极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解

1、极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义:x f(t) y f(t)组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下:1.过定点（xo, yo）,倾角为a的直线:其中参数t是以定点P （xo, yo）为起点，对应于t点M （x, y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论.1）.设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB,则AB = tV(tBtA)4tAtB ,2.中心在（xo, y。），半径等于r的圆:4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上

2、的双曲线:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M （x,v）都在这条曲线上，那么方程x x0t cosy y。tsin（t为参数）2）.线段AB的中点所对应的参数值等于tAtB2x xr cosy yor sin（为参数）3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆:- x a cos y bsin,斗会来&、/十x bcos（为参数）（或 ya sin中心在点（xO,yO焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程xxy yoacosbsin （为参数）直线的参数方程和参数的几何意义（三）极坐标系1、定义：在平

3、面内取一个定点O,叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用p表示线段OM的长度， 。表示从Ox到OM的角，p叫做点M的极径，。叫做点M的极角，有序数对（p , 0）就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、 对应 惟一点P（,），但平面内任一个点P的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P（,）（极点除外）的全部坐标为（，+ 2k）或（ ， +（2k

4、 1） ）,（kZ）.极点的极径为0，而极角任意取.若对 、 的取值范围加以限制. 则 除极点外，平面上点的极坐标就惟一了， 如限定0,0 v 2或0,v 0)过定点P（x0 , yo）,倾斜角为 的直线的参数方程是x xot cos yyot sin（t为参数）.2asin2asin2acos( )O图4asin4、 圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 2a cos2a cos 2asin 2a sin2 a cos()图1图22acos2a cosa图5asin5、极坐标与直角坐标互化公式:（直极互化图图）基础训练A组、选择题1.若直线的参数方程为2.3.2。为参数）,则直线

5、的斜率为卜列在曲线A-(2,将参数方程4.化极坐标方程B.sin2cossin 2sin_ 2sincosD.（为参数）上的点是（3,1)4 2C (2,73)为参数）化为普通方程为（2 C. y x 2(2 x0为直角坐标方程为（3)D (1,73)D. y X 2(0 y 1)A. x2y20 或 y 1B. x 1C. X2y20 或 x 1 D. y 15.点M的直角坐标是(1,J3)，则点M的极坐标为()A.(2,-)B. (2, -)C(2,f)D.(2,2 k -),(k Z)6.极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D

6、 .一个圆二、 填空题x 3 4t1.直线(t为参数)的斜率为_。y 4 5tt tx e e2.参数方程(t 为参数)的普通万程为_ 。y 2(etet)x 1 3t .3.已知直线l1:2 4t为参数)与直线12：2X4y 5相交于点B ,又点A(1,2),则AB。x2写4.直线2(t 为参数)被圆x2y24截得的弦长为。1-y 1 -t25.直线xcos y sin 0的极坐标方程为。三、 解答题1.已知点P(x, y)是圆x2y22y上的动点，(1)求2x y的取值范围；(2)若x y a 0恒成立，求实数a的取值范围。2.求直线l1.3t(t 为参数)和直线l2: x y 2、30的

7、交点P的坐标，及点与Q（1, 5）的距离。3.在椭圆 1上找一点，使这一点到直线x 2y 12 0的距离的最小值。16 12一、选择题x a t1.直线l的参数方程为（t为参数）， 1上的点R对应的参数是t1， 则点R与P （a,b）y b t之间的距离是（）A . t1B. 2 t1C . 2 |t1D .|t11 x t2.参数方程为t（t为参数）表示的曲线是（y 2A. (3, 3) B.(屁)C. h/3, 3)4.圆5cos 5丙sin的圆心坐标是（）A.一条直线B.两条直线C.一条射线）D.两条射线x3.直线y1 1t2广（t为参数）和圆x2216交于A, B两点，贝U AB的中点

8、坐标D. (3, g4A ( 5,)xy，、，、，5、B-（ 5,）C（5,q）D-（、.t（t为参数）等价的普通方程为（）2.1 tB.1(0 x 1)C. x2己1(0 y 2)4Dx2t1(0 x1,0y 2)5.与参数方程为B.404D. ,93 4.3二、填空题1.曲线的参数方程是2.x直线y3 at1 4t3.点P(x,y)4.5.1t （t 为参数,t 0）,则它的普通方程为t2（t为参数）过定点一 .一_ 2- 2是椭圆2x 3y曲线的极坐标方程为tan设y tx（t为参数）则圆x12上的一个动点，贝U x 2y的最大值为1_- ,则曲线的直角坐标万程为cos三、解答题1.2.

9、3.（1）写出直线（2）设l与圆、选择题1.把方程xy2.3.A.曲线A.直线4y 0的参数方程为xcos (sincosysin (sincos22xy1上,求点169参数方程已知直线l经过点P（1,1）,倾斜角点P在椭圆）（为参数）表示什么曲线?l的参数方程。P到直线3x 4y 24的最大距离和最小距离。x2y24相交与两点A, B ,求点P到A, B两点的距离之积。1化为以t参数的参数方程是（1t21t2sin t1sin tC.5t久（t为参数）与坐标轴的交点是(0,5)、(2,0)B 1)、(2,0)cost1costD.tan t1tant4)、(8,0)x 12t（t为参数）被圆

10、x y 9截得的弦长为（y2t4t2、 ， 八（t为参数）上，则PF等于（4tA. 2 B . 3 C. 4 D. 55.极坐标方程cos20表示的曲线为（）B.极轴C.一条直线D.两条相交直线A. cos 2 B. sin 2 C. 4sin（）D. 4sin（ 二、填空题1.已知曲线X 2pt（t为参数，p为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为七和t2,y 2pt,且t1t20,那么MN=。2.直线X 2卢仕为参数）上与点A（ 2,3）的距离等于J2的点的坐标是 _y 3、2tx t cosx 4 2cos5.直线与圆相切，则 _y t siny 2sin三、解答题1/ t t、x -

11、（e e ） cos1.分别在下列两种情况下，把参数方程2y - （etet）sin21求PM PN的值及相应的的值。新课程高中数学训练题组参考答案1为参数，t为常数；（2） t为参数，为常数;A.1259 D.、1056.在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（4.若点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线3.圆的参数方程为x 3siny 4sin4cos3cos（为参数），贝U此圆的半径为4.极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为、 而，2.过点P（；,0）作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N,化为普通方程:、5 1 2xy、5 12.3.4.5.6.数学选修4-

12、4、选择题坐标系与参数方程基础训练A组k也-31x 1 2t转化为普通方程:转化为普通方程:(cos(2,2kcos1)0,x 2,但是2,3,0,10,或cos),(k Z)都是极坐标34sin cos,cos0,或4sin，即即sin4y二、填空题542.2y163.5.2三、解答题1.解：(1)1,(x2)5t4t3t代入2x4t直线为x y 122( jcos4y0，圆心到直线手，得弦长为14cossin sin设圆的参数方程为cos2et2et2x y 2cos(x；)号4则B(5,0)，而A(1,2)，得AB2的距离0,cos(sin1 sin1,5sin( )1、2-f=,弦长的

13、一半为22)0,取x2.解:将y代入x y,3t4、5，-一dmin-，此时所求点为（2, 3）。5新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题1.C距离为Jt；tJ2|t2.Dy 2表示一条平行于x轴的直线，而x 2,或x2,所以表示两条射线16 ,得t28t 8 0 , t1t28,242x 3y .32(2) x y a cossin 1 a 0(cossin,2sin( ) 14得P(12挺1)，而Q(1,PQ(2一3)2 * 4624、3x3.解：设椭圆的参数方程为y4cos2. 3 sin4cos4把sin1254:5cos53 455 2cos(当cos() 1时,33D(12t)2

14、(33土21x 1 4中点为2-y 33关4221,而t 0,0 1 t 1,得0 y 24x6. Cy2、,2t 2,把直线1、,2t皇2(x 3)2(y 1)225得(5 t)2(2 t)225,t27t 2 0t1t2J(t1t2)24t&何,弦长为Vtit2二、 填空题1.y -x(x(x2)1)2(x 1)11 x -,t t-,而y 1 t21 xr1即y 1 (1 x)2f(x(x 1)21)2.(3,1)y x1 43 a(y 1)a 4x12 0对于任何a都成立，则x3.V222_ _ x椭圆为-621 ,设P(76cos ,2sin ),4x 2y灰cos 4sin

15、V22sin()V22y3,且y 124. xtancossin _2_2_ 2,cos sin , cos cos2sin ,即x y5.4tJ22、2_x (tx)4tx0 ,当x0时，y 0；当x0时，x4t- 2；1 t2三、解答题1.解：显然1x4t14：tan12cos2,cos12匕12x2x cossin cos1sin 222cos12 tan21 tan22cos21x12221匕21匕2xx2y_ 1,即x2yx1xx2y得x即xy1,x(1y2x2与)x2.解：设P(4cos,3sin12sin24当cos(当cos(12 ； 2 cos(4) 241时，dmax% V

16、2);51时,dmin3.解：（1）直线的参数方程为x 1 t cos3 x 1 -6，即2y 1 t sin y 1】t62t%虹5x（2）把直线技t2代入1 -t 2得(1项t)2(11222t)4,t1)tt&2，则点P到A, B两点的距离之积为坐标系与参数方程提高训练C组、选择题1. Dxy 1 , x取非零实数，而A , B, C中的x的范围有各自的限制,2 Ht一，而y5，1 -当y 0时，t一，而x22. B当x 0时,2 5t，即x1一，得与y轴的交点为51-，得与x轴的交点为21(0q);51213.x12t.5t4.5.6.、5t2希把直线x1y2t代入t9得(1

17、2t)2(2t)29,5t28tt1t2抛物线为cos 2J(tt2)24t&4x ,准线为0,cos2 0,4sin的普通方程为82161212 -5) T g，弦长为妁&t2/1 , PF为P（3,m）到准线x1的距离，即为4为两条相交直线4(y 2)24,cos2的普通方程为x 2圆x2(y一22）4与直线x2显然相切二、填空题4p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴,MN 2pt1t22p2t12.(3,4)，或(1,2)(、5t)2(、2t)2(、2)2,t23.x 3sin5由y 4sin4cos,曰2得x23cosy2254.圆心分别为（捉和（砖）5.56直线为y xtan ,2圆为(x 4)4,作出图形，相切时,三、解答题1.解：（1）当一，一.5易知倾斜角为一，或660时,0时,y 0,x cos，即x1,且y0；cos2(etet)22xy_x1t t 2(e e )yet)1，即旨1t t 2(e e )441得28 2(2L互)(W互) cos sin cos sin2即cos.仍2.解：设直线为x万（t为