!第11章套利定价理论

1、第11 章 套利定价理论1. 假定影响美国经济的两个因素已被确定：工业生产增长率与通货膨胀率。目前，预计 工业生产 增长率为 3% ，通货膨胀率为 5% 。某股票与工业生产增长率的贝塔值为1，与通货膨胀率的贝塔值为 0.5， 股票的预期收益率为 12% 。如果工业生产真实增长率为 5%，而通胀率 为 8% ，那么，修正后的股票的期望收益率为多少？2. 假定Fi与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所有的股票都有独立的企业特有（风险 ）因素，其标准差为 45% 。下面是优化的资产组合。资产组合F1的贝塔值F 2的贝塔值期望收益率A1.52.031B2.2-0.227在这个经济体系中

2、，试进行期望收益3.考虑下面的单因素经济体系的资料，-贝塔的相关性分析。 所有资产组合均已充分分散化。资产组合E(r )(%)贝塔A121.2F60现假定另一资产组合E也充分分散化，贝塔值为0.6，期望收益率为8%，是否存在套利机会？如果存在，则具体方案如何？4.下面是Pf公司一证券分析家构建的三只股票的投资方案。A10-152030B152510-10C50121512股票价格/美元不同情况下的收益率（%）平均繁荣a.使用这三支股票构建一套利资产组 合。b.当恢复平衡时，这些股票价格可能会如何变化？举例说明，假定C股票的资金回报率保持不 变，如何使C股票的价格变化以恢复均衡？5. 假定两个资

3、产组合 A、B都已充分分散化，E（rA）= 12%，E（b） = 9%，如果影响经济的要 素只有一 I：个，并且 a= 1.2， b= 0.8，可以确定无风险利率是多少？6. 假定股市收益以市场指数为共同影响因素。经济体系中所有股票对市价指数的贝塔 值为1，企业特定收益都有 30%的标准差。如果证券分析家研究了20种股票，结果发现其中有一半股票的阿尔法值为2%，而另一半股票的阿 尔法值为-2%。假定分析家买进了100万美元的等权重的正阿尔法值的股票资产组合，同时卖空100万 美元的等权重的负阿尔法值的股票资产组合。a. 确定期望收益（以美元计）。其收益的标准差为多少？b. 如果分析家验证了 5

4、0种股票而不是20种，那么答案又如何？100种呢？7. 假定证券收益由单指数模型确定：Ri = /（ i 朴 iRM +ei其中，Ri是证券i的超额收益，而Rm是市场超额收益，无风险利率为2%。假定有三种证券 A、B、C，其特性的数据如下所示:证 券iE(R )(%)(e )(%)A0.81025B1.01210C1.21420a. 如果、m = 20%，计算证券 A、B、C的收益的方差。b. 现假定拥有无限资产，并且分别与A、B、C有相同的收益特征。如果有一种充分分散化的资产组合的A证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？如果 仅是由B种证券或C种证券构成的投资，情况又如何？c.

5、在这个市场中，有无套利机会？如何实现？具体分析这一套利机会（用图表）。证券市场线的相关分析表明，在单因素模型中，证券的期望风险溢价与该证券的贝塔 值直接成比例。假定不是这种情况，例如，在右图中，假定 期望收益以大于贝塔的比例增长。a. 如何构建一套利机会（提示：考虑资产组合A与资产组合B的组合，并与 投资于C的结果进行比较）。b. 在第13章中，可以看到一些研究人 员已经对分散化投资的平均收益 与这些投资 的科；2的相关性分析进行了研究。关于 卩2对投资收益的影响，应得岀什 么结论？8. 如果套利定价理论是有用的理论，那么经济体系中系统因素必须很少。为什么？9. 人们期望通过某些因素来确定风险

6、收益。而套利定价理论本身并不能提供关于这 一问题的指 导。那么，研究人员该如何确定哪些因素是值得研究的呢？例如，为什么说对 于检测风险溢价，行业的生产是一种合理的因素呢？10. 考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：要素贝塔值风险溢价（% ）通货膨1.26胀行业0.58生产石油价格0.33a. 目前，国库券可提供 6%的收益率，如果市场认为该股票是公平定价的，那么请求 出该股票 的期望收益率。b. 假定下面第一列给岀的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给岀。 在这种情况下，计算该股票修正后的期望收益率。要素预计变化率（）实际变化率（）通货膨胀54行业生产36石油价格2012

7、.假定市场可以用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述:要素风险溢价（% ）工业生产6利率的）2消费者信心4特定股票的收益率可以用下面的方程来确定:r = 15% + 1.01 + 0.5R + 0.75C+ e6%，该股票价格是低估还是8% :使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。国库券利率为 高估了？解释原因。B13.如果X与Y都是充分分散化的资产组合，无风险利率为资产组合期望收益率（）贝塔值X161.00Y120.25根据这些内容可以推断岀资产组合X与资产组合 丫:a.都处于均衡状态。b.存在套利机会。c.都被低估。d.都是公平定价的。答案：第11章 套利定价理论1. 股票预期收益

8、率的调整估计值应该是原来的估计值加上各要素未预期到的变化乘以敏感性系数，例如：调整估计值 =12+1 X 2%+0.5 X 3%=15.5%2. 使用式11-6。E(rp)=rf+ p10E(1)-rf+p2E(2)-rf我们要找岀这两个要素的风险溢价：RPi=E(ri)- rf和RP2= E(r2)- r<|，则必须解下列有两个未知数的方程组：31=6+22.5 X RPi+2.0 X RP227=6+2.2 X RPi+(- 0.2) X RP2 方程组的解分别为：RPi=10% 和 RP2=5%因此，预期收益率-关系为：E(rP)=6%+ p1；x 10%+ p2X 5%3. 资产

9、组合F的预期收益率等于无风险利率，因为它的等于0。资产组合 A的风险溢价比 的比率 为：(12- 6)/1.2=5 %，而资产组合 E的比率却只有 (8-6)/1.2=3.33 %。这说明存在着 套利机会。例如，你 可以通过持有相等的资产组合A和资产组合F构建一个资产组合 G,其 等于0.6(与E相同)。资产组合G的预期收益率和值分别为：E(rG)=0.5 X 12%+0.5 X 6%=9%! g=0.5 X 1.2+0.5 X 0=0.6比较G和E，G有相同的，但收益率却更高。因此，通过买入资产组合G和卖岀等量的资产组合E可以获得套利机会。如果你这么做，你资产组合的每一份投资的收益为：E(r

10、G)-岸=(9%+0.6 X F)- (8%+0.6 X F)=1 %4. a.第一步，将各种情况下的收益率转化为每股美元收益，如下表所示：(单位：美元)价格情况123A$1010(1- 0.15)=$8.510(1+0.20)=$1210(1+0.30)=$13B1515(1+0.25)=18.7515(1+0.10)=16.515(1 - 0.10)=13.5C5050(1+0.12)=5650(1+0.15)=57.550(1+0.12)=56要确认一套利机会经常涉及零投资组合。该资产组合必须在所有的情况下都表现为非负 的收入。 例如，卖空两股 A和两股B的收入必须足够用来买入一股Co(

11、-2)10+( - 2)15+50=0所有情况下的零投资资产组合的收入表为:情况(金额/美价格/美元股数投资/美元1元)3A$10-2-$20-$17-$24-$26B15-2-30-37.5-33-27C50+1505657.5560+1.5+0.5+3该资产组合满足套利资产组合，因为它不仅是零投资组合，而且在所有的情况下都有正的 收益。b.如果A和B的价格由于卖空而下降，而C的价格由于买进的压力而上升，则(A+B)的收益率将会 上升而C则下降。现在我们来求岀一个价格变化以保证消除上面的套利机会。首先要注意的是随着C的价格变化，任何投资的资产组合的比例也会相应变化。其次，持有 C多头和A+B

12、空头的最坏的情况是情况2。持有等量的 A和B的卖空头寸，我们解岀情况2时的零收益情况。用X表示股票A和B的卖空头寸的数量，让其收益正好等于一股C的多头头寸。现在我们令情况2时的收益为零：12X + 16.5X+57.5=0 ; X=- 2.017 5这表明我们每持有一股C,卖空2.017 5股A和B(注意在前面的套利资产组合中X=- 2)。然后，根据A股和B股的持有数，我们要求C的每股价格为多少才能使得资产组合投资收益为零？10X + 15X+Pc=0这里Pc是C的新的价格，代入 X=-2.0175我们得岀：10(- 2.017 5)+15( - 2.017 5)+ Pc=0Pc =50.43

13、7 5这说明要消除套利机会所必须的最小的价格变动要大于43.75美分。检查我们的结果，让我们看看在价格变动为50美分时，即Pc=50.50美元时的收益表。价格/美元股数投资额/美元情况(金额/美1元)3A$10-2.02-$20.2-$17.17-$24.24-$26.26B15-2.02-30.3-37.875-33.33-27.27C50.50+150.505657.5560+.955-0.07+2.47注意零投资组合必须重新计算(X=-2.02)，而事实上收益不但不再全部为正，在情况2时还是负值。因此套利机会消失。这道练习题证明了C的价格上升将会消除我们在4a中发现的用等量的A和B卖空而

14、构建的套利机会。但是，它并未消除掉所有的套利机会。例如，在Pc=50.50美元时，一个套利组合可以通过Xa=- 1.95，Xb=- 2.07的比例分别持有 A和B的卖空头寸来构建。5. 在收益-关系式中，代入资产组合收益和值，我们得到两个方程，未知数为无风险利率和风险溢价要素RP。12=rf+1.2 RP9=rf+0.8 X RP解这个方程组，我们得到：23%和 RP=7.5%6. a等量地卖空10种负 的股票并将收入等量投资于10种正 的股票，将消除市场的风险暴露并构建一个零投资的资产组合。预期的美元收益为：1 000 000 X 0.02+( - 1 000 000)( - 0.02)=

15、40 000 美元该资产组合的为零，因为是等权重的，其中一半的权数为负，所有的 都等于1。因此，整体风险中系统性的成分为0。但是，分析家的利润的方差却不为零，因为这一资产组合没有充分分散化。总体方差就等于非系统风险：昭=1 ' 2(ep)=2(ei)/n=302/20=45 且 =6.71%b.改变股票数量造成的唯一的变化是资产组合的方差下降：'«(50)=30 2/50=18 和 =4.24%¥(100)=30 2/100=9 和 =3%7. a.:、2= |2 m+:'2(e)2本题中的方差为：“(e)A2510C20且if m=20。因此,a=

16、0.82X 202+252=881 b=1.02X 2O2+1O2=5OO c=1.22X 202+202=976b. 如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一类充分分散化的资产组合都将只有系统风险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。均值将等于各个股票(都相同)的值。c. 错，没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线(SML)上。因为它们都是公平定价的，因而没有套利的可能。8. a. 一个包括股票 A和B的等权重资产组合P的多头头寸，有p= c。但是，它的收益率高于资产组合C。因此，将资产组合P与C的空头头寸组合，将产生一个零投资、零且有正的收益率的套利组合。b.关于的争论引岀了这样的命题，即2的系数必须为0，才能排除套利机会。9. 如果我们可以自由地选择无数解释变量，任何类型的收益都可以“被解释”。如果一个资产定价理论有价值，它就必须使用有限数量的解释变量(系统性因素)来解释收益。10. APT的要素必须与不确定性的来源有关，这些不确定性的来源必须是许多投资者 关注的。研究人员应该调查与消费和投资机会的不确定性有关的因素。国内生产总值、通货膨胀率、利率被认为是决定风险溢价的因素的一部分。尤其是，工业产值(IP)是行业周期变化的一个很好的指标。因此，工业产值是一个在经济体系中与投资和消费机会的不确定性高度相关的一个待选因素。11. a. E(r