2二次曲线的渐近方向、中心和渐近线概要

1、2二次曲线的渐近方向、中心和渐近线渐近方向：定义：假设一方向X: Y(即与矢量X, Y平行的方向)满足(X, Y) =0,那么称其为二次 曲线F (x,y)=0的一渐近方向。存在性：命题：任一二次曲线至多有二渐近方向，具体地aa(i)当I2=11120时，曲线有二共轲复渐近方向;a2ia22(ii )当I2a11X2+2a12XY+a22Y2=0一X： Y= (- a12土q 12 )一.0 0，匕有一不同头渐近方向；对抛物线y2=2px,I2=01 0它有二相同的实渐近方向；由此，称仅有复渐近方向的二次曲线为椭圆型曲线；有二不同实渐近方向的二次曲线为双曲线型曲线；有二相同实渐近方向的二次曲线

2、为抛物型曲线。.中心：1、定义：二次曲线上任意两点间的连接线段M1M2,假设不沿渐近方向，那么称其为 弦。假设存在一点C,使彳导过C的任一弦均被C平分，那么称C为二次曲线的 中心。 显然：二次曲线的中心正是它的对成中心。2、求法：定理1：点C(x0, y0)是二次曲线F (x,y ) =0之中心一x0, y0是方程组事实上，X： Y为渐近方向一a112可见，对椭圆三a12a01b2a2b20，它有二共轲复渐近方向；对双曲线x y1c下I2=-a2b2T1(x, y)三a11x + a12y +a132(x, y)三a21x +a22y +a23证：“一设C(x, y)是中心，而M1M2是过C的

3、任一弦，该弦所在直线(*) 的解(ii )二次曲线为无心二次曲线12=0,但a12:a22 *a13:a23x = x0十tX:y =y。十tY令Mi( x0+tiX ,y0+tiY), i=1 , 2,那么t1,t2是方程(X，Yt2+2Fi( x0, y0)X+F2 (x0, y0)Yt+F(x0, y0)=0的根而(x0,y0)Y=0,由弦M1M2的任意性,Fi(x0,y0)=F2(x0,y0)=0“一假设C (x0,y0)的坐标满足Fi( x0 ,y0)=F2( x0 ,y0)=0过C任取曲线的弦M1Ml，其方向为X：Y,从而假设令Mi(x0+tiX,y0+tiY),i=i , 2,那

4、么ti, t2应是(*)二个根。vFi (x0 ,y0)X+F2(x0,y0)Y=0，储乜=。 MiM2的中点坐标为(x0 +tiX) + (x0 +t2X) _2X0(y0+t1Y) + (y0+tY)即C(x0, y0)是弦M1M2的中点，C为中心注：假设一条二次曲线有唯一中心，那么称其为中心二次曲线； 没有中心的二次曲线称为无心二次曲线；有不止一个中心的二次曲线称为线性二次曲线，关于上述三种二次曲线的判别标准，我们有定理2:(i )二次曲线为中心二次曲线一I2w0 x0=(x0+tiX) + (x0+t2X)y0=y0+t1t212Yt1+t2=01Fi(x0 ,y0)X+F2(iii)

5、二次曲线为线性二次曲线一12=0且a2：a22=a13:a23事实上，(i )二次曲线为中心二次曲线一(*)有唯一解一I2W0(vi )二次曲线为线性二次曲线一(*)有不止一个解一12=0且a12 :a22=a13 :a23注：对线性二次曲线，由于a11：a12=a21：a22=a13：a23，方程组(*)同解于F(x,y )三a11x+a12y+a13=0即线性二次曲线的中心充满直线an x2+a12y+a13=0中心直线三渐近线：定义：过二次曲线的中心且沿其渐近方向的直线称为渐近线。可见：椭圆型二次曲线有二共轲复渐近线；双曲型二次曲线有二不同实渐近线；而对抛物型二次曲线，假设其为无心的，那

6、么其没有渐近先，假设其为线性的，那么由于其渐近方向为X: Y=-a12:a22,而这正是中心直线的方向，它的渐近线即为中心直线。求法：法1:求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。法2：求出中心C (xo , y0),对渐近线上任一点M (x, y),那么(x-Xo) ： (y-yo)为渐近方向，(x-x0,y-y0)=0性质：命题：二次曲线的渐近线或者与曲线不交，或者整个位于曲线上，事实上，设x=xn+ tX . _ .1:为渐近线，其中(x0, y0)为中心，X： Y为渐近方向(ii )二次曲线为无心二次曲线a11al2aall秩手秩a21a22J21a12a13-,I2=0但W0一)一(*)无解一a12a13 a22a23 JI2=0且an : a22w