层次分析法论文

1、欧洲五大足球俱乐部的数学建模分析论文统计学 杨子清 101202110117前言：纵观当今欧洲足坛, 风起云涌, 豪强并起.巴萨皇马,称雄西甲；德甲拜仁, 一枝独秀；蓝黑军团国际米兰,逐鹿意甲之天下；英超一霸切尔西,竟然也能在 高手如林的欧冠赛场捧杯. 欧洲的足球水平为何如此之高？五大豪强的经验又带 给了我们什么样的启示呢？这便是本文要探讨的问题. 本文引用了数学建模的思 想,采用了层次分析法对欧洲五大足球俱乐部的综合实力进行理性而深入的分 析.所谓数学建模,就是对现实世界中的某一特定现象,为了某一特定的目的, 做的简化假设,运用数学工具,得到一个数学结构.而层次分析法,是建模中常 用的方法之

2、一.通过层与层之间的比照分析,得出实际问题中的某些结论.本文所研究的问题是关于五大足球俱乐部的综合实力排名情况. 现实的足球 世界中,影响一支球队的综合水平有许多. 例如进攻水平、 防守水平、球员水平、 教练的执教水平、 裁判的执法水平等. 这些因素都是对于一支的球队综合实力有 着或多或少的影响. 但他们各自的权重并不一样, 所以,如何筛选这些因素是本 文分析的关键所在.众所周知, 当数学模型建立之后, 还不能马上用于实际分析, 必须对模型做 进一步的检验.由于本文数据分析过程较为繁琐,所以检验局部并非人工完成, 而是运用电脑软件 R 来完成的.采用了 Satty 的检验方法对模型进行分析,

3、使模 型分析的可信度大大提升.关键词 ：数学模型、层次分析法、欧洲足球7数学建模的根本过程:如下列图所示图1:数学建模根本流程图层次分析法把人的思维层次化、数量化,并用数学为分析、决策、预报或控 制提供定量的依据.这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、 影响因素以及 内在关系等进行深入分析之后,构建一个层次结构模型,然后利用较少的定量 信息,把决策的思维过程数学化,从而为求解多目标、多准那么或无结构特性的复 杂决策问题提供一种简便的决策方法,尤其适合于人的定性判断起重要作用 的、对决策结果难于直接准确计量的场合.二、问题重述本文将对欧洲五大足球俱乐部巴塞罗那、皇家马德里、国际米兰、切尔西、

4、拜仁慕尼黑的综合实力进行分析.利用层次分析法,把问题分成三个层次,即 目标层、准那么层、方案层.其根本思想是：通过准那么层各因素对目标层的重要程 度比拟的量化,经过适当的数学推导,得出前述的各权系数.三、问题分析首先本文的研究目的是为了评价欧洲五大球队巴萨、皇马、拜仁、国米、 切尔西的综合实力.对于一支球队来说,球员是组成球队的重要局部,因此, 球员水平上下将直接影响球队的实力.其次,球队在比赛的过程中是通过进球来获得比赛的胜利的,而要想进球, 就要攻破对手的防线,所以进攻水平也是综合实力的表达.最后,球队的防守的效果,是决定球队立于不败之地的关键所在, 也是球队 综合实力的一个评价指标.四、

5、做出假设,画出层次分析图基于以上的分析：1、假设球队的综合实力主要表达在自身的进攻实力、防守实力已经球员能 力.2、假设影响一支球队获胜的其他因素均视为随机误差.3、假设足球比赛中获胜、平局、落败的概率相等没有暗箱操作. 故层次分析图如下所示：目标层f>五支欧洲俱乐部足球队综合实力Ak准那么层防守指数B2方案层员身价总值B切 尔 西C5图2:层次分析图五、方案说明1、符号说明:表1:符号说明图A五支球队的综合实力B1进攻指数B2防守指数B3球员的身价总值C1巴萨罗那C2皇家马德里C3拜仁慕尼黑C4国际米兰C5切尔西六、两两比拟、建立判别矩阵构建层次分析结构之后,将问题归结为各支俱乐部球队

6、三个表达综合实力的 指标进行排序.所以,我们要在各层中对元素进行两两比拟,构建判别矩阵.层 次分析法主要是人们对每一层次中各因素相对重要性给出的判断,这些判断通 过引入适宜的标度,用数值表示出来,写成判断矩阵.判别矩阵表示针对上一层 次因素,本层次与之有关因素之间的相对重要性的比拟.因此,首先判断B1、B2、B3对于A的重要性.众所周知,每一支球队都是由 每一个足球运发动组成的.所以,球队实力的表达最重要的局部,应该是球员的 身价总值；其次,评价一支球队的强弱,应该看球队的进攻水平,倘假设一支球队 进球多,那么它获胜的可能性也就比拟大： 同样球队的防守水平也很重要,只要 简单地设想一下就知道,

7、如果这支球队失球数越少,那么它获胜的可能性也就大.接着就是确定各元素的权重,考虑都各元素对目标元素的影响,可用下表数 值表示：表2:权重的对应的数值Xi/Xj相等较强强很强绝对强aij13579假设介于上述二者之间,那么取2、4、6、8,由此得到的矩阵A为正互反矩阵 依据上文的分析,球员身价的权重应该是最大的.其次是球队的进攻指数.权重最小的应该是防守指数.所以,基于上表的数据,我们确定A-B矩阵为:AB1B2B3B1131 /3B21/311/5B3351各球队数据如下,通过对一下数据的粗步分析表3:五支球队的具体数据排各球从奶、倍球成功率抢斷戒功率1巴塞罗那175763%75%69%192

8、皇家马德里17d179%7£%53%173葬仁專尼黑174465%92%63%7din誹兰1730m71%52%191726m01%55%17巴萨罗那的进球数主要指标最多,传球成功率也最高,其次是拜仁、皇马、 国米、切尔西.失球数最多的是巴萨和国米,其次是皇马和切尔西、最后是拜仁 所以我们可以做出如下矩阵：B1-CB1C1C2C3C4C5C113245C21/311/223C31/23134C41/41/21/212C51/51/31/41/21从数据上看,巴萨和国米失球最多,17场比赛共失球19个,其次是皇马和切尔西,共失球17个,而拜仁失球最少,只有7个.以此建立B2-C矩阵为：

9、B2-CB2C1C2C3C4C5C111/31/511/3C2311/331C353153C411/31/511/3C5351/331从体育网站上获得的数据：目前,各支球员身价总值为欧元：巴萨5.4亿、皇马5.245亿、国米3.6725亿、切尔西3.62亿、拜仁3.031亿.所以B3-C矩阵：B3C1C2C3C4C5C113957C21/31735C31/91/711/51/3C41/51/3513C51/71/531/31七、一致性检验对于判别矩阵的一致性检验,本文采用 Saaty提出的平均随机一致性检.假设 某矩阵为一致性矩阵,其最大特征根为n,其余特征根为0.通常用CI来衡量一致 性.如

10、果CI越小,那么一致性越好.但这种方法用缺陷,所以,Saaty提出平均随机,引入了 RI概念,并用CR=CI/RI来衡量矩阵的一致性,当CRvO.1时,那么认为矩 阵有较满意的一致性.其中：C=凡mu -M=儿“小 1"注：Satty给出的RI标准为N12345RI000.580.91.12运用R软件可以求的矩阵的特征值和特征向量.并可从中确定最大特征根, 将其代入公式,就可以求的CR勺取值.运用R软件计算得：A-B矩阵的CR«0.07<0.1,所以矩阵A通过一致性检验.B1-C矩阵的 CR=2.232143e-0.8<0.1,二 B1-C也通过检验.B2-C矩

11、阵的CR=0<0.1A B2-C矩阵通过一致性检验.B3-C矩阵的 CR=-2.232143e-0.8<0.1 二 B3-C矩阵通过一致性检验.八、模型的优缺点该模型主要运用了层次分析法进行数据分析,其优点是：1、通过层与层之间的比照分析,使读者对于这五大足球俱乐部的综合 实力有了进一步的熟悉主要通过判别矩阵.2、从过层次分析法得到五支球队的综合实力评价,要比根据自己的主 观分析得都的综合实力评价显得客观一些.3、通过建模分析实际问题可以到达深入简出的效果.其缺点是: 1、由于本人学艺不精,没能完全掌握层次分析法的精髓,故在做一致性 别时没能采用最好的方法.导致分析的结果与实际的结

12、果有所不同. 2、判别矩阵中的各元素自己全是本人凭经验臆测得出的.没有经过专业人 士的认证.所以得出的判别矩阵可能与真实的判别矩阵略有不同.九、结论 基于模型本身,通过以上的分析可以得出最终的综合实力排名情况为： 巴萨、拜仁、皇马、切尔西、国米.在这五大俱乐部球队中,巴萨罗那队拥有豪 华的球员阵容, 进攻水平是五支球队当中最强的, 但防守的水平比拟弱； 皇马同 样拥有豪华的球员阵容, 但进攻水平稍弱, 防守水平也稍弱 或许是由于这几场 比赛是状态低迷的原因；拜仁虽然没有豪华的球员阵容,但进攻水平比拟强, 而防守水平又是这五支球队中最好的, 历来都是欧冠的一支劲旅. 因此, 个人认 为拜仁拥有很

13、强的实力； 国米最近几场比赛中所表达的进攻水平和防守水平都偏 弱,可以说球队正处于下滑期, 但就此判断国米的真实实力为时尚早, 再怎么说, 毕竟也是当年叱咤绿茵场的米兰双雄中的一员；切尔西也是没有豪华的球员阵 容,所以进攻水平偏弱是可以理解的, 但切尔西的防守水平还是可以跟五大球队 抗衡的. 2021年,切尔西正是凭借自己的防守水平击败各路豪强, 夺得欧冠联赛 的冠军.因此,切尔西的实力也不容小觑.十、附录1 、陈汝栋 于延荣 ?数学某型与数学建模? 国防工业出版社 20212 、王宗军 ? 综合评价的方法、问题及其研究趋势理科学学报? 高等教 育出版社 20213 、李虎 ?足球天下? 第五

14、频道出版社 20214 、陶路 ?欧洲五大联赛球队排行榜? 新浪体育 xinlang R软件运行结果如下：> anuarr 1xCc(1.1/3. 3,3 B1.5 B1/3 1/5 Bl> ,nrow-3 Bncol-3> AIE-1 . 2 JdJ1p 1-OOOOOOO 3 oa13333332, O33333331 O20000003. m OOOOOOO 5 丄.OOOOOOO> A,ei gen-ei genfA B symmerr1c-T)> A.ei genSvalues15981874907060961 -4a 679711vectorsC.l

15、1p -OB 3817072 2. -O6047305 3.1 -O979039f2J-30.8S787978 -O.341776351313907 -0.6090890 -OL 02702927.7156S1Z> CIC(6r 9S1S?4&+Ot 7-4r 6J-3>/2> CI1 0B 04093745> CR-CT/O 58> CiR1 Q,0708181图3: A-B矩阵运行结果r.ur.2jr3,451.11.00000003.00000002.004.052.0.50000001,00000000+502,033.0.33333333+000

16、0000l + 003.044 J0.25000000+5OOOQQ00+501.0250,20000000.33333330.250. 51> B> B. eigen=ei gen(eTsymmetric)> B.eigena 日 te 彳 gi gie nB f s-ymmt1 亡=T)> b.1genSvalues|14. 3G02477 X. 31B5S41 O. >249O.4SS42O0 -2,00572101 09Svet.ors.1 1B=O丄9丄吕1242 -G-6675537 3 p -OB 6604696 4 . -D 2 3 53170 5

17、 B 一O16139242951104O,2130609O亠 24 5054 8-O.5833&346334<&06L.3Q 9349 346 -Ch 04124139 -Oa 08841579 -D 2丄292920 二O 26644673.4O"02391565O.060620076 03638985 一右.74759159Q 6599233b50392633330,7O5&O5215 -0.7032423970.005279513-0. 01B458534> CI=(36S24 77+ le 319Sa41 + 0, &32469?+

18、 0, 4854200 -2= 00 57210>-5/4> CI1王.5e-08A CiR-CT/1 JL2> CR1 2.232143e-08图4: B1-C矩阵运行结果.1,2,3.4,51J10.33333330.200000010.333333331.00000000.333333331.00000003J53.00000001.000000053.00000004 J10.33333330.200000010.3333333535.00000000.333333331.0000000> t. eigerd gen<C pSymmetr ic»

19、T>> t.eigen$valuesCL 11. 2620074 52.38108445 Ox O220341S -3. -48923522 -5. 67 5B9085$vectorspl-2p3-4pSC1.1O 52073770.30043861-0.254581506560725O 3785842E2.O 51S4137-O.O54O852S0. 5 37124 9Q4561000O4814475L3. J04251500,56172762-0,2963748=04349S91O4761061E4,l(J. 2167790-0,5853615S-0,6963450+ 0 2908601O 20214 SICs. J-048200490,498523430.27193880 2962307-O 5977814A CI=C<11.26200745 + 2.BB106445 + O02203斗IE -3.43923523 -S,67SS9085 + 3-5V4> CR=CI/1.12a CR图5: B2-C矩阵运行结果11 山1J 1.0000000 3-00000002J G33333J3 1.00000003J 0.1111111 0,14285714J 0.2000000 0,33333335J 0.142