人教版高中数学选修2-2教学案2.2直接证明与间接证明(教师版)

1、直接证明与间接证明（1） 了解直接证明的一种基本方法综合法、分析法；（2） 了解间接证明的一种基本方法反证法；（3） 了解综合法、分析法、 反证法的思考过程与特点, 会用综合法、分析法、 反证法证明数学问题类型一、直接证明：一 . 综合法1. 定义 ：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2. 思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3. 框图表示： （ P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等, Q表示要证明的结论）二 . 分析法1. 定义： 一般地 , 从要证明的结论出发,

2、 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（ 已知条件、定理、定义、公理等） 为止 , 这种证明方法叫做分析法.2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3. 框图表示：（ 用 Q表示要证明的结论, Pn表示充分条件）4. 分析法的书写格式：要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以,结论成立类型二、反证法：例 3 求证 : 372 5反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立）证明 ：因为37和 2 5 都是正数，经过正确的推理所以要证 , 引出矛盾，3 因此说明假设错误 72 5, 从而证明原

3、命题成立这样的的证明方法叫反证法。只需证( 37)2(2 5)2（ 2）反证法的一般步骤：展开得10 2 21 20a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）只需证21 5,；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；只需证21 25c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。因为 21 25显然成立，（ 3）应用反证法的情形：所以37 2 5直接证明困难;第 9 页需分成很多类进行讨论- 类命题；结论为“至少”、 “至多” 、结论为 “唯一”类命题；4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：例 1 已知 a,b,c

4、 是不全相等的正数，ab bc ca求证： lg lg lg lg a lg b lgc证明：a,b,c R以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，故 lgab2bclg 2 lgcalga lgb lgc总结： 本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明例 2 在 ABC中 ,三个内角A, B,C的对边分别为a, b， c,且 A,B,C成等差数列, a, b， c成等比数列,求证ABC为等边三角形.证明 ：由 A, B, C成等差数列，有2B=A + C 1因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C= 2由 ，得 B= .3由 a, b， c 成等比数列，有b2 ac

5、.4由余弦定理及，可得再由，得a2 c2 ac ac .因此a c.从而A=C.5由，得A=B=C= .所以 ABC为等边三角形总结 : 解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言 转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来练习：1、在ABC中 , 三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且 A,B,C 成等差数列, a,b,c成等比数列,求证ABC为等边三角形.分析： 将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C

6、= ； a , b， c成等比数列，转化为符号语言就是b2 ac 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明 ：由 A, B, C成等差数列，有2B=A + C 因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C= 由 ，得 B= .由 a, b， c 成等比数列，有b2 ac.由余弦定理及，可得22再由，得a c ac ac .因此a c.从而A=C.由，得A=B=C= .所以ABC为等边三角形解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言

7、等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来2、已知a,b R , 求证aabbabba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设a b 0.ab0a b b a b b ab aba b a b a b (a b ) 02)商值比较法：设a b 0,aba 1,a b 0, abba (a)a b 1.故原不等式得证。bab b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号。讨论 ： 若题设中去掉x 1 这一限制条件，要求证的结论如何变换？题型二分析法：ab b

8、c ca例 2 若 a,b,c 是不全相等的正数，求证：lg + lg + lg > lga+lgb+lgc 。证明：要证lg a b + lg b c + lg c a > lga+lgb+lgc ，222ab bc ca只需证只需证但是，lg··>lg ( a·b · c )，abbcca··> abc。222a b ab 0 ， b c bc 0 ， c a ac 0 。 222且上述三式中的等号不全成立，所以，a b · b c · c a > abc。222因此 lg a b

9、 + lg b c + lg c a > lga+lgb+lgc 。222分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重要条 件练习:在锐角ABC 中 ,求证: tanA tanB 1证明:要证明tanA tanB 1只需证 sin Asin B 1 cosAcosB因为 A、 B 为锐角 , 所以 cosA 0, cos B 0只需证cosAcosB sin Asin B只需证cos(A B) 0因为 C 为锐角 , A B C 为钝角所以cos(A B) 0恒成立所以tanA tan B 1题型三反证法：2例1、已知a 是整数，2 能整除 a ，求

10、证：2 能整除 a.证明：假设命题的结论不成立，即“2 不能整除a”。因为a 是整数，故a 是奇数，a 可表示为2m+1( m为整数)，则22222a (2m 1) 4m 4m 1 2(2m2m) 1 ，即 a2是奇数。22所以， 2 不能整除a 。这与已知“2 能整除 a ”相矛盾。于是， “ 2 不能整除 a”这个假设错误，故2 能整除 a.例 2、在同一平面内，两条直线a， b 都和直线c 垂直。求证：a 与 b 平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线 a 与 b 相交” 。设直线a， b 的交点为M，a， c 的交点为P， b， c 的交点为Q，如图所示，则PMQ 00。这样 MP

11、Q 的内角和PMQ MPQ PQM这与定理“三角形的内角和等于 1800”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线 a 与 b 不相交，即 a 与 b 平行。例 3、求证：2 是无理数。证明：2 不是无理数，即 2 是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设 2p ， p 0 ，q且 p， q 互素，则p 2 q 。所以 2p2 q2 .故 q2是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入式，则有2p2 4k2，即 p2 2k2，所以 p也为偶数。 P 和 q 都是偶数，它们有公约数2，这与p， q 互素相矛盾。因此，假设不成立，即“2 是无理数” 。练习：已知，a,b, c (0,1) ，求证：(

12、1 a)b,(1 b)c,(1 c)a 不能同时大于1 。41111证法一：假设三式同时大于，即 1 a b ，1 b c ，1 c a44441a,b,c 0,1 ， 三式同向相乘得1 a b 1 b c 1 c a ，又641 a a 1 a a 21 ，同理 1 b b 1 ，1 c c 1244411 a b 1 b c 1 c a ，这与假设矛盾，故原命题得证。641证法二：假设三式同时大于，0 a 1 1 a 0 ，41b c 1 1ca133同理1 ,1 , 三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得222222证1 、已知a， b， c 是不全相等的正数，求证：证明：b2

13、 c 2 2bc,a> 0,22 a(b c ) 2abc同理 b(c2 a2 ) 2abc22c(a b ) 2abc因为 a， b， c不全相等，所以b2c2 2bc, c2 a2 2ca, a2 b2 2ab 三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号2、已知a， b， c都是正数，且a， b， c成等比数列，求证：a2b2c2(a b c)2证明：左右=2( ab+bc ac) a， b， c成等比数列，b2 ac又a， b， c 都是正数，所以0 b ac a c a c23、若实数x 1 ，求证：3(1 x2 x4)(1 x x2 )2.证明：采用差值比较法：4、已知

14、a,b,c,d R,求证: ac+bd(a2b2 )(c2 d2 )分析一 : 用分析法证法一 :(1) 当ac+bd 0 时 ,显然成立(2) 当ac+bd>0 时 , 欲证原不等式成立,只需证( ac+bd) 2 ( a2+b2)( c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2 a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd b2c2+a2d22即证 0 ( bc- ad)因为 a, b, c, d R, 所以上式恒成立,综合 (1) 、 (2) 可知 : 原不等式成立分析二 : 用综合法证法二 :( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(

15、a2c2+2abcd+b2d2)+( b2c2-2 abcd+a2d2)=( ac+bd) 2+( bc- ad) 2 ( ac+bd) 2 (a2b2)(c2d2 ) | ac+bd| ac+bd故命题得证分析三 : 用比较法证法三 : (a2+b2)( c2+d2)-( ac+bd) 2=( bc- ad) 2 0, ( a2+b2)( c2+d2) ( ac+bd) 2 (a2b2)(c2d2 ) | ac+bd| ac+bd,即 ac+bd(a2 b2)(c2 d2)5 、设a、 b 是两个正实数，且a b，求证：a3+b3> a2b+ab2证明： (用分析法思路书写)要证a 3

16、+b3> a2b+ab2成立，只需证 (a+b)(a 2-ab+b 2) > ab(a+b) 成立，即需证a2-ab+b 2> ab 成立。 ( a+b>0)只需证a2-2ab+b 2> 0 成立，即需证 (a-b) 2> 0 成立。而由已知条件可知，a b，有a- b 0，所以(a-b) 2> 0显然成立，由此命题得证。( 以下用综合法思路书写)ab，a- b0，(a -b)2>0，即a2-2ab+b2>0亦即a2-ab+b 2> ab由题设条件知，a+b> 0，(a+b)(a 2-ab+b 2) > (a+b)ab即

17、a3+b3> a2b+ab2，由此命题得证基础巩固一、选择题1 设 ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若bcos Cccos Basin A，则ABC()A 锐角三角形B 直角三角形C钝角三角形D不确定 答案 B 解析 由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A，所以，sin(B C) sin2A，sinA sin2A，而sinA>0，sinA 1， A 2，所以ABC是直角三角形2A已知x、y 为正实数，则()2lgx lgy2lgx2lgyC2lgx·lgy2lgx2lgyB2lg(x y) 2lgx·2lgyD2lg(xy

18、)2lgx·2lgy 答案 D 解析 2lg(xy)2(lgx lgy)2lgx·2lgy3设a、 b R，且a b， a b 2，则必有()A 1 ab a22 b2C ab<a2 b22 <1B ab<1<a22b2a2 b2D2 <1<ab 答案 B 解析 ab<a2 b22(a b)14设0<x<1 ，则 a2x， b 1 x， c 1 x中最大的一个是(A aB bC cD不能确定 答案 C解析 因为 b c (1 x)1 x < 0，所以b<c.又因为(1 x)2>2x>0，所以1 x

19、 1 x1 xb 1 x> 2x a，所以a<b<c.13点评可用特值法：取x=J则a=1, b = ：, c=2.5.已知 y>x>0,且 x + y=1,那么（）x+ yx+ yA . x<-<y<2xyB . 2xy<x<-<yx+yx+ yC. x<-Z-<2xy<yD. x<2xyv-<y析解di-y+X1- 2 -y+ 2X贝1- 4 -X3一4?-y 设3- 8故<y, y+ 2 X排除A、B、C,选D.6.已知函数f（x）=| t a> bR+, A=f'呼）B=

20、f（牺），C = f 念;，则 A、B、C 的大小关系为（）A . A< B<CC. B< C<A答案Aa+ b Ooh解析->>/ab>,又函数/a+ bB . A< C< BD. C<B< A1f（X）=（3）X在（一°°, + 8）上是单调减函数,第 23 页a+ b2ab, f（）<f（VS）<f（）.二、填空题7.已知a>0 , b>0 , m= lg 2/a+b n=ig 2，则m与n的大小关系为答案m>n解析因为（g+ 衽 f=a+ b+ 2a/S>3+ b&

21、gt;0,Va+ Vb所以>2，所以m>n.b、c的大小关系为8 .设 a=也，b=V?娟，c=>/6-2,则 a、答案a>c>b解析b=,显然b<c,而 a?=2, c2=8-212=8-V48<8-V36 = 2=a2,所以a>c.也可用a c= 2亚一m=犯一证>0显然成立，即a>c.9 .如果a1Ja + bJb>aVb + bJa,则实数a、b应满足的条件是 答案 ab 且 a0，b0 解析 aa bb>abba? aa bbabb a>0? a(ab)b( b a)>0?(ab)(ab)>0?

22、(ab)(ab)2>0只需 a b 且a，b 都不小于零即可10 已知n N1n 2，求证：> n n 1. 证明 要证 n>nn 1，即证1>n只需证n n 1 >n 1 ，2n 2，只需证n(n 1)>( n 1)2，只需证n>n 1，只需证0> 1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立一、选择题11 设函数f(x)的导函数为f (x)，对任意x R 都有 f (x)>f(x)成立，则()A 3f(ln2)>2 f(ln3)B 3f(ln2)<2f(ln3)C 3f(ln2) 2f(ln3)D 3f(ln2)与 2f(ln3

23、)的大小不确定 答案 Bf lnxf lnx f lnx 解析 令F(x)nxx(x>0)，则F(x)x2，x>0，lnxR，对任意xR 都有f (x)>f(x)，f (lnx)>f(lnx)，F (x)>0，F(x)为增函数，3>2>0，F(3)>f(2)，即 fln3>fln2，323f(ln2)<2 f(ln3) 12 要使3a 3b<3a b成立，a、 b应满足的条件是()Aab<0 且a>bB ab>0 且a>bCab<0 且a<bDab>0 且a>b 或ab<0

24、且 a<b 答案 D 解析 3 a3 b<ab?ab33 ab23 3 a2b<ab.3 ab2< 3 a2b.ab>0 时，有 3b<3a，即b<a；当 ab<0 时，有 3 b>3 a，即 b>a.13 若两个正实数x、 y满足 1 ， 且不等式x y<m2 3m有解， 则实数m的取值范围是()xy4A ( 1,4)B (，1) (4，)C ( 4,1)D (，0) (3，) 答案 B解析 x>0，y>0，x1y41，xy4(xy4)(1x4y)24yx4yx224yx· 4yx4，等号在y4x，即x2

25、，y8 时成立，x4y的最小值为4，要使不等式m23m>xy4有解，应有m23m>4， m< 1 或m>4，故选B.14 在f(m， n)中，m、 n、 f(m， n) N ，且对任意m、 n 都有：(1)f(1,1) 1， (2)f(m， n 1) f(m， n) 2， (3)f(m 1,1) 2f(m,1)；给出下列三个结论： f(1,5) 9；f(5,1) 16；f(5,6) 26；其中正确的结论个数是()个A 3B 2C 1D 0 答案 A解析 f(m，n 1) f(m， n) 2，f(m， n)组成首项为f(m,1)，公差为2 的等差数列， f(m， n) f

26、(m,1) 2(n1)又f(1,1)1，f(1,5) f(1,1) 2× (51)9，又f(m 1,1) 2f(m,1)，f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2 的等比数列，f(m,1) f(1,1) 2·m 12m1，f(5,1)25116，f(5,6) f(5,1)2×(61)161026，都正确，故选A.二、填空题15若sin sin sin 0， cos cos cos 0，则cos( ) .1 答案 12 解析 由题意sin sin sincos cos cos，两边同时平方相加得2 2sinsin 2cos cos 12cos( ) 1 ，1 c

27、os( )2.16已知a、 b、 c 表示 ABC 的三边长，m> 0，abc求证：>.a m b m c mabc 证明 要证明a b > c ，a m b m c m只需证明a b c > 0 即可a m b m c ma m b m c m) sinsin.)sin，a bmcm bamcm c a mbmsin( )cos cos( )sin 2sin cos( )sin( )cos cos( )sinsin( )sin所以原命题成立备用例题1 ： 已知 x, y, z R,a,b, c Rbc2 ca2 ab2求证：xyz 2(xy yz zx)abc证明：

28、由于x，y，zR，a，b，cR，则bc2ca2 ab2所以xyz 2(xy yz zx) .abc备用例题2: 已知 1 tan 1 ，求证：cos sin 3(cos sin )2 tan证明：要证cos sin 3(cos sin )，只需证 cos sin 3， cos sin只需证 1 tan 3 ，1 tan1只需证 1 tan 3(1 tan )， 只需证 tan 2，1 tan ， 1 tan 2 tan ，即 2tan 1.2 tan1 tan 2显然成立，结论得证1 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是 ()A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解 答案C 解析

29、在逻辑中“至多有n 个”的否定是“至少有 n 1 个”， 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选 C.2否定“自然数a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为 ()Aa、b、c都是奇数8 a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数Ca、b、c都是偶数Da、b、c中至少有两个偶数 答案 B 解析 a，b， c 三个数的奇、偶性有以下几种情况：全是奇数；有两个奇数，一个偶数；有一个奇数，两个偶数；三个偶数因为要否定，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”故应选 B.3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A假设三内角都不大于60°

30、B假设三内角都大于60°C假设三内角至多有一个大于60°D假设三内角至多有两个大于60° 答案B 解析“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”故应选B.4用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2 bx c 0( a 0) 有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是 ()A假设a，b，c 都是偶数B假设a、b，c 都不是偶数C假设a，b，c 至多有一个偶数D假设a，b，c 至多有两个偶数 答案B 解析“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数5命题“ABC中，若A>B，则a>

31、;b”的结论的否定应该是()A a<bB a bC a bD a b 答案B 解析“a>b”的否定应为“ab 或 a<b”，即ab. 故应选B.6已知a， b 是异面直线，直线c 平行于直线a，那么c 与 b 的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线 答案C 解析假设cb，而由 ca， 可得 ab，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线故应选 C.1117设a，b，c（， 0），则三数a，c，b中 （）bacA都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2 答案 C 解析 a1b c1a bc1 a

32、1a b1b cc111 a， b， c （ ， 0） ，a 1 c 1 b 1 6bac 三数a、 c、 b中至少有一个不大于2，故应选C.bac8若P是两条异面直线l 、 m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 答案B 解析对于 A，若存在直线n，使nl 且 nm则有 l m，与l 、 m异面矛盾；对于C，过点P 与 l 、 m都相交的直线不一定存在，反例如图( l ) ；对于D，过点P 与 l 、 m都异面的直线不唯一9有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，

33、其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ()A甲B乙C丙D丁 答案C 解析因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手故应选C.2xn(xn3)10已知x1>0，x11且xn12(n1,2 )，试证“数列 xn或者对任意正整数n都满3xn1足xn<xn 1，或者对任意正整数n 都满足xn>xn 1”，当此题

34、用反证法否定结论时，应为()A对任意的正整数n，都有xnxn 1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n，使( xn xn 1)( xnxn 1) 0 答案D 解析命题的结论是“对任意正整数n， 数列 xn是递增数列或是递减数列”， 其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”故应选D.二、填空题11 命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 答案没有一个是三角形或四边形或五边形 解析“至少有一个”的否定是“没有一个”12 用反证法证明命题“a，bN， ab 可被 5 整除，那么a，b 中至少有一个能被5

35、 整除”，那么反设的内容是 答案a，b 都不能被5 整除 解析“至少有一个”的否定是“都不能”13 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC 90°90°C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则AB 90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB 90°.正确顺序的序号排列为 答案 解析由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.14 用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设 设全体质数为p1、

36、p2、pn，令pp1p2pn1.显然， p 不含因数p1、p2、pn. 故 p 要么是质数，要么含有的质因数这表p1、 p2、pn之外，还有质数，因此原假设不成立于是，质数有无限多个 答案 质数只有有限多个除p1、 p2、pn之外 解析 由反证法的步骤可得三、解答题15 已知：a b c>0， ab bc ca>0， abc>0.求证：a>0， b>0， c>0. 证明 用反证法：假设a， b， c 不都是正数，由abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0， b<0， c>0，则由a b c>0，可得c

37、> （ a b） ，又 a b<0，c（ a b）< （ a b）（ a b）ab c（ a b）< （ a b）（ a b） ab22即ab bc ca< a ab ba2>0，ab>0，b2>0，a2abb2（ a2abb2）<0 ，即abbcca<0，这与已知ab bc ca>0 矛盾，所以假设不成立因此a>0， b>0， c>0 成立16已知a，b，c（0,1） 求证：（1 a）b，（1 b） c，（1 c） a 不能同时大于所以 （1 a）b、（1 b）c、 （1 c） a不能都大于4.41 证明 证法1：假设（1 a） b、（1 b）c、（1 c）a都大于4. a、b、c 都是小于1 的正数，1a、1 b、 1 c 都是正数12，（1 b） c 1 （1 c） a 1， 22.22.三式相加，得（1 a） b 2（1 b） c 2（1 c） a 3，22证法2：假设三个式子同时大于1114，即（1 a）