2019-2020学年上海嘉定区高三年级二模考试数学试卷

1、2019-2020学年上海市嘉定区高三年级二模考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题，？茜分54分，第16题每题4分，第712题每题5分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合 A (2, 4,6,8 , B 1,2,3,则 AI B 【答案】2【解析】本题考察了集合的交集问题x 2y 52 .线性方程组的增广矩阵为3x y 8【解析】本题考察了增广矩阵的概念3 .已知圆柱的底面半径为1 ,母线长为2 ,则该圆柱的侧面积等于 【答案】4【解析】圆柱的侧面积S 2 rl 44 .在(x 2)5的二项式展开式中，X3的系数为 【答案】40【解析】含x3的项为C；x3( 2)2 40x

2、3x 05 .若实数x, y满足y 1 ，则z x y的最大值为x 2y 0【答案】3【解析】由线性规划画图可得:(2,1)时z取得最大值为36.已知球的主视图的面积是-4【答案】3,则该球的体积等于【解析】由主视图的面积是，可得r 1 ,则体积7、设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn , a11, a2a36 ,则 S6【答案】6321 1 26【解析】q q2 6 q 0 q 2ss 2638、已知函数f x2 loga x (a 0,且a 1)的反函数为y f x ,右f 32,1 -一 一一一2 f f 3f 232log a 2 a 29、设 z C, z2【解析】z3i10

3、、从4对夫妇中随机抽取 率是3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概11、设 pC：c23C；是双曲线22y 1相交与21上的动点，直线 8x 3 tcosy tsin (t为参数)与A, B两点,uun uuu贝U PAgPB的最/、值是uuu uuuPAgPB_2_2_2222=PC2CA2PC2122212【解析】如图所示，运用极化恒等式有:ABC 中,内角12、在A,B,C的对边分别为a,b,c,a2 b2 c2 2而bcsin A ,则(b2222bccosA) b c2 3bcsin A2bcsin(Ab2c2 2bcsin(A )二、选择题（本大题共有 4题，满分

4、20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知 x R,则'x >1'是'x 2<1'的（）【A】充分非必要条件【B 必要非充分条件【Q 充要条件【口 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】解不等式由子集与推出关系可得14.下列函数中，既是0,上的增函数，又是偶函数的是（A y 1 xCl y 1 x【答案】DxB y 2【D】y 1g x【解析】A在0,n N ,都有距离与到定直线距离距离相等点的轨迹，选C内是增函数也是奇函数，B非奇非偶，C单调递减，D符合题意 15、如图，若正方体AB

5、CD AB1C1D1的侧面BCC1B1内动点P到棱AB1的距离等于它到棱BC的距离，则点P所在的曲线为（）【A】椭圆【B】双曲线 【Q抛物线【D】圆【答案】C【解析】由图易知，PB就是点P到直线AB的距离，现在问题转化成在平面内到定点的1 ，2Sn s, t ,则t s的取小值是（）SnA 23【答案】B【解析】【B】D 164Si 6 ai4Sn 6 an4Sn 16 aniSn32n为奇数，Sn-,22n为偶数，Sn-,33 2f(Sn) 3Sn工单调递增Sn三.解答题（本题共5题，茜分76分）17.（本题满分14分，第一题满分6分，第二题满分8分）ABCD.如图，在四锥P ABCD中，底

6、面ABCD为正方形，边长为3, PC 5, PD（1）求四棱锥P ABCD的体积.（2）求异面直线 AD与BP所成角白大小.（结果用反三角函数值表示）5【答案】（1） 12 arctan -3【解析】因为PD 平面ABCD ,所以PD DC .又因为 DC 3, PC 5,所以 PD JPCDC 4, 27所以四棱锥P ABCD的体积为1 c1V -SABCD PD - 3 3 4 12.33（2）解法1 ：由题意得 AD / BC ,所以直线BC与BP所成的角就是 异面直线AD与BP所成的角.2分PD 平面 ABCD PD BCBC CDBC 平面 PCD BC PCPC 55在 Rt PC

7、D 中，tan PBC 一， PBC arctan-.BC 335所以异面直线 AD与BP所成角的大小为 arctan- . 8分3解法2：以D为坐标原点，以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 D(0,0 , 0) , A(3,0,0),B(3,3, 0) , C(0,3, 0), P(0,0,4). 2分所以 AD (3,0,0), BP ( 3, 3,4) . 4分设异面直线AD与BP所成的角为,向量AD与BP所成的角为 ，因为cosAC BPpopP3 ( 3) 0 ( 3) 0 43 t 343.34又 cos I cos3 3

8、4,所以343 34 arccos34即所求异面直线 AC与C1D所成角的大小为3-34arccos.3418.(本大题满分14分，第(1)问6分，第(2)问8分)设常数 a R ,函数 f (x) J3sin 2x a cos2 x(1) 若f (x)为奇函数，求a的值；(2) 若f(一) 3,求方程f (x) 2在区间0,上的解。6【答案】(1) a 0(2) x 0,-,3【解析】(1)因为f(x)为奇函数，所以f( x) f(x),即 J3sin( 2x) a cos2 ( x) (Vsin 2x acos2 x),即 2a cos2 x 0,所以 a 0. 6分(2)因为 f ()

9、3 即 J3sin a cos 3 解得 a 2. 2分636所以 f (x) 百sin 2x 2cos2 x ,即 f (x) <3 sin 2x (2 cos2 x 1) 1 ,即 f(x) J3sin 2x cos2x 1, f (x) 2sin (2x 一)1 . 4 分61 设 2sin (2x 一) 1 2 即 sin(2x 一) 一. 5分662因为x 0,则得2x ,巴,所以2x 或5或13 6666666解得 x 0或x 或 8分319.(本题满分14分，第1小题?黄分6分，第2小题满分8分)某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元，为了调整产业

10、结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计，若能动员x( x N )户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上-年提高2x%,而从事蔬菜2 a x a 0加工的农民平均每户的年收入为50万元.(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求 x的取值范围：(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值，【答案】(1) 0 x 50(2) 9【解析】(1)由题意得(100 x) 2 (1 2x%) 2 100,2分即 x2 5

11、0 x 0 , 4分解得0 x 50 .又因为x N ,所以 0 x 50,x N . 6分9x、(2)从事蔬来加工的农尸年总收入为2x (a )万元，从事蔬菜种植的农户年总收入为50(100 x) 2 (1 2x%)万元,9x 根据题意得 2x (a注)(100 x) 2 (1 2x%)恒成立，4分504100因为x N ,所以a 一 x 1恒成立.25 x4x2510012.2>100当且仅当x 25 ( N )时，等号成立.所以 a 9,因此a的最大值为 9.8分20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题?黄分6分).22已知椭圆：与当 阳 b 0)过点P

12、(0,2)，且它的一个焦点与抛物线y2 8x的焦点a b相同。直线l过点Q(1,0),且与椭圆相交于 A, B两点、求椭圆 的方程：u(2)若直线l的一个方向向量为d(1,2),求 OAB的面积(其中。为坐标原点);(3)试问：在x轴上是否存在点MuB,为定值？若存在，求出点m的坐标和定值；若不存在，请说明理由22【答案】(1) ± L 1(2)849(3)11M(/0)【解析】(1)由题意知 b2,c 2,则得 a2 b2 c2 8,22所以椭圆的方程为匕1 .4 分84(2)由题意知直线l的点方向式方程为 上一0,即y 2x 22分12设 A(x1，y1)，B(x2,22,幺工1

13、 一16由84得9x 16x 0,解得x10或x2 . 4分y 2x 29OAB的面积为竺.9是 OAB的面积为S - | 2| 16 16,即所求 299(3)假设存在点 M(m,0),使得mA MB.为定值.设 A(X1, yi), B(X2, y2).当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y k(x 1).22x y 1由 T 了 1 得(1 2k2)x2y k(x 1)4k2x2k2 8 0,由一元二次方程根与系数的关系得4k2xi X2-力，取21 2k_22(k4)1 2k2因为mA(x)m, y1)，MB(x2 m, y?),所以 MA MB (x1 m)(x2 m) y1y2

14、 (x)2 ,m)(x2 m) k (x, 1)(x2 1)222, 2(1 k )x1 x2 (m k )(x1 x2) m k2、(1k2)修(m k2)4k21 2k2k2(m2 8) (2m2 4m 5)k21 2k2若MA MB,为定值，则得 m2 8型一4m2此时MA MB 工；4 分1611. 1411 . 14当直线l的斜率不存在时，不妨设A(, )，B(L,4),当点M的坐标为424211,(工0)时，4MA MB .5 分16117综上，在x轴上存在点 M (一,0),使得MA MB为定值 一. 6分41621.(本题满分18分，第1小题?黄分4分，第2小题满分6分，第3小

15、题满分8分)八，士士，、包,an为偶数、已知m为正整数，各项均为正整数的数列an满足：an 12,记数列an m, an为奇数an的前n项和为Sn若ai 8, m 2 ,求S7的值；(2)若 m 5, S3 25,求 a1的值；若a11, m为奇数；求证：“ an i m ”的充要条件是“ an为奇数”【答案】(1) S7 30 (2) ai 7或10(3)证明略【解析】(1)由题意得a24,a32,a41,a53, a6 5,a773分所以S7 30 (2)若a1是奇数，则a2由 S325 ,得 a1 若a1是偶数，不妨设若k是偶数，则a3若k是奇数，则a3此时现10.综上，a1 7或4 1

16、0.(3)充分性：a(a1a14分5是偶数，a3 a2里至，22a15_5) 七一25,解得a1 7,符合题意；2分2k ( k N*),则 a2 亘 k .2a2 K 由 S3 25,得 2k22k 5,由 Ss 25,得 2k k (k 5)k 一k - 25 ,此方程无整数解； 2,4 分25,解得k 5,符合题意,由已知an Z ,所以当an为奇数时，an 1 an m m . 2 分必要性：猜想：当an为奇数时，an m； an为偶数时，an 2m . 4分 用数学归纳法证明:(i )当 n 1 , 2 时，a1为奇数，a1 1 m; a2为偶数，a2 1 m 2m.(ii )假设当n k时，猜想成立