2021年中考复习：中档系列3、反比例函数存在性问题探究

1、中档系列专题3、反比例函数几何背景下存在性问题考点1.与面积有关k例题1.(2021四川遂宁)如图，一次函数 y = x-3的图象与反比例函数y (k工0)的图象x交于点A与点B (a,- 4).(1)求反比例函数的表达式；(2)假设动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点 A重合)，连接OP且过点P乍y轴的平行线交直线ABF点C,连接OC假设厶PO的面积为3,求出点P45,-或1 , 4或2, 2.5【解析】解：(1)将B (a, - 4)代入一次函数y = x- 3中得：a=- 1 二 B (- 1,- 4)k将B (- 1，- 4)代入反比例函数y ( k工0)中得：k= 4 x反比例函数

2、的表达式为y = 4 ；(2)如图:J1/p0*f*4设点P的坐标为(m )( m> 0),那么C (mm- 3) m4 PC= | -( m- 3) |，点C到直线PC勺距离为m m1 4 PO(的面积=mx | 一 -( m- 3) | = 32 m解得：m= 5或-2或1或2点P不与点A重合，且A (4, 1) m 4又 m> 0 m= 5或1或24点P的坐标为(5,-)或(1, 4)或(2, 2).5例题2. 2021 河南中考模拟如下图，函数y= kx+b的图象与函数 y2m(xv0)的图象交于A (a- 2, 3)、B (- 3, a)两点.(1) 求函数yi、y的表达

3、式；(2) 过A乍AMLy轴，过B乍BNLx轴，试问在线段 AB±是否存在点P,使Sa心3Smbn?假设存在，请求出P点坐标；假设不存在，请说明理由.【详解】解：(1 )T A B两点在函数y2(x V 0)的图象上，x3 ( a-2)=- 3a = ma= 1, m=- 3, A (- 1, 3), B (- 3, 1),函数y1= kx+b的图象过A B点，k b 33k b 1，解得 k= 1, b= 43y 1 = x+4, y2=-；x(2)由(1 )知A (- 1, 3), B (- 3, 1),AM= BN= 1, P点在线段AB上设P点坐标为(x, x+4),其中-1

4、< xw- 3,那么P到 AM勺距离为hA= 3-( x+4 )=- x - 1, P到BN的距离为hp= 3+x, PBN=(x+3),1 BN?hB= 1 x 1X( 3+x)2 22 E，Spam= -AM?hA= - x 1X( - x- 1 )=- 12 2 PAM 3Spbn,1 35-(x+1)=(x+3)，解得 x =-，且-1<xw- 3，符合条件,2 22【点睛】此题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在(1)中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在(2)中用P点坐标分别表示出 PBNA PAM的面积是解题的关键.,k,过关小测如图，直线y =- x+

5、2与反比例函数y - (kz0)的图象交于A (a, 3), B (3, b)两点，过点A作ACLxx轴于点C,过点B乍BDL x轴于点D.(1)求a, b的值及反比例函数的解析式;(2)假设点P在直线y =-x+2上，且S*p= Sdp，请求出此时点P的坐标;3(1) y= - ;(2) P (0, 2)或(一3, 5);x考点2.最值计算例题1 如图，一次函数y=x+2的图象分别与x轴、y轴交于点AC与反比列函数y=的图象在第一象限内交于点P,过点P乍P吐x轴，垂足为B,23T且厶ABP勺面积为9(1) 点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点P的坐标为 ;(2) 点Q在反比例函数y=的图象上，

6、其横坐标为6,在x轴上确定一点M使得 PQ的周长最小，求出点M的坐标.【答案】 (-4, 0),( 0, 2),( 2, 3); (2)当厶PQ的周长最小时，点M的坐标为(5, 0)【解析】【分析】(1) 求直线与坐标轴的交点坐标时,令横纵坐标等于零即可求出 A,C的坐标,再利用P为直线与双曲线的交点和 ABP勺面积为9列出二元一次方程组求 出P点坐标即可,(2) 根据题意作出Q的对称点Q ,连接PQ交x轴于点M,求出解析式，即可求出点M的坐标.【详解】(1)当y = 0时，x+2 = 0,解得：x=- 4,当x = 0时，y= 2,点A的坐标为-4, 0,点C的坐标为0, 2,设点P的坐标为

7、a, b a> 0,，解得:舍去，1：山=2 '业=10坍=3 ' , &2 = 3点P的坐标为2, 3,故答案为：(-4, 0),( 0, 2),( 2, 3);2如图，作点C关于X轴的对称轴Q，连接PQ，与X轴交于点M连接QM此时 PQI的周长最小.点P2, 3在反比例函数y =图象上，3T k= 2X 3= 6,即反比例函数解析式为 y =,点Q勺坐标为6, 1,点Q的坐标为6,- 1,设直线PQ的解析式为y= mx+n0, 将点 P 2, 3, Q 6, 1代入 y= mx+n,得： 鳶打Y解得：；=?,- n = 1. rt = 5直线PQ的解析式为：y

8、 =- x+5, 当y = 0时，-x+5 = 0，解得：x = 5, 点M勺坐标为5, 0,二当厶PQI的周长最小时，点 M勺坐标为5, 0HT * VOB _u： k A0k过关小测.如图，一次函数y= x+ 6的图像与反比例函数y =-k>0的图像交于A E两点，过A点作x轴的垂线，垂足为 M AO的面积为2.5.x(1) 求反比例函数的表达式；(2) 在y轴上有一点P,当PA PB的值最小时，求点P的坐标.513【答案】(1)反比例函数的表达式为y =;(2) P(0 ,).x3【解析】【分析】(1) 根据反比例系数和三角形面积关系，求出k，即可；(2)作点A关于y轴的对称点C,

9、连接BC交y轴于P点由两个函数解析式组成方程组，求出交点坐标，再用待定系数法求直线BC勺解析式.,再求出P的坐标.【详解】1解：设A (m,n),那么 一 mn S AOM2.1 S aom= 2.5，一|k| = 2.5.25 k>0,. k= 5,二反比例函数的表达式为 y = 如图，作点A关于y轴的对称点C,连接BC交y轴于P点. A B是两个函数图象的交点,5y -xy x 6解Xi 5或驚二 A(1, 5) , B(5 , 1)，二 C(- 1, 5). 设 yBc= kx + b, 代入B, C两点坐标得5 -k b1 5k b解得2313T y b=- 2X+ 13，二 P

10、(0,3 3考点3.特殊角(90/45 ° )例题1.如图，矩形 OAB中，OA=3 AB=4,双曲线y=, (k>0)与矩形两边AB BC分别交于D E,且BD=2AD(1 )求k的值和点E的坐标；(2) 点P是线段OCh的一个动点，是否存在点 P,使/ APE=90 ?假设存在，求出此时点 P的坐标，假设不存在，请说明理由.(1) k="4," E (4, 1);( 2)存在要求的点 P,坐标为(1, 0)或(3, 0).A4.在平面直角坐标系xOy中，直线I与直线y= -2x关于y轴对称，直线l与反比例函数的图象的一个交点为A(2, m).(1) 试确

11、定反比例函数的表达式；(2) 假设过点A的直线与x轴交于点B,且/ ABO=45，直接写出点 B的坐标.【答案】(1);( 2) (6 , 0)或(-2 , 0).【解析】试题分析：(1)先根据关于y轴对称的点的特点求出直线l的解析式，再根据点 M在直线l上求出m勺值，进而求出点 M勺坐标，把点M勺坐标代入反比例 函数的解析式即可求出k的值，进而得出其解析式.(2)分点B在点C右侧和左侧两种情况讨论即可.试题解析：(1)由题意，直线l与直线y=-2x关于y轴对称，直线l的解析式为y=2x.点 A (2,在直线 I 上，二 m=2X 2=4.点A的坐标为(2, 4).A又点A (2 , 4)在反

12、比例函数，的图象上， ，解得k=8.反比例函数的解析式为，(2)如图，当点B在点O右侧时，OB=2+4=6二B( 6, 0);当点B在点0左侧时，OB=4-2=2二B(-2 , 0).过关小测：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = x+b的图象经过点A (0, 1)，与反比例函数y= (x>0)的图象交于B( m 2)(1 )求k和 b的值；k(2)在双曲线y= (x>0)上是否存在点C,使得 AB(为等腰直角三角形？假设存在，求出点C坐标；假设不存在，请说明理由.x(1) k= 2, b= 1;( 2) C (2, 1)考点4.直角二角形k例题1如图，正比例函数 y 2x的图

13、象与反比例函数 y 的图象交于a、B两点，过点A乍AC垂直x轴于点C,连结BC假设厶ABC的面积为2.x(1 )求k的值；(2) x轴上是否存在一点。，使厶AB为直角三角形？假设存在，求出点D勺坐标；假设不存在，请说明理由.m过关小测如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b (k工0)的图象与反比例函数 y= (0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐(1) 求该反比例函数和一次函数的解析式；(2) 求点B的坐标；(3) 在x轴上求点己，使厶AC为直角三角形(直接写出点 E的坐标)6【答案】(1) y= , y=2x+4;( 2) B (-3 , -2 );( 3) Ei (1

14、, 0), E2 (13, 0)考点5、等腰三角形例题1.如下图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b(k丰0)与反比例函数y=m(mz0)的图象交于第二、四象限 A、B两点，过点A作ADLx轴于D,x4AD=4, sin / AOD=，且点 B的坐标为(n,-2).5(1)求一次函数与反比例函数的解析式;过关小测、一次函数y=kx+b的图象与反比例函数(2) E是y轴上一点，且 AO是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标.25或(0,)时， AO是等腰三角形.8y m的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0)，假设O!=AB且oa=5 .x2(1 )求反比例函数与一次函数的解析式

15、；(2)假设点P为x轴上一点，且 ABF是等腰三角形，求点P的坐标.【答案】见解析【解析】解：1如图，过点A作ADLx轴于点D, B(5,0) , OE=AE,且压oa=亠，21 155 AD= ,即AD=3,2 2在Rt ABD，由勾股定理得：BD= < AB2 AD2 4, A点坐标为(9,3 ), 反比例函数y m的图象过点A,x二 m=27,将9,3 , 5,0 代入 y=kx+b得:9k b5k b0，解得:34即一次函数解析式为：y -x 15，反比例函数解析式为：y 24 4x2由题意知,AB=5, 当 AB=BP寸，BF=5,即P点坐标为0,0 或10,0， 当ABAP寸

16、，由AD=3知，BP=4,即点P与点E关于点D寸称，即P点坐标为13,0， 当AF=BP时，即P在线段AB的垂直平分线上，设Pm o，那么aP=9-m 2+9, bP=5-m 2,2(9m +9 =(5m解得:65n=,8即P点坐标为65 , 0,8综上所述，满足题意的P点坐标为：0,0 , 10,0 , 13,0 考点6、相似三角形例题1.如图，一次函数y= ax - 1的图象与反比例函数一的图象交于A, B两点，与x轴交于点C,与y轴交于点D,02 J10，x1tan / AOC=k(2) 观察图象，请直接写出不等式ax - 1> 的解集；x(3) 在丫轴上存在一点P,使得 PDCf

17、AOD相似，请你求出 P点的坐标.k过关小测、如图，直线y, mx n(m 0)与双曲线y2(k 0)相交于A (-1 , 2)和B (2, b )两点，与y轴交于点C,与x轴交于点D.x(1) 求m, n的值；P的坐标，假设不存在，请说明理由.(2) 在y轴上是否存在一点戸，是厶BCPfA OC相似，假设存在求出点A*=-IX2 = 2X6,嶄得b一I»4 分7A(-h2).B(2.-D在十的團蒙 E<Am=-* *>im L(5 Sb)d)存柱这样的虑P,母由如下：如图，过点B作HF.z/jffi交y轴于点戸r AAOCDcoAPiCB*I/Cvluil昭丄心灯救于j

18、tt p 舀 ijCUABCPt V.CCOtDtDdtO),AOC=QD, gOCD是尊iff直角三角形. ZES是尊脛直痢三竟I形，：CFiP.P*2,APtC0.-3)»代这样的点P有新个*即 Pi (Oi1) P|(0« 31-(10 分)备用：直线y=x+b与x轴交于点C (4, 0),与y轴交于点B,并与双曲线；(x< 0)交于点 A (- 1, n)(1) 求直线与双曲线的解析式；(2) 连接OA求/ 0A的正弦值；(提示：过 O点作OMt直AC(3) 假设点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D, C, B构成的三角形与厶OAB目似？假设存在，求出点 D的

19、坐标；假设不存在，请说明理由.，在平面考点7、平行四边形例题1.如图.反比例函数门的图象与直线 =交于点，直线二与丄轴交于点严；：,涓，过点U作轴的垂线二，交反比例函数的图象于点内存在点厶 使得以A, E, J匸四点为顶点的四边形为平行四边形，那么点£的坐标是.过关小测.如图，直线y=mx与双曲线y=7相交于A、E两点，A点的坐标为(1, 2), ACLx轴于C,连结BC.(1) 求反比例函数的表达式；&(2) 根据图象直接写出当 mx>*时，x的取值范围；(3) 在平面内是否存在一点 D,使四边形ABD(为平行四边形？假设存在，请求出点D坐标；假设不存在，请说明理由.

20、(1) 、y= ; (2)、 1 vxv0或x> 1; (3)、( 1 , - 4)x考点&特殊四边形例题1.如图，在直角坐标系D,且OA= 0D过D点作DCL x轴交直线yxOy中, 一直线y=彳x+b经过点A (- 3, 0 )与y轴正半轴交于B点在x轴正半轴上有一点3=4 x+b于 C点，反比例函数3ky= (x> 0)经过点 C.x(1 )求这条直线和反比例函数的解析式;P的点坐标；如果不存在，说明理由./ 、424f(1) y= - x+4= 8, y ; ( 2) P (6, 4).3 x4(1 )T 直线 y = x+b 经过 A (- 3, 0),3.- 4

21、+b= 0, b= 4,4直线的解析式为y = x+4,3/ OA= OD= 3, D( 3, 0),4把 x = 3代入 y= x+4= 8,3 C (3, 8),k 反比例函数y= 经过点C,x k = 3X 8= 24,24反比例函数解析式为 y=；x(2) 当四边形BCP是菱形时，C(3, 8), D(3, 0), CDL x轴,点P和点B关于CD寸称，点P的坐标为(6, 4), 4X 6= 24 = k,点P在反比例函数图象上，反比例函数图象上存在点 P,使四边形BCP为菱形，此时点P (6, 4)例题2.：如图，直线 y 1 x b与x轴负半轴交于点 A，与y轴正半轴交于点B，线段

22、0A的长是方程x2 7x 8 0的一个根，请解答以下问题: 21求点B的坐标；k2双曲线y k 0,x 0与直线AB交于点C ,且AC 5/5，求k的值；x3 在2 的条件下，点E在线段AB上，AE 5.5，直线ly轴，垂足为P 0,7 ，点M在直线I上，在直线 AB上的坐标平面内是否存在点N，使以点C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由。10.( 1) B 0,4 ； ( 2) 10；( 3)1,11 或 7,3(2)在 RtVAOB 中，OA 8, OB 4 ,二 AB 4 5.如图，过点C作CH x轴于点H，那么CH POB ,二 VAOB

23、sVAHCOB AB OACH AC OH 即44 “ 5_8_CH 5.5 AH解得 CH 5, AH 10, OH 10 8 2, C 2,5k双曲线(y k 0,x0 )经过点C,x k 2 5 10 (3) 存在，如下图,当CE为以点C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过点E作EG x轴于点G，作EM AC交直线l于点MEG POB , VAGEsVAOBEG AG AE V51OB AO AB 4>/5411 EG OB 1 , AG AO 24 4 OG 8 2 6, E 6,1 ./ EM AC ,设直线EM的函数表达式为 y 2x c ,把E 6,1代入，得12 c 1,解得c 11,直线EM的函数表达式为y 2x 11当 y 7 时，y 2x 11 , x 9,图3/ C 2,5点N的坐标为1,11 ;(点的平移)当C