Matlab实现多元的回归实例

1、Matlab 实现多元回归实例(一)一般多元回归一般在生产实践和科学研究中，人们得到了参数x Xi, ,Xn和因变量y的 数据，需要求出关系式y f X，这时就可以用到回归分析的方法。 如果只考虑 f是线性函数的情形，当自变量只有一个时，即， X Xi, ,Xn中n 1时，称 为一元线性回归，当自变量有多个时，即， X Xi, ,Xn中n 2时，称为多元 线性回归。进行线性回归时，有4个基本假定： 因变量与自变量之间存在线性关系； 残差是独立的； 残差满足方差奇性； 残差满足正态分布。在Matlab软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress，调用格式如下：此时，默认alpha =

2、0.05.m 1的矩阵，其中第一列是全1向1列向量对应回归方程的常数项)， 回归方程具有如下形式：mx mb, bint, r, rint, stats = regress(y,X,alpha)或者b, bint, r, rint, stats = regress(y,X)这里，y是一个n 1的列向量，X是一个n 量(这一点对于回归来说很重要，这一个全 一般情况下，需要人工造一个全1列向量y 01X1其中，是残差。在返回项b,bint,r,rint,stats中, b o im是回归方程的系数； bint是一个m 2矩阵，它的第i行表示i的(1-alpha)置信区间； r是n 1的残差列向量；

3、 rint是n 2矩阵，它的第i行表示第i个残差的(1-alpha)置信区间；注释：残差与残差区间杠杆图，最好在0点线附近比较均匀的分布，而不呈现一定的规律性，如果是这样，就说明回归分析做得比较理想。 一般的，stast返回4个值：R2值、F_检验值、阈值f，与显著性概率相关 的p值(如果这个p值不存在，贝U，只输出前3项)。注释：(1) 一般说来，R2值越大越好。(2) 人们一般用以下统计量对回归方程做显著性检验： F_检验、t_检验、以及 相关系数检验法。Matlab软件包输出FJ检验值和阈值f。一般说来，F_检验值 越大越好，特别的，应该有F_检验值f。(3) 与显著性概率相关的p值应该

4、满足p alpha。如果p alpha，则说明回归 方程中有多余的自变量，可以将这些多余的自变量从回归方程中剔除 (见下面逐 步回归的内容)。这几个技术指标说明拟合程度的好坏。这几个指标都好，就说明回归方程是有意义的。例 1 (Hamilton ， 1987 )数据如下:序号YX1X2112.372.239.66212.662.578.94312.003.874.40411.933.106.64511.063.394.91613.032.838.52713.133.028.04811.442.149.05912.863.047.711010.843.265.111111.203.395.051

5、211.562.358.511310.832.766.591412.633.904.901512.463.166.96第一步分析数据在Matlab软件包中分析是否具有线性关系，并作图观察，M 文件opt_ha nmilton_1987 x1=2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16;x2=9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96; y=12.37,12.66,12.00,11.93

6、,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63, 12.46;corrcoef(x1,y);corrcoef(x2,y);plot3(x1,x2,y, '*');得到结果：ans =1.00000.00250.00251.0000ans =1.00000.43410.43411.0000即，corrcoef(x1,y) = 0.0025 , corrcoef(x2,y) = 0.4341，说明没有非常明显的单变量线性关系。图形如下：也看不出有线性关系，但是，旋转图形，可以看出所有点几乎在一个平面上这说明，

7、y, x1,x2在一个平面上，满足线性关系：ai xi a2 X2 by a或者，换成一个常见的形式y a。ai Xi a? x?其中， 是残差。于是，在Matlab软件包中做线性多元回归，写一个 M 文件opt_regress_hamilt onx1=2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16： x2=9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96：y=12.37,12.66,12.00

8、,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63, 12.46'e=on es(15,1);x=e,x1,x2;b,b in t,r,ri nt,stats=regress(y,x,0.05)rcoplot(r,ri nt)其中，rcoplot ( Residual case order plot )表示画出残差与残差区间的杠杆图。执行后得到：b =-4.51543.0970-4.38223.12381.03991.0319 bint =-4.64863.07031.0238 r =0.0113-0.0

9、087-0.0102-0.00690.0101-0.0106-0.0037-0.01050.0049-0.01360.00570.0163-0.00230.01100.0071rint-0.00870.0314-0.03030.0128-0.03010.0098-0.02990.0162-0.01060.0308-0.03130.0102-0.02520.0178-0.02990.0089-0.01740.0272-0.03310.0058-0.01610.0275-0.00270.0354-0.02360.0190-0.00790.0299-0.01560.0298stats =1.0e+0

10、040.00013.922200.0000即，y 4.5153.097x11.0319x2。置信度95%,且R2 1.0, F _检验值39222 0 ,与显著性概率 0.05相关的p 0.0000 0.05，这说明，回归方程中的每个自变量的选取，都是有意义的残差杠杆图:3n0% !l从杠杆图看出，所有的残差都在0点附近均匀分布，区间几乎都位于0.03,0.03之间，即，没有发现高杠杆点，也就是说，数据中没有强影响点、异常观测点。综合起来看，以上回归结果(回归函数、拟合曲线或曲面)近乎完美。(二)逐步回归假设已有数据X和丫，在Matlab软件包中，使用stepwise命令进行逐步 回归，得到回

11、归方程丫 aiXi 32X2anXn ，其中 是随机误差。stepwise命令的使用格式如下：stepwise(X,Y)注意：应用stepwise命令做逐步回归，数据矩阵X的第一列不需要人工加 一个全1向量，程序会自动求出回归方程的常数项(in tercept )。在应用stepwise命令进行运算时，程序不断提醒将某个变量加入(Move in )回归方程，或者提醒将某个变量从回归方程中剔除(Move out )。注释：使用stepwise命令进行逐步回归，既有剔除变量的运算，也有引 入变量的运算，它 是目前应用较为广泛的一种多元回归方法。在 运行 stepwise(X,Y)命令时，默认显著性

12、概率0.05。例2 (Hald,1960 ) Hald数据是关于水泥生产的数据。某种水泥在凝固时放出的热量Y (单位：卡/克)与水泥中4种化学成分所占的百分比有关：Xi : 3Cao AI2O3X2 : 3Cao SiO2x3 :4Cao Al2o3 Fe2o3X4 :2Cao SiQ在生产中测得13组数据:序号X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.

13、8121166912113.3131068812109.4求出关系式Y f X解：(1)本问题涉及的数据是5维的，不能画图观察。先做异常值分析。X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12;Y=78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4A=X,Y;mahal(A,

14、A)程序执行后得到结果：ans =5.68033.64846.70023.36763.38394.43004.00806.50673.08497.50165.17682.4701可以认为数据都是正常的(2) 一般多元回归。在Matlab 软件包中写一个 M 文件opt_cement_1:X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12;Y=78.5,74.3,10

15、4.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4'a1=o nes(13,1);A=a1,X;b,b in t,r,ri nt,stat=regress(Y,A)rcoplot(r,ri nt)程序执行后得到：b =62.40541.55110.51020.1019-0.1441bint =-99.1786223.9893-0.16633.2685-1.1589-1.6385-1.7791 r =0.00481.5112-1.6709-1.72710.25083.9254-1.4487-3.17501.37830.28

16、151.99100.9730-2.2943 rint =-4.0390-3.2331-5.31262.17921.84231.49104.04856.25551.97073.1061-6.5603-4.5773-0.5623-6.0767-6.8963-3.5426-3.0098-2.2372-4.1338-6.9115stat =5.07888.41323.17940.54636.29933.57296.21916.07972.3228111.47920.00005.9830以及残差杠杆图:于是，我们得到:0.9824Y 62 .40541 .5511 x1 0.5102 x2 0.1019

17、 x3 0.1441 x4并且，残差杠杆图显示，残差均匀分布在 0点线附近，在stat返回的4个值中,R2 = 0.9824，说明模型拟合的很好。F检验值=111.4792>0.000 ，符合要求。 但是，与显著性概率相关的p值=5.9830>0.05，这说明，回归方程中有些变量 可以剔除。(3)逐步回归在Matlab 软件包中写一个 M 文件opt_cement_2:X=7,26,6,60;1,29,15,52;11,56,8,20;11,31,8,47;7,52,6,33;11,55,9,22;3,71,17,6;1,31,22,44;2,54,18,22;21,47,4,26

18、;1,40,23,34;11,66,9,12;10,68,8,12;Y=78.5,74.3,104.3,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1,115.9,83.8,113.3,109.4'stepwise(X,Y)程序执行后得到下列逐步回归的画面：X1X2X3X41.868753.55000.0046.90.7891254.68620.0007-1.25578-2.09840.0598-0.738162-4.77480.0006» >1.Nexl stepMove X4 InExport.Coeff. t-stat p-valCoefficie

19、nts with Error Bars-3-2-10123Intercepts 95.4231RMSEs 15.0437R-squre - 0F -丹赳NAdj R-sq - -0 .D833333p-NeriN程序提示：将变量x4加进回归方程(Move x4 in )，点击Next Step按钮，即，进行下一步运算，将第4列数据对应的变量X4加入回归方程。点击Next Step按健后，又得到提示：将变量x1加进回归方程(Move x1 in )，点击Next Step按钮，即，进行下一步运算，将第1列数据对应的变量加入回归方程。点击Next Step按健后，又得到提示：Move No terms ，即，没有需要加入(也没 有需要剔除)的变量了。注意：在Matlab7.0软件包中，可以直接点击“ All Steps ”按钮，直接求 出结果(省略中间过程)