天体运动中的追及相遇问题

1、精心整理页脚内容天体运动中的追及相遇问题信阳高中陈庆威在天体运动的问题中,我们常遇到一些这样的问题.比方,A、B两物体都绕同一中央天体做圆周运动,某时刻A、B相距最近,问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间,或“至少需要 多少时间等问题.而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上 一些相似的地方,即必须找出各相关物理量间的关系,但它也有其自身特点.根据万有引力提供向心力,即当天体速度增加或减少时,对应的圆周轨道 就会发生相应的变化, 所以天体不可能在同一轨道上 实现真正意义上的 追及或相遇.天体运动的追及相遇 问题中往往还因 伴随着多解问题而变得更加复杂,成为同

2、学们学习中的难点.而解决此类问题的关键是就要找好角 度、角速度和时间等 物理量的关系.、追及问题【例1】如图1所示,有A、B两颗行星绕同一颗恒星 M做圆周运动,旋转方向相同,A行星的周期 为Ti, B行星的周期为T2,在某一时刻两行星相距最近,那么 经过多长时间,两行星再次相距最近？ 经过多长时间,两行星第一次相距最远？解析：A B两颗行星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力因此Ti<T2.可见当A运动完一周时,B还没有到达一周,但是要它们的相距最近,只有 A B行星 和恒星M的连线再次在一条直线上,且A B在同侧,从角度上看,在相同时间内,A比B多转了 2n ; 如果A、B在异侧,那么

3、它们相距最远,从角度 上看,在相同时间内,A比B多转了 n.所以再次相变成了多解性问题.【例2】如图2,地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动.地球的轨道半径为R,运转周期为To地球和太阳中央的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角简称视角.该行星的最大视角为当行星处于最大视角处时,是地球上天文爱好者观察该行星的最正确时期.假设某时刻该行星正好处于最正确观察期,问该行星下一次处于最正确观察期至少需经历 多长时间？解析：由题意可得行星的轨道半径r = Rs in：设行星绕太阳的运行周期为 T,由开普勒大三定律有：R3T23r?32,得：T =T .sinJT 2绕向相同

4、,行星的角速度比地球大,行星相对地球2兀 2兀 2兀1in3日时=,tzsnv某时刻该行星正好处于最正确观察期,有两种情况：一是刚看到；二是马上看不到,如图3所示.到下一次处于最正确观察期至少需经历时间分别为两者都顺时针运转：1 = 一茁=2旳sin T时 2兀1_Jsin3 日两者都逆时针运转：t2=4 = 3£5TZ2兀1_勺n3日二、相遇问题【例3】设地球质量为M绕太阳做匀速圆周运动,有一质量为 m的飞船由静止开始从P点沿PD方 向做加速度为a的匀加速直线运动,1年后在D点飞船掠过地球上空,再过3个月又在Q处掠过地球 上空,如图4所示图中“ S表示太阳.根据以上条件,求地球与太

5、阳之间的万有引力大小.图4解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇,经过3个月后,它们又在Q点相遇,因此在这段时间内,地球与太阳的连线转过的角度5 = 2x36090°12.设地球的公转周期为T,飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动,那么地球的公转半径为-一火星根据根据开普勒第三定律,可求出 厂':门f戲0 J探测T'器9地球.太阳八器._二八'J八地球 /=60°.点火前,探测器与地球在同一公转轨道同向运行,周期跟地球的公 图7/解析：3r火_T火_T地, 太阳V、火星勺公转周期一 T 火:-题设r火:=d .5r地,太阳t_探测、/T火二1.5

6、 3.T地=1地球0 X 365=671d初始相对角距离心： 转周期相同,故相对火星的角位移为I探测器在适当位置点火后,沿椭圆轨道到与火星相遇所需时间t二2/ X 9得:Td2.5r第 3()3因J 二打得:TdT地Tdt=? =陌耳号=255d在这段时间t内,探测器的绝对角位移为1800,火星的绝对角位移为二火八火A671255 = 137.所以,地球与太阳之间的万有引力大小为【例4】从地球外表向火星发射火星探测器,设地球和火星都在同一平面上绕太阳做同向圆周运动, 火星轨道半径r火为地球轨道半径r地的1.50倍,简单而又比拟节省能量的发射过程可分为两步进 行：第一步：在地球外表用火箭对探测器

7、进行加速,使之获得足够动能,从而脱离地球引力作用成 为一个沿地球轨道运动的人造卫星如图5;第二步：在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机, 在短时间内对探测器沿原方向加速, 使其速度数值增加到适当值,从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切 的半个椭圆轨道正好射到火星上如图6.当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后, 在某年3月1日零时测得探测器与火星之间 的角距离为60.火星在前,探测器在后,如图 7所示.问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机,方能使探测器恰好落在火星外表？时间计算仅需精确到日,:探测器相对火星的角位移为心2 =1800 -1370 =43.至滌测器与火星相遇时,初始相对角距离门=60°,应等于点火前探测器相对火星的角位移1,与探测器沿椭圆轨道运动时间内相对火星的角位移2之和,即那么厶片=60° - 43° -170故得：选 -10 =38dg 360360365 一 671某年3月1日零时,探测器与火星角距离为 60°火星在前,探测器在后,点燃发动机时 刻应选在当年3月1日后38天,注意到“ 3月大有31号,即应在4月7日零时点燃发