2021年中考代数综合第8讲：以“对称”为主导的综合问题

1、2021年中考代数综合第8讲：以“对称为主导的综合问题【案例赏析】1. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = mx2-2mx-2 ( m 0)与y轴交于点A,其对称轴 与x轴交于点B.(1) 求点A, B的坐标；(2) 设直线I与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 I的解析式；(3) 假设该抛物线在-2v XV- 1这一段位于直线I的上方，并且在2 v xv 3这一段位于2. 有一个二次函数满足以下条件: 函数图象与x轴的交点坐标分别为 A (1, 0), B (X2, y2)(点B在点A的右侧); 对称轴是x= 3; 该函数有最小值是-2.(1) 请根据以上信息求出二次函数表达式；

2、(2) 将该函数图象X> X2的局部图象向下翻折与原图象未翻折的局部组成图象“G ,平行于X轴的直线与图象“G相交于点C(X3,y3)、D(X4,y4)、E(X5,y5)( X3V X4VX5),结合画出的函数图象求 X3+X4+X5的取值范围.T:i1M L iH N w «H1> T -五 N N 丄11>|i1Ph:01 L 1H 4冒A 謂1:當r 1<!-1 F |i11. '：1|1nJi'3. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= ax2-4ax+3a.(1) 求抛物线的对称轴；(2) 当a > 0时，设抛物线与x轴交于

3、A, B两点(点A在点B左侧)，顶点为。假设厶 ABC为等边三角形，求 a的值；(3) 过T ( 0, t)(其中-K tw 2)且垂直y轴的直线I与抛物线交于 M , N两点.假设 对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1,结合函数图象，直接写出 a的取值 范围.1 1 1 y4321jAt111-5 斗-3 -2-1 O-1-2-3-412 3 4 54. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = ax2+bx+c(a>0)经过点A ( 0, - 3)和B (3, 0).(1) 求c的值及a、b满足的关系式；(2) 假设抛物线在A、B两点间从左到右上升，求 a的取值范围；(3)

4、 结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M (- 1 + m, n)、N ( 4- m, n)?假设能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，假设不能，请说明理由.【专题突破】5. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= mx2- 6mx+9m+1 (m0).(1) 求抛物线的顶点坐标；(2) 假设抛物线与x轴的两个交点分别为 A和B点(点A在点B的左侧)，且AB= 4,求 m的值.(3) 四个点 C ( 2, 2 )、D (2, 0)、E ( 5,- 2 )、F ( 5, 6),假设抛物线与线段 CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围.6. 抛物线y= x2 - 2mx+m2

5、- 4,抛物线的顶点为 P.(1) 求点P的纵坐标.(2) 设抛物线 x 轴交于 A、B 两点，A (xi, yi), B (x2, y2), x2> xi. 判断AB长是否为定值，并证明. 点 M (0,- 4),且MA > 5,求X2- xi+m的取值范围.5432111. 1 1 1 >-5 -4 -3 J-1_ 1 2 3 4 5 a-2-3A-5-7. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= x2- 4x+3与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧), 与y轴交于点C.(1) 求直线BC的表达式；(2) 垂直于y轴的直线I与抛物线交于点P (xi, yi), Q (x

6、2, y),与直线BC交于点N(x3 , y3 ),假设X1V X2V X3，结合函数的图象，求 X1 + X2+X3的取值范围.8. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= mx2+2mx-3 (m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,该抛物线的顶点 D的纵坐标是-4.(1) 求点A、B的坐标；(2) 设直线与直线 AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；(3) 平行于X轴的直线b与抛物线交于点 M (X1 , y1 )、N ( X2 , y2),与直线交于点P ( X3,y3).假设X1V X3V X2,结合函数图象，求 X1+X2+X3的取值范围.h1

7、ii'i5斗32Li1： j5 -4 312 34 5-2-4-5F-9. 二次函数 y= x2 _ ax+b在x= 0和x= 4时的函数值相等.(1) 求二次函数y= x2- ax+b的对称轴；(2) 过P (0，1 )作x轴的平行线与二次函数 y= x2- ax+b的图象交于不同的两点 M、 N. 当MN = 2时，求b的值； 当PM + PN = 4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.43T-Z1一J iJ|Liti11< 73-2-101j12345£-3一-4一10. 在平面直角坐标系xOy中，点A (- 3, 1), B (- 1, 1), C (m,

8、 n),其中n> 1,以 点A, B, C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1, D2, D3，如图所 示.(1 )假设m=- 1, n = 3,那么点D1, D2, D3的坐标分别是(2)是否存在点C,使得点A, B, D1, D2, D3在同一条抛物线上？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，说明理由.11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- X+bx+c经过点(2, 3),对称轴为直线x = 1.(1) 求抛物线的表达式；(2) 如果垂直于y轴的直线I与抛物线交于两点A( X1，y1)，B( X2，y2)，其中X1V0,X2 >0,与y轴交于点C,求BC -

9、 AC的值；(3) 将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点 P平移 后对应点为点 Q,如果OP= OQ，直接写出点 Q的坐标.12. 抛物线M : y= ax2 - 4ax+a- 1 (0 )与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D .(1) 抛物线M的对称轴是直线 ;(2) 当AB= 2时，求抛物线 M的函数表达式；(3) 在(2)的条件下，直线I: y= kx+b (kz 0)经过抛物线的顶点 D，直线y= n与抛 物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为 X1, x2,直线y= n与直线l的交点的横坐 标记为X3 ( X3> 0),假设

10、当-2 < nW - 1时，总有X1 - X3> X3 - X2 > 0,请结合函数的图象，直接写出k的取值范围. 珂卜1J-1 01 2$ 4*-1-2一【参考答案】1. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = mx2-2mx-2 ( m 0)与y轴交于点A,其对称轴(1) 求点A, B的坐标;(2) 设直线I与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线I的解析式;(3) 假设该抛物线在-2v XV- 1这一段位于直线I的上方，并且在 2v xv 3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.【分析】(1)令x= 0求出y的值，即可得到点 A的坐标，求出对称轴解析式，即可

11、得到点B的坐标; 求出点A关于对称轴的对称点(2, - 2),然后设直线I的解析式为y= kx+b(0),利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;(3 根据二次函数的对称性判断在2v xv 3这一段与在-1 v xv 0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线 I的交点的横坐标为-1，代入直线I求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式.【解答】解(1)当x = 0时，y=- 2,二 A ( 0,- 2),抛物线的对称轴为直线 x=- 亠2nt1,二 B (1, 0)；(2)易得A点关于对称轴直线x= 1的对称点A'( 2,- 2),那么直线I经过A'、B,

12、那么J厂：【U+b=O解得U=2所以，直线I的解析式为y=- 2x+2;(3) 抛物线的对称轴为直线 x= 1,抛物线在 2 v xv 3这一段与在-1 v xv 0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2v xv - 1这一段位于直线I的上方，在-1 v xv 0这一段位于直线I的下方，抛物线与直线I的交点的横坐标为-1,当 x=- 1 时，y = - 2X(- 1) +2 = 4,所以，抛物线过点(-1, 4),当 x=- 1 时，m+2m- 2= 4,解得m= 2,坐标特征，第(3)小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点(-1 , 4)是解题的关键.2. 有一个二次

13、函数满足以下条件： 函数图象与x轴的交点坐标分别为 A (1, 0), B (x2, y2)(点B在点A的右侧)； 对称轴是x= 3; 该函数有最小值是-2.(1) 请根据以上信息求出二次函数表达式；第9页(共26页)(2) 将该函数图象X> X2的局部图象向下翻折与原图象未翻折的局部组成图象“G ,平行于X轴的直线与图象“G相交于点C(X3，y3)、D( X4，y4)、E( X5，y5)( X3VX4VX5),结合画出的函数图象求 X3+X4+X5的取值范围.%【分析】(1)利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可；(2 )由条件可知直线与图象“ G要有3个交点.分类讨论：分别求得平行于

14、 X轴 的直线与图象“ G有2个交点、1个交点时X3+X4+X5的取值范围，易得直线与图象“ G 要有3个交点时X3+X4+X5的取值范围.【解答】解(1)由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：(3,- 2)设二次函数表达式为：y= a ( x- 3) 2 - 2.该图象过 A (1 , 0) 0 = a (1 - 3) 2-2，解得 a=.表达式为 y= - ( x- 3) 2- 2(2)如下图：由条件可知直线与图形“G要有三个交点1当直线与X轴重合时，有 2个交点，由二次函数的轴对称性可求X3+X4= 6 ,- X3+X4+X511 .当直线过y=_ ( x-3) 斗-3 -2 J O-1

15、【分析】(1)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴； 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 A, B的坐标，由(1)可得出顶点 C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出 a值； 分a > 0及a V 0两种情况考虑： 当a> 0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出 a的取值范围；当av 0时，利用二次- 2的图象顶点时，有 2个交点,2由翻折可以得到翻折后的函数图象为令(X- 3) 2+2 =- 2 时，解得y =- -1- (x - 3) 2+22x= 3+2:或 x= 3

16、- 2 -舍去)+2- X3+X4+X5V 9+2 ('.： !.综上所述 11 V x3+X4+X5V 9+2 二.【点评】 考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合数学思想的应用.3. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y= ax2-4ax+3a.(1) 求抛物线的对称轴；(2) 当a > 0时，设抛物线与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧)，顶点为。假设厶ABC为等边三角形，求 a的值；(3) 过T ( 0, t)(其中-K tw 2)且垂直y轴的直线I与

17、抛物线交于 M , N两点.假设对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1,结合函数图象，直接写出 a的取值范围.a的取值范函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出围.综上，此题得解.【解答】解(1)Ty= ax2- 4ax+3a= a (x- 2) 2- a,抛物线的对称轴为直线x= 2.2依照题意，画出图形，如图 1所示.a (x- 1) (x- 3)= 0,当 y= 0 时，ax2 - 4ax+3a= 0,即解得：xi= 1 , X2= 3 .由1可知，顶点C的坐标为2, - a./ a > 0,- av 0. ABC为等边三角形，点 C的坐标为2 ,-

18、；,- a=-卜-:,- a=.：:.3分两种情况考虑，如图 2所示:解得:当a> 0时,当av 0时,解得：aw-旦35 -4 -3 -1 0543211j13丄1 -3 -2 -1 O/45 x*1C13-4一ffil【点评】 此题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；(2)根据等边三角形的性质，找出关于a的一元一次方程；(3)分a>0及av 0两种情况，利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元一次不等式.4. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = ax2

19、+bx+c(a>0)经过点A ( 0, - 3)和B (3, 0).(1) 求c的值及a、b满足的关系式；(2) 假设抛物线在A、B两点间从左到右上升，求 a的取值范围；(3) 结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M (- 1 + m, n)、N (4 - m, n)?假设能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，假设不能，请说明理由.【分析】(1)直接将 AB两点代入解析式可求 C,以及ab之间的关系式.(2) 根据抛物线的性质可知，当 a>0时，抛物线对称轴右边的 y随x增大而增大，结合抛物线对称轴x=和AB两点位置列出不等式即可求解.，2a(3) 用反证法，先假设抛物线

20、能同时经过点M (- 1+m, n)、N (4- m, n)得出抛物线对称轴是x=，由抛物线对称性质可知，经过A点(0,- 3)也必经过(3, - 3)这样与B (3, 0 )在抛物线上矛盾，从而命题得到证明.【解答】 解(1)：抛物线y= ax2+bx+c (a> 0)经过点A ( 0,- 3)和B (3, 0).+3b+c- c=- 3, 3a+b - 1 = 0.(2)由 1 可得：y= ax2+ (1 - 3a) x- 3,对称轴为x=抛物线在 A、B两点间从左到右上升，当a > 0时，对称轴在 A点左侧，如图:y i1V/ B x1i1A即：丄丄Lw 0,解得: 0va&

21、lt;A、B两点间从左到右上升，3当0v aw-L时，抛物线在 A、B两点间从左到右上升，(3) 抛物线不能同时经过点 M (- 1 + m, n)、N (4- m,n).理由如下:假设抛物线同时经过点M (- 1 + m, n)、N (4 m, n).那么对称轴为由抛物线经过A点可知抛物线经过(3, 3),与抛物线进过 B (3, 0)相矛盾,故：抛物线不能同时经过点 M (- 1 + m, n)、N (4 m, n)【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键.5. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= mx2- 6mx+9m+1 (m0).(1)

22、 求抛物线的顶点坐标；(2) 假设抛物线与x轴的两个交点分别为 A和B点(点A在点B的左侧)，且AB= 4,求m的值.(3)四个点 C ( 2, 2 )、D (2, 0)、E ( 5,- 2 )、F ( 5, 6),假设抛物线与线段 CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围.【分析】(1)利用配方法得 y m (x - 3) 2+1，由此即可得出顶点坐标；(2) 根据抛物线的对称轴以及 AB= 4，即可得到A、B两点的坐标，代入抛物线即可求 出m的值；(3) 结合图象即可得出当抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点时 m的取值范围.【解答】 解 (1)Ty= mx2 6mx+9m+

23、1= m ( x 3) 2+1,抛物线的顶点坐标为(3, 1);(2) 对称轴为直线 x= 3,且AB= 4, A (1, 0), B ( 5, 0),将点A的坐标代入抛物线，可得：m=14；(3)如图:Ct当m> 0时满足m(2-3) 2+1>2，解得:m>综上,m(2-3)2+l<0°0,解得:jnC5'3 )mv 1 或 m>厶.4mv时满足mv 1 ；【点评】此题考查了二次函数的图象及其性质，熟练利用数形结合的解题方法是解决本题的关键，难度中等.6. 抛物线y= x2 2mx+m2 4,抛物线的顶点为 P.(1) 求点P的纵坐标.(2)

24、设抛物线x轴交于A、B两点，A (冷,y1), B (X2, y2), X2> X1.判断AB长是否为定值，并证明. 点 M (0, 4),且MA > 5,求X2- x1+m的取值范围.5-4i2-1-1 1 1 1 11 亠巧-4 -3 -2 -1012345-2-3-5【分析】(1)把一般式配成顶点式即可得到P点坐标；(2)令y= 0，可求得 A、B两点的坐标，贝U AB长可求;由MA = 5时，求得 A点坐标，结合图象可得取值范围.【解答】(1)Ty=( x m) 2- 4, P ( m, 4),即顶点P的纵坐标为-4;(2)AB长为定值，54321°J-5 -4

25、-3 -2 40-54-5令 y= 0,贝U x2 2mx+m2 4= 0贝9( x m) 2= 4,解得 x= m+2 或 x= m 2,AB 长为：m+2 ( m 2) = 4,当MA = 5时，可求A点坐标为(-3, 0)或(3, 0),/ AB= 4,- MA = 5 时，m= 1 或 m= 1,t X2 xi + m= 4+m,结合图象可知，X2 xi+m的取值范围为 X2 -xi+m< 3或X2-xi+m > 9.【点评】此题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答此题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.7. 在平面直角坐标系 x

26、Oy中，抛物线y= x2 - 4x+3与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧), 与y轴交于点C.(1) 求直线BC的表达式；(2) 垂直于y轴的直线I与抛物线交于点P (xi, yl) , Q (X2 , y2),与直线BC交于点N(x3 , y3 ),假设X1V X2V X3，结合函数的图象，求 X1 + X2+X3的取值范围.【分析】(1)利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；(2)由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答.【解答】 解(1)由 y = X2-4X+3 得到：y=(x-3) (x- 1), C (0,3).所以 A (1, 0

27、), B (3, 0),设直线BC的表达式为：y= kx+b (kz 0),那么严3,315+13=0解得严-1,|.b=3所以直线 BC的表达式为 y =- x+3 ;(2)由 y= x2- 4x+3 得到：y=( x- 2) 2 - 1,所以抛物线y= x2-4x+3的对称轴是直线x = 2,顶点坐标是(2, - 1).t y1 = y2, X1+X2= 4.令 y=- 1, y=- x+3, x= 4.T X1< X2 V X3,- 3< X3< 4,即卩 7< X1+X2+X3V 8 .【点评】此题考查了抛物线与 x轴的交点解答2)题时，利用了 “数形结合的数学

28、思想，降低了解题的难度.8. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y= mx2+2mx-3 (m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,该抛物线的顶点 D的纵坐标是-4.(1) 求点A、B的坐标；(2) 设直线与直线 AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；(3) 平行于x轴的直线b与抛物线交于点 M (xi , yi )、N ( x2 , y2),与直线交于点P ( X3,y3).假设X1V X3V x2,结合函数图象，求 X1+X2+X3的取值范围.iIii'j5斗32T11; J5 -4 312 34 5-4-【分析】(1)根据题意求得 m= 1,

29、从而求得解析式，令 y= 0,解方程即可求得 A、B的坐标；(2) 根据轴对称求得对称点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；衍1耳2(3) 由=-1，得出X1+X2=- 2,由题意可知-2v X3V 1,即可求得-4 V X1+X2+X3 v- 1 .【解答】 解(1)：抛物线y= mX+2mx-3 ( m>0)的顶点D的纵坐标是-4,第18页(共26页)- 2 =-4，解得 m= 1,4m y= x2+2x-3,令 y = 0,贝y X=- 3 或 1, A (- 3, 0) B (1, 0);(2) V y= x2+2x- 3=( x+1 ) 2- 4,抛物线的对称轴为x=- 1 ,

30、点C (0, - 3)关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E (- 2,- 3),点A (- 3, 0)关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B (1, 0),设直线的表达式为 y= kx+b,点 E (- 2,- 3)和点 B (1, 0)在直线上.严出二-d,解得严二1 ,lk+b=0b=-l直线的表达式为 y= x - 1 ；(3) 由对称性可知一 =-1 ,|2| X1+X2=- 2,V X1< X3 V X2, - 2< X3< 1,【点评】此题考查了抛物线和 4< X1+X2+X3<- 1 .X轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求

31、一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.9. 二次函数 y= x2 _ ax+b在x= 0和x= 4时的函数值相等.1求二次函数y= x2- ax+b的对称轴;过P(0，1)作x轴的平行线与二次函数 y= x2- ax+b的图象交于不同的两点当MN = 2时，求b的值;PM + PN = 4 时,请结合函数图象，直接写出b的取值范围.-心-2 -1 O1-2-3x=2-4【分析】(1)利用x= 0和x= 4时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴(2)不妨设点M在点N的左侧.由MN = 2，根据对称性可知点 M (1 , 1),点N ( 3,1);由图象直接可得.【解答】 解 (1

32、)：二次函数y= x2- ax+b在x= 0和x= 4时的函数值相等.对称轴为直线 x=丄=2;(2)不妨设点 M在点N的左侧.对称轴为直线 x= 2, MN = 2,点M的坐标为1 , 1,点N的坐标为3, 1,-x=- = 2, 1 = 1 - a+b,2 a = 4, b= 4; 1 w bv 5./ a = 4, y= x2- 4x+b,过P 0, 1 作x轴的平行线与二次函数y= x2- 4x+b的图象交于不同的两点M、N .第20页共26页.1 = x2 - 4x+b有两个不同的根，16 - 4b+4 >0,.b v 5,T Xi+X2= 4,.1 w bv 5.【点评】考查

33、知识点：二次函数图象的对称性对称轴两侧的点到对称轴的距离相等是解题的关键点.10. 在平面直角坐标系xOy中，点A (- 3, 1), B (- 1, 1), C (m , n),其中n> 1 ,以 点A, B , C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1 , D2 , D3 ,如图所 示.(1) 假设 m=- 1, n= 3,那么点 D1 , D2, D3 的坐标分别是(-3 , 3), (1, 3),(-3 , - 1)；(2) 是否存在点 C ,使得点 A , B , D1 , D2 , D3在同一条抛物线上？假设存在，求出点 C 的坐标；假设不存在，说明理由.巧

34、1; * ABDa0 ；【分析】(1)分别以AC、BC、AB为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点D1 ,D2 , D3的坐标；(2 )假设满足条件的 C点存在，即A , B , D1 , D2 , D3在同一条抛物线上，那么线段 AB 的垂直平分线x=- 2为抛物线的对称轴，点 C的坐标为(-2 , n).利用平行四边形以 及平移的性质求出 D1 (- 4 , n), D2 (0 , n), D3 (- 2 , 2- n).易知D3为抛物线的顶 点设抛物线的表达式是 y= a (x+2) 2+2 - n.将x=- 1 , y= 1代入得出a= n - 1,那 么 y=( n - 1)

35、(x+2) 2+2 - n.再令 x= 0,得 y= 4 (n - 1) +2 - n = 3n - 2 = n ,解得 n = 1,与n> 1矛盾.即可说明不存在满足条件的C点.【解答】解(1)t A (- 3 , 1), B (- 1 , 1),AB= 1( 3)= 2, AB / x 轴. 以AC为对角线时，四边形 ABCD是平行四边形， CD / AB, CD = AB,将C (- 1, 3)向左平移2个单位长度可得 D,即卩Di (- 3, 3); 以BC为对角线时，四边形 ABDC是平行四边形， CD/ AB, CD= AB,将C (- 1, 3)向右平移2个单位长度可得 D

36、,即D2 (1, 3); 以AB为对角线时，四边形 ACBD是平行四边形，对角线 AB 的中点与 CD 的中点重合,/ AB 的中点为(-2, 1), C (- 1 , 3), D3(- 3 ，- 1 ).故答案为(- 3，3) ( 1，3) (- 3，- 1);( 2)不存在.理由如下：假设满足条件的 C 点存在，即 A，B，D1，D2，D3 在同一条抛物线上，那么线段AB 的垂直平分线 x=- 2 即为这条抛物线的对称轴，而D1，D2 在直线 y=n 上，那么 D1D2 的中点C也在抛物线对称轴上，故 m=- 2,即点C的坐标为(-2, n).由题意得： D1(- 4，n)，D2(0，n)

37、，D3(- 2，2- n).注意到 D3 在抛物线的对称轴上，故 D3 为抛物线的顶点.设抛物线的表达式是 y=a(x+2) 2+2- n.当 x=- 1 时， y= 1 ，代入得 a = n -1. 所以 y=( n- 1)(x+2) 2+2- n.令 x= 0,得 y= 4 (n - 1) +2 - n= 3n- 2= n,解得 n = 1,与 n> 1 矛盾.所以 不存在满足条件的 C 点.【点评】 此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，二次函数的性 质，二次函数图象上点的坐标特征等知识.利用数形结合与分类讨论是解题的关键.11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线

38、y=- X+bx+c经过点(2, 3),对称轴为直线x = 1.(1) 求抛物线的表达式;(2) 如果垂直于y轴的直线I与抛物线交于两点 A ( X1 , y1 ) , B ( X2 , y2),其中X1V 0 ,x2 >0,与y轴交于点C,求BC - AC的值;3将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点 P平移后对应点为点 Q,如果0P= OQ，直接写出点 Q的坐标.【分析】1将点2,3代入y=-x2+bx+c,可得-4+2b+c= 3,根据对称轴为直线x=1,得出丄_= 1，把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式；2 设直线I与对称轴交于点

39、 M，根据抛物线的对称性得出BM = AM .那么BC-AC =BM + MC - AC= AM + MC - AC= 2MC = 2;3 先利用配方法求出原抛物线的顶点为1 , 4,根据上下平移横坐标不变，纵坐标 相加减得出新抛物线的顶点为1, 0.再设点P的坐标为x, y,贝U y=- x2+2x+3 , 点Q的坐标为x, y-4,根据0P= OQ列出方程进而求解即可.【解答】解1：抛物线y=- x2+bx+c经过点2, 3,对称轴为直线x= 1, r-4+2b+c= 3b 彳，=1解得严2,I c=3抛物线的表达式为 y=- x2+2x+3 ；2如图，设直线I与对称轴交于点M，贝U BM = AM . BC - AC= BM + MC - AC = AM+MC - AC = 2MC = 2;3 V y=- x2+2x+3 =- x- 1 2+4,顶点为1, 4,将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，新抛物线的顶点为