11,把、的解表示在数轴上如图,原不等式的解集为x| 7vx<1或5<xv 11.2原不等式等价于下面两个不等式组,即原不等式的解集是下面两个不等式组解集的 并集:3x 40,-3x 4 0,3x 4 12x;(3x 4) 12x.3由不等式组解得 x> 5;由不等式组解得 x v -.53原不等式的解集为x|xv 或x> 5.59 .设A =

14、 x | 2x 1 |W3, B= x | |x + 2 | v 1,求集合 M,使其同时满足下 列三个条件： M: (A U B) AZ ;(2) M中有三个元素；(3) M QBm解：vA= x | 2x 1 | <3 = x | 1 <x<2B= x | |x+ 2 |v 1 = x | 3 v xv 1M : (A U B) AZ = x | 1 <x<2 U x | 3 v x v 1 AZ = x | 3 v x <2 nz = 2 , 1 , 0 , 1 , 2又TM QBM,2 M .又tM中有三个元素同时满足三个条件的 M为： 2, 1 , 0, 2, 1 , 1 , 2, 1 , 2, 2, 0 , 1 , 2 , 0 , 2, 2, 1 , 2 .【学后反思】解绝对值不等式,关键在于“转化.根据绝对值的意义,把绝对值不等式转化为一次不等式(组).| x |v a与| x |> a(a>0)型的不等式的解法及利用