最优控制笔记

1、最优限制又叫动态优化工程技术领域里的过程(物理过程或化学过程),通常都是可以限制的过程限制：使过程的开展变化按人们的需要进行动态优化问题的四个要素：1建立过程的动态模型(动态系统的状态方程)2指定所需的初始状态和结束状态(状态方程的边界条件)3确立在可行限制策略4性能指标动态系统的变化,可以看成对应状态的变化,其中每一个状态对应着n维状态空间中的一个点,系统的运动将在状态空间中画出一条状态曲线动态系统的状态方程：1是对研究对象的动态数学建模2表达了系统运动时应遵循的规律,反映了系统的动态特征3般是微分方程组描述状态方程fx(t),u(t),t的数学性质：1. fx(t),u(t),t是向量函数

2、,维数与状态变量维数相同2. fx(t),u(t),t是关于 x(t)/u(t)/t 的连续函数3. fx(t),u(t),t是关于x(t)/t的连续可微函数4. u(t)是关于t的分段连续函数,只有有限个第一类间断点系统的初始时刻t0和初始状态x0一般都是的系统的结束时刻tf :固定或者不固定系统的结束状态xf :全部固定/全部不固定/局部固定性能指标：1要根据实际任务确定,例如过程持续的时间最少/过程消耗的能量最少/本钱最小/利益最大等等2种类：终值型/积分型復合型,它们都是关于x(t)/t的连续可微函数最优限制一定是容许限制,即最优限制策略(最优限制函数)在限制函数空间中的一个子集中选择

3、当最优限制轨迹确定后,通过系统的状态方程,可以确立对应的最优状态轨迹现代限制理论相对于经典限制理论的优点：1从时不变系统延伸到时变系统2从单输入单输出系统延伸到多输入多输出系统3从频域回到时域,采用能够揭示系统内部各状态变化规律的状态空间描述法 最优限制理论属于现代限制理论的分支从数学角度来看,最优限制问题本质上是求泛函极值的变分学问题 变分法分为古典变分法和现代变分法(最大值原理/动态规划)古典变分法只能解决容许限制集为开集的最优限制问题 实际最优限制问题的容许限制集都是闭集,可以用现代变分法解决 函数分为两类：普通函数和泛函普通函数随自变量t变化有确定值对应泛函随普通函数(称为泛函的宗量函

4、数)的形式变化有确定值对应,t已确定或不产生影响复合函数也是普通函数,随自变量t变化有确定值对应具有某些相同特征的所有函数组成一个函数类,或称函数空间在函数空间内,每一个函数(形式不同的)成为函数空间的一个点,例如sin(x)和sin(2x)是正弦函数空间的两个点泛函宗量的变分：1同一函数空间中的两个函数的差(t已确定或不产生影响)2宗量的变分仍然是一个普通函数 3这里变分的意思是改变量宗量的维数为 m时,那么宗量的变分在m维函数空间中进行,其中每一维函数空间各自是具有某些相同特征的函数类两个普通函数k阶相近的定义,从几何上来看就是曲线的相似程度两个普通函数间的k阶距离定义,从几何上来看就是曲

5、线的差异程度m维函数空间中,与点xO(t),x1(t),.xm(t)距离相同的点构成 m维空间中的一个球面泛函k阶连续的定义(利用两个普通函数间的k阶距离来定义)线性泛函的定义：满足齐次性与可加性泛函的变分：1是泛函增量的关于宗量变分的线性主部2是关于宗量变分的线性连续泛函3仍然是一个泛函4泛函的变分是唯一的 5这里变分的意思相当于普通函数的微分泛函变分的计算公式,是关于宗量变分的泛函,也是关于alpha的普通函数,从普通函数极值条件出发推导得到泛函极值条件求普通函数的极值,必要条件是：极值在稳定点获得,稳定点即普通函数导数为0的点求泛函的极值,必要条件是：极值在泛函变分为0的点取得Lagra

6、nge/Mayer/Bolza形式指标的相互转换欧拉-拉格朗日方程的推导过程欧拉-拉格朗日方程是一个二阶微分方程欧拉-拉格朗日方程成立的前提：1宗量函数对自变量的二阶导数存在2积分函数二阶连续可微欧拉-拉格朗日方程的能积分出最优解的特殊情况含有多个宗量函数的欧拉-拉格朗日方程组形式等式约束条件下的泛函极值问题采用拉格朗日乘子思想等式约束下的多变量普通函数极值问题,拉格朗日乘子是m维常向量等式约束下的泛函极值问题,拉格朗日乘子是m维普通函数,称为协态变量拉格朗日乘子法的步骤：原问题 -辅助泛函-解等式约束+欧拉方程- 用边界条件确 定未知系数-判断极大/极小/鞍点等式约束下的泛函极值问题中,拉格

7、朗日乘子(本质上是普通函数)的欧拉方程就是原问题的等式约束条件对于最优限制问题,限制函数u(t)和状态函数x(t)都看成是泛函的宗量,系统的动态方程作为等式约束条件Hamilton函数是泛函,其t的范围由x(t)/u(t)中的t范围确定,可以看成是 mayer型泛函 Hamilton函数的作用：积分型泛函 J对u(t)的等式约束条件极值问题,转换成 H对u(t)的无约束条件机制问题Hamilton函数方法解决最优限制问题 ,是基于 :必要条件,而不是充分条件Hamilton函数沿着最优空之轨迹和最优状态轨迹,对时间t的全导数等于偏导数当Hamilton函数不显含t时,H是不依赖于t的常数根底数

8、理化：数学是理路,物理和化学是实践；工程中的物理和化学变化过程都是可控的；过程：与时间有关,随着时间推荐的变化,又叫动态过程；动态过程的数学模型又称状态方程,为OEDs或者DAEs形式对一个过程实施限制往往可以选择的策略不唯一,为了使得任务完成得最好,需要选择最优限制策略；最优的意义：根据任务确定的技术或者经济指标,可以是时间上最快、能量上最省、成本最低、利润最大等；状态微分方程fx(t),u(t),t是关于u(t),x(t),t的连续函数,是关于 x(t),t的连续可微函数, u(t)只有有限个第一类间断点；状态、状态空间、动态系统的变化过程对应于状态空间中的点运动轨迹、点运动轨迹的起始点和

9、结束点就是状态方程的边界条件；系统的初始时间to和初始状态x0通常是给定的；系统的结束状态根据结束时间tf是否固定和结束状态是否固定可分为6种情况；性能指标的类型：终值型( Mayer型)、积分型(Lagrange型)、复合型(Bolza型；) 终值型(Mayer型)是x(t),t的连续可微函数；积分型(Lagrange型)是u(t),x(t),t的连续函数,是 x(t),t的连续可微函数,u(t)只有有 限个第一类间断点；注意终值型(Mayer型)指标中不含u(t)；最优限制轨迹往往在m维限制函数空间的一个子集omiga中选择；经典限制论的特点：针对SISO、线性、时不变(定常)、集中参数系

10、统,以laplace变换作为分析工具,频域内；现代限制论的特点：针对MIMO、非线性、时变、分布参数系统,以状态空间分析方法为分析工具,时域内分析；对系统的状态空间描述,最大好处在于能够反映系统内部各状态变量之间的关系；最优限制理论属于现代限制理论的一局部；最优限制问题在数学上来说属于求泛函极值的变分学领域；古典变分法的局限性：只能处理u(t)无约束或者为开集的泛函极值问题；现代变分学的两个代表：最大值原理(苏联,Pontryagin提出)和动态规划(美国,Bellman提出)；现代计算机的开展推动了限制理论和优化理论的开展与应用,增加了基于计算的科研活动方式；函数分为一般函数和泛函两类；一般

11、函数：自变量形式唯一,当自变量确定为某一值时,函数值也随之确定；泛函：自变量形式和取值(范围)已经确定,当宗量函数形式确定时,泛函值也随之确疋；复合函数属于一般函数；终值型泛函中,tf能被确定,所以泛函值取决于终值型泛函的宗量形式；积分型泛函中,被积函数往往是u(t),x(t),dx(t)/dt,t的函数,u(t),x(t)都属于积分型泛函的宀n宗量；积分型泛函中,由于宗量的维数大于1：宗量为u(t),x(t),且各自维数也可能大于1,所以积分型泛函属于多维泛函(宗量为多维,在多维函数空间内取值)；Hamiltonian属于多维泛函,自变量取值范围为tOtf,宗量包括限制函数u(t),状态函数

12、x(t),协态函数y(t);函数空间：具有相同性质的函数类(按函数不同形式区分函数类中的单个函数),构成了一维函数空间(一根轴),每个属于该函数类的具体形式函数都是该一维函数空间(轴) 上的一个点；宗量函数的变分deltax(t):是同一函数类中两个一般函数的差,或者说是某一维函数空 间中两个点之间的距离,本质上仍然是一个一般函数；一般函数相近的几何意义：曲线形态相似；泛函连续性的定义及与宗量函数相近(宗量函数的变分趋于0)的关系；线性泛函的定义：满足针对宗量函数的齐次性和可加性(将宗量看成一般函数的自变量)；泛函变分detalJx(t):是泛函增量关于 宗量函数变分的线性主部,是关于宗量函数

13、变分的线性连续泛函,本质是泛函；泛函的变分具有唯一形式；求一个泛函的变分不直接使用定义,而用偏导数方法获得,这与一般函数的微积分知识相似；泛函到达极值的必要条件：泛函在宗量函数x*(t)处的变分为0,有三种情况：非极值,极大值,极小值；古典变分法中的欧拉方程由积分型泛函变分为0的必要条件推出,所以欧拉方程也是泛函到达极值的必要条件；欧拉方程本质上是一个二阶偏微分方程；欧拉方程成立的前提是：Lx(t),dx(t)/dt,t对宗量函数x(t)、宗量函数的导数 dx(t)/dt、自变 量t存在二阶偏导数；注意Lx(t),dx(t)/dt,t本身不能称为泛函(自变量的值没有给定),也不能称为宗量函数(

14、宗量函数是 x(t)；欧拉方程可以求解的条件： Lx(t),dx(t)/dt,t中不显含x(t)、dx(t)/dt、t三者其一或其二；宗量函数为向量函数时,欧拉方程也成为向量二阶偏微分方程(二阶偏微分方程组)；phi(tf)这条终端曲线实际靠测试获得,并作为曲线；横街条件反响的是：极值曲线终端斜率与给定曲线斜率之间的关系横街条件成立的前提：Lx(t),dx(t)/dt,t对宗量函数x(t)、宗量函数的导数 dx(t)/dt、自变 量t存在二阶偏导数；phi(t)对自变量t存在一阶偏导数；终端点可变情况下,泛函极值的必要条件共有两个：欧拉方程、横街条件；Lagra nge型泛函的一阶变分和二阶变

15、分的表达式；泛函极值属性的判断需要借助二阶变分表达式,它是一个对称函数矩阵；涉及到最优限制问题时,最优状态轨迹不仅要使目标函数最优,更重要的是满足系统的状态方程；系统的状态方程(等式)可以看成是求泛函极值问题时的微分等式约束；带等式约束的泛函极值问题,处理思想和一般函数的等式约束极值问题思路一样,采用拉格朗日乘子法思想；带等式约束的泛函极值问题,拉格朗日乘子是一般函数(一般函数的等式约束极值问题 中,拉格朗日乘子是常数)；带等式约束的泛函极值问题,与一般函数的等式约束极值问题相比,梯度为0的必要条件进化成为变分为0 (欧拉方程的满足)；带等式约束的泛函极值问题,原等式约束可以视为Fx(t),d

16、x(t)/dt,lamda(t),t对宗量函数lamda(t)的欧拉方程；利用古典变分法求解最优限制问题,是将限制函数u(t)和拉格朗日乘子函数lamda(t)都作为泛函的宗量函数；Hamiltonian 的作用是将 dx(t)/dt 从 Fu(t),x(t),dx(t)/dt,lamda(t),t中别离出去, 它们的关系 是： Hu(t),x(t),lamda(t),t=Fu(t),x(t),dx(t)/dt,lamda(t),t-lamda(t)dx(t)/dt正那么方程组的推导既可以从Fu(t),x(t),dx(t)/dt,t的欧拉方程推导,也可以直接从变分=0的必要条件推导(欧拉方程从

17、变分=0的必要条件中推导出来)；推导tf固定、tf自由时的最优限制问题必要条件时,辅助函数的做法：终态约束等式约束放在积分号外面,状态方程等式约束放在积分号里面；tf固定时的三种情况：x(tf)固定(仅需要欧拉方程无需横截条件)属于 x(tf)自由的特殊 情况,x(tf)自由又属于x(tf)受约束的情况；tf自由时的三种情况：x(tf)固定(仅需要欧拉方程无需横截条件)属于 x(tf)自由的特殊 情况,x(tf)自由又属于x(tf)受约束的情况；tf固定又属于tf自由时的特殊情况,仅缺少关于最优时间的方程,所以6种情况最终都可以归类为tf自由、x(tf)受约束的情况处理；Hamilto nia

18、n 沿着最优限制轨迹和 最优状 态轨迹(即 Hu(t),x(t),lamda(t),t中 的 u(t),x(t),lamda(t)都在最优轨迹上取值)时,对时间的偏导数等于对时间的全导数；以上性质说明：沿着最优限制轨迹和最优状态轨迹时,假设Hamiltonian不显含t,那么Hamiltonian 为常数；不等式约束泛函极值问题？古典变分法要求u(t)属于一个全函数空间或者一个函数空间中的开集；现代变分法从实际出发,u(t)可以属于一个函数空间中的闭集；现代变分法中的代表：极小值原理(苏联,Pontryagin )和动态规划(美国, Bellman)极小值原理比古典变分法的进步：u(t)可以属于一个函数空间内的闭集,不要求Hamiltonian 对 u(t)可微；当u(t)属于一个函数空间内的闭集时,H对u(t)的偏导数可能不为0 (在闭函数空间内取不到极点)、deltau(t)可以为0,两方面原因造成古典变分法不再适用；与古典变分法对应的是,极小值原理也有6种情况,最普遍的是tf可变、x(tf)受约束的情况；对于tf可变的情况,需要增加一个确定tf的方程(属于横截条件的一局部)；Hamiltonian到达极小值的定义？极小值原理仅是最优限制问题的必要条件；如果x(tf)有终端约束,那么两点边值问题的求解难