09静电场习题解答要点

1、1第九章静电场选择题1. 在坐标原点放一正+Q，它在P点（x=+1 , y=0）产生的电场为 E。现在, 另外有一个负电荷-2Q,试问应将它放在什么位置才能使P点的电场强度为零？C. x 轴上 0<x<1 。A . x 轴上 x>1。B. x 轴上 x<0。D . y 轴上 y>0。E. y 轴上 y<0。解：根据电场叠加原理，应选（E） 。2. 下列说法中哪一个是正确的？A. 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受的电场力的方向。B. 在以点电荷为中心的球面上，该电荷产生的场强处处相同。C. 场强方向可由E二匚定出，其中q为试验电荷的电量，q可正可

2、负，Fq为试验电荷所受的电场力。D. 以上说法都不正确。（）解：根据电场强度的定义应选 （C）。3. 如图，电量为 Q的点电荷被曲面S所包围，从无穷远处引另一电量为的点电荷至曲面外一点，则：（）A. 曲面S的E通量不变，曲面上各点场强不变E. 曲面S的E通量变化，曲面上各点场强不变C. 曲面S的E通量变化，曲面上各点场强变化D. 曲面S的E通量不变，曲面上各点场强变化选择题3图解：根据高斯定理，应选 （D）。4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb （ Ra<Rb）,所带电量分别为Qa和Qb,设某点与球心相距 r，当Ra <r< R b时，该点的电场强度的大小为：1

3、Qa +Qb4 n 0r1 21Qa -Qb4 n ；or 2#D.Qa 2 r5.图示为一具有球对称性分布的静电场的E-r关系曲线，请指出该静电场#是由下列哪种带电体产生的。（）5A .半径为R的均匀带电球面B.半径为R的均匀带电球体C. 半径为R、电荷体密度：? =Ar （A为常数）的非均匀带电球体D. 半径为R、电荷体密度=A/r （A为常数）的非均匀带电球体解：根据计算可知，该电场为半径为R、电荷体密度P=A/r（A为常数）的非均匀带电球体所产生，故选（D ）。E /1.-C、E=1/r20-q/ +qqo1 A1RrM0NDP选择题5图选择题6图6.如图示，直线MN长为21,弧0CD

4、是以N点为中心，1为半径圆弧，N点有正电荷+q, M点有负电荷 q 今将一试验电荷+q0从0点出发沿路径 OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功（）（A） WV 0且为有限常量；（B） W> 0且为有限常量；（C） W=：（ D） W = 0解：0点的电势为零，0点与无穷远处的电势差为零，所以将试验电荷 +qo 从0点出发沿任意路径移到无穷远处， 电场力作功均为零，故本题应选（D）。7. 在匀强电场中，将一负电荷从A移到B,如图所示，则：（）A. 电场力作正功，负电荷的电势能减少；B. 电场力作正功，负电荷的电势能增加；C. 电场力作负功，负电荷的电势能减少；D. 电场

5、力作负功，负电荷的电势能增加解：根据图示，A点的电势高于 B点的电势，所以负电荷在 B点的电势能高于A点的电势能，电场力作负功。应选（B EA选择题7图8. 在点电荷q的电场中，选取以 q为中心、R为半径的球面上一点 P处作 电势零点，则与点电荷 q距离为r的P'点的电势为 （）a. q b亠注丄）c. qd丄（丄）4n r4n ；0rR4n ;0（r - R）4n q R r解：根据电势的定义可计算出P点的电势应为 一（丄-丄），故选（B ）。4n名0 r R填空题1. 把两个相同的小球用同样长度的细绳I悬挂于同一点，小球的质量都为2d很小，则两小球m,带等值同号的电荷 q,如图所示

6、，设平衡时两线间夹角 间的距离x=。解：设细绳的拉力为 T,根据受力平衡可得：T cos v - mg,T sin v12 Xq 2 , tanr :-，由此可得x=(-2n;°mg1)30 I2q填空题1图-a填空题3图填空题2图#2. 位于x轴上的两个点电荷，分别带电量2q和q,坐标分别为a和-a。第三个点电荷q0放在x=处，它所受合力为零。解：第三个点电荷所在处场强为零，设该点的坐标为x,根据题意，-a <x<0,q4 n 0 (x a)22q2 ，4 ng(a x)由此解得:V2 1fxa = 一（3 -2、2）aJ 2 +1q d零，故e = &冗R _

7、号q_3，场强方向为从4冗心R8冗&°R0点指向缺口中心点。其对称轴与场强方向一致,S填空题5图+q填空题4图E通量为如图所示，则通过该半球面的解：n R2 E5. 如图，点电荷q和-q被包围在高斯面 S内,则通过该高斯面的E通量hsE dS =，式中 E 为的场强。半径为R的半球面置于场强为E均匀电场中,#11解：0;高斯面S上面积元dS处。6点电荷qi, q2, qa和q4在真空中的分布如图所示，图中S为高斯面，则通过该高斯的E通量：E dS =。式中的E是高斯面上任一点-s的场强，它等于点电荷 单独存在时在该点产生场强的矢量和。解：（q 2 +q 4）/ £

8、0 , q 1 , q 2 ,q 3 ,q 47. 图中电场强度分量为 Ex= b x1/2, Ey = Ez = 0,正立方体的边长为 a,则通过这正立方体的 E通量尬=，正方体内的总电荷 Q =_55解：（、2 -1）ba2 ; （、2 -1£°ba28. 三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度是+ d，则A, B, C,D四个区域的电场强度分别为：Ea =, Eb =, Ec =,(T +d +BC1(TAD填空题8图i1一:E0 /3E0 /3A B填空题9图Ed =。(设方向向右为正)解：每个无限大均匀带电平面产生的场强为二/(2& °)

9、，根据场强的叠加原理可得：Ea=七二/ (2 £°);Eb =-(2 &°);Ec=c/(2& °);Ed =3；/(2 &°)9. A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为Eo,两平面外侧电场强度大小都为Eo /3,方向如图。则A、B两平面上电荷面密度分别为 c a =, cb =。解：根据上题可得：卫 A二E。，口A =1Eo，解得：2«o2勺 3-'A = -2 e o Eo / 3 ; -'B = 4 & o Eo / 310. 真空中有一半径

10、为 R的半圆细环，均匀带电 Q,如图所示，设无穷远处为电势零点，则圆心°点的处的电势 Vo =，若将一带电量为 q的点电荷从无穷远处移到圆心 °点，则电场力做功 W=。解：Vo = Q / (4 n e ° R ); W= -q Q / (4 n e ° R )填空题11图Q/IR °- _填空题io图11. 图示BCD是以°点为圆心，以R为半径的半圆弧，在 A点有一电量为+ q的点电荷，°点有一电量为-q的点电荷，线段 BA = R,现将一单位正电荷从6 n ；oRB点沿半径圆弧轨道 BCD移到D点，则电场力所作的功为 解

11、：/qq解：VbJ4 n R 4 n；oRqqqVd4 n ；o (3R)4 n ；o R6 n ； o RVbd-Vb -Vd q6 n ；o RWBD12. 质量为m电量为q的小球从电势 Va的A点运动到电势为 Vb的B点, 如果小球在B点的速率为Vb,则小球在A点的速率Va=。2 1解：由能量守恒可求得 Va= mVB _2q(VA _Vb) cos v ad v 4 ：二0 am三计算题1.两个点电荷分别为 qi= 2 10-C, q2= -2 10二C，相距0.3m。求距q!为0.4m、距q? 为 0.5m 处 P 点的电场强度。(一1=9.0 109(N m2 C"2)4

12、 'n0解: P点与两个点电荷构成直角三角形，分别求岀两个点电荷在P点的场强，然后分解到水平和垂直方向，最后求出 场强大小 0.699 104 NC，场强方向与 x轴正向夹角 51.8。2.如图所示，在x y平面内有与y轴平行、位于 两条无限长平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为 的电场强度。解：过z轴上任一点(0，0， z)分别以两条带 电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示 按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强 为E + _= ± / ( 2 n e 0 r )式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外朝里，如 图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为E =2E

13、+co = - .a/2=_n e0r r n e0(a +4z )2 a 1方向如图所示或用矢量表示 E飞i:<0 (a 4z )3. 一段半径为a的细圆弧，对圆心所张的角为 q，试用a、q、0 0表示出圆心 o处的电场强度。解：取坐标xoy如图，由对称性可知：Ex 二 dEx =0dq 二 'dl 二 dEyT cos2 cosx = a / 2 和 x = - a / 2 处的X和-，求 z轴上任一点计算题2图0 0，其上均匀分布有正电荷4瓏0a4瓏0aE =EyCOS F t1 =q2 二；oaosQq2- ；oaSosin24.线电荷密度为的无限长均匀带电线，弯成如图形

14、状，若图弧半径为 试求图中O点场强。解：在o点建立坐标系。半无限长直导线ARAs在o点产生的场强。半无限长直导线i4 二；0RAB在i4- ；oR所以合场强R，oOo4“（R2 y2）3/2 i二齐齐jB：在o点产生的场强:刁jo点产生的场强为：4二；0Rj4“（R2 .严 jdyOOOO计算题4图E 2 E 彳.兀R（ i j）4. 一电荷面密度为-的"无限大”平面，在距离平面a米远处的一点的场强大小的一半是由平面上一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小。解：电荷面密度为-的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为aE -2 ；o以图中0点为圆心，取rir+dr

15、的环形面积, 为dq =；2 ndr它在距离平面为a的一点处产生的场强其电量/ 、 i11a二1 o1店i / rZE计算题5图oardr2 ；o（a2 r则半径为R的圆面积内的电荷在该点处产生的场强为rdrera J rdrc (1 a )2 ；o 0 (a2 r2 )3 22 ；oa2 R2根据题意，令 E - -： （4 ；0），得到：R =£3a5. 实验证明，地球表面上方电场不为零，晴天大气电场的平均强度为 120V/m，方向向下，这意味着地球表面上有多少过剩电荷？试以每平方厘米的 额外电子数来表示。解：设想地球为一均匀带电球面，总面积为S,则它所带总电量为q = ；o ：

16、 E dS 二；oES单位面积上所带电量为：；丁 = q = ；0ES额外电子数为：n =二=選 =6.64 105（个cm'）e e6. 图示一厚度为d的"无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 。试求板内外的电场强度分布，并画出电场强度随坐标x变化的图线，即Ex图线（设原点在带电平板的中央平面上， Ox轴垂直于平板）解：作圆柱高斯面 S）、S2,如图1,由高斯定理得1Px平板内区域（|x|<d/2）： 2E1P 2dS , E1 =心%平板外区域（|x|>d/2）:12 E2 丛S =丄 P 2d AS ,E2?drdiriTS2r111i11 Q屮JS1|111

17、1x r 1i1O11打x”x计算题7解图1计算题7解图2PdPd即 x>d/2 时 E2, x<-d/2 时 E2 :2%2®7. 一个电荷体密度为 （常量）的球体。（1）证明球内距球心 r处一点的p（2）若在球内挖去一个小球，如题图所示,证明小球空电场强度为Er3 ?0得证.E3詁矢量式E r3 ；o（2）填充法：设在空腔中填充电荷密度分别为 密度分别为：和的大球体和小球体。对腔内任一点P，大球 E!p二：3So:和_：的电荷球体，形成电荷由（1）的结果有r ； 小球 E 2P3 ；o13得证E 二 E仲E2P =-' ( r r')冷 a3心3统8.

18、 如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中， 将一电量为q的点电荷从A 点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R远大于电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意一点的电势：3V = p r /(4 n )式中的r为从电偶极子中心到场点的矢径。于是A、B两点的电势分别为:#15Va 二p/（4n pR2）Vb 二 p/（4n；°R2）q从A点移到B点电场力所做的功为（与路径无 关）:2计算题9图W =q（VA Vb） - -qp/（2npR ）9. 在盖革计数器中有一半径为R2的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条半径为R的导线

19、，如果在导线与圆筒之间加上U的电压，试分别求(1)导线表面处(2)圆筒表面处的电场强度的大小。解：设导线上的电荷密度为 X,与导线同轴作单位长度的、半径为 r( R1<r< R2)的高斯圆柱面，则按高斯定理有2 n r E = / e o得到E = / (2n e or)( R1< rv R?)方向沿半径指向圆筒，导线与圆筒之间的电势差：尸2U J E则则：导线表面处圆筒表面处Ur ln( R2 / R1)E1UR1 ln( R2 / R1)E2UR2 l n R2 / R1)11. 如题图所示，一个均匀分布的带正电球层，电荷密度为p球层内表面半径为R1,球层外表面半径为 R

20、2,求A点和B点的电势(其分别到球心的距离解：以r表示到球心的距离，则电荷的分布情况如下:q1 =0r < R1«q2 =4 nRr3 R；)&兰r <R23q；=4 说R2 -Rf)出按高斯定理，可得各区域的场强情况计算题11图E1 忙2 卜 取无穷远为电势零点,=04 n ；or 23 ；°rq3_P4 n ；or 23 prVP 二r epPq2d 1，可得2 (R； -R13)332(r-R1 )r : R1R1_ r :R2r_R2:RiR2! ：33-33Edr 0 dr2 (r3 - R；)dr2 (R； - R13)drrA'A启 3 orR3；or2 ；o(R；戌)°CR2P33吆 P33VbEdr2 (r Ri )dr2 (R2 - Ri )drrB or心2 3名orI22二罔(3R2_rB2R；b#或解：先求B点的电势。设 B点的半径为r ( & cr <R2 ) , B点处的电势等于以r为半径的球面内的电荷和该球面外的电荷产生,(r3-Ri3)r2+ l4二；or:4 :r 2 dr4二；or(