一元二次方程的解集及其根与系数的关系

1、一元二次方程的解集及其根与系数的关系丹东市教师进修学院宋润生只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式为ax2bx c 0(a 0),其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项.一、一元二次方程的解集使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解(根)的集合叫做一元二次方程的解集.设一元二次方程ax2bx c 0(a 0)的解集为M ,b24ac.(1)当0时，Mb&4ac,b扣4ac2a2a(2)当0时，M .

2、(3)当0时，M .例1 .不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x23x 4 0； (2) ax2bx 0(a 0) ； x2bx b21 0例2.已知关于x的方程kx22 (k+1) x+k 1=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k的值；若不存 在，说明理由.解：(1) ( 1,0)u(0,).(2)x1乂20,所以2(；1)0, k 1 ,不满足0,所以不存在实数k,使此 方程的两个根是互为相反数.二、一元二次方程根与系数的关系X2x1x2也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次

3、项系数除以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.这就是元二次方程根与系数的关系，也叫 韦达定理(法国数学家弗朗索瓦韦达(Fran?ois Vi cte,i540i603).韦达定理的应用(1)不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根;(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数;(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于Xi、X2的对称式的值.此时，常常涉及代数式的一些重要变形;Xi当0时，一元二次方程有ax2bx c 0(a0)有两个不相等的实数根b . b24ac，a x2bb24ac加,- .那么2aXi2a2aXiX2

4、b)2(、,b 4ac)2xix22a2a4a20时，一元二次方程有aXbx0(a0)有两个相等的实数根b.那么XiX22aX1x2b24 a24ac c24a a如果一元二次方程ax2bX c0(a 0)的两个实数根是Xi , X2,那么XiX2XiX2X2x1x2也冬也(XiX2)22XiX2例如：Xi2X2211一XiX22(X1X2)2X1X2.XiX2xix22xix2xi2x2xix2(xix2).(x1x2)2(x1x2)24x1x2.(mx1n)(mx2n) m2x1x2mn(x1x2) n2.例3.已知方程x22x c 0的一个根是3,求它的另一根及c的值. 一 .-11例4

5、.求作一个一兀二次万程，使匕的两根分别是3- , 2- 例5.设x，x2是方程2x2J6x 1 0的两根，不解方程，求下列各式的值:(1)22x1x2; (2)2(x1x2)；(3) (x-)(x2-) .x2x例6.在Rt AABC中，Z C=90 ,a, b, c分别是Z A, ZB, ZC的对边，a, b是关于x的方程x27x c 7 0的两根，求AB边上的中线长.练习题1.下列方程，有实数根的是A. 2x2x 1 0 B. x23x 21 0 C. x20.1x 1 0D.x2203 0答案：C2.设关于x的方程x2(2k 1) x= k2+2k+3,当k为何值时，(1)有两个不相等的

6、实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？答案：(1)(马)；(2)与；(3) (,13).4443.已知关于x的方程-x2(m 3)x m20有两个不相等的实数根，若m Z ,那么m的4最大值是.3答案：m , m的取大值正1.24.已知一元二次方程x26x 5 k 0的根的判别式=4,则这个方程的根为.答案：k3,根为2和4.5.若关于x的一兀一次方程kx 2x 1 0有两个不相等的实数根，贝Uk的取值范围是A .(1,)B. ( 1,0心0)C.(,1)D. (,0)(0 1)答案：B6.关于x的一元二次方程x2(m 1)x m 2 0A.没有实根B.有两相等实根C.有两不相等

7、实根D.可能有实根答案：C, m22m 9 0.7.已知a, b, c是MBC的三边长，且方程(a2+b2) x2-2cx+1 = 0有两个相等的实数根.请 你判断MBC的形状.答案：直角三角形，0，得c2a2b2.8.关于方程x22x 3 0的两实数根是x, , x2,的说法正确的是A.x,x22 B.x,x23 C.x,x22D.以上都不对答案：D9.已知方程5x2kx 6 0的一个根是2,则它的另一个根及k的值分别为 .,， 一3答案：k的值7,另一个根 -.510.已知方程x2-2 (m2-1)x+3m=0的两个实数根的倒数和等于0,贝UA . m=B.m=-1C. m=1D.m=0答

8、案：B211.一兀一次方程2x6x3 0的两根为、，则()2A . 3B.6C. 18D.24答案：A一211、，12.已知3x 2x 1 0的两实数根是x1 ,x2,则一 一的值为 答案：213.若方程x22x 20的两实数根是x，x2,则x1(x12) x?(x22)的值为.答案：414.设x1 ,x2为关于x的方程x2+2mx+m2+3m - 2=0两个实根，求x1(x1x2) x22的最小值.答案：-.12m 8 0, m - .x1(x1x2) x22(x1x2)23x1x2m29m6 ,932. 4当m-时取最小值一 .3911x x22xg3 5(2 a 1)x a20的两个实数

9、根，若W 2)g 2) 11 ,答案:求a的值.答案：1.1 4a0时，x1x221a2a十.所以(Xi2)(X22)X1X2x1x22(x1x2) 42_a 4a 6因为(xi2)(x22) 11,所以2a 4a 5 0,解碍a 1或a 5.215.已知x1 ,x2是关于x的万程x0不成立，所以a 1 .x 2018 0的两个实数根，则a22a b的值为k 6k 232-1得k 6k 27 0,所以k 3或k 9.其中k4的两根，求m, n的值.x1x2mAm1x1x2nnm 2m1答案：.n 3x11x21nn2m 1n3(X 1)(x21)m20.以19.已知 x x1,x x2是关于x

10、的方程x2+mx+n=0的两根，x+1 , x2+1是关于x的方程x2+nx+m=01和J21为根的一个，兀一次方程为当a 5时，16.设a, b是方程x2答案：2017.a22ab (a2a) ab 2018 ( 1) 2017 .17.已知关于x的方程22x mx 2 m1 0的两根的平方和等于4,m216m 8 0.22Xx22(x1x2) 2x1x2求m的值.m28m 4-,2m 8m 20 0 ,解得m 10或mm 10使0.18.若方程2x2 (k+ 1)x+ k+ 3 = 0的两根之差是1,求k的值.答案：k 9.k26k 23 0 .(x1x2)2(x1x2)24x1x2k26

11、k 23人-.令421.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程_ 2_5x 2x3 0各根的负倒数.3使0.答案：x22x250.因为362x1x-15 5, ,所以(一)(3xx2(1)(告1 ?x1x2x1x2622.设一元二次方程x2 33x 2 0的两实数根是x，x2,以x12,x22为根的一个一元二次 方程为.xi2322.2_22答案：x 13x 4 0.因为，所以x1x2(x1x2)2x1x213, x1x24 .x1x2223.对于方程x2+bx 2=0,以下说法正确的是A.方程有无实数根，要根据b的取值而定B.无论b取何值，方程必有一正根，一负根C.当b0时，方程两根为正

12、；b0时，方程两根为负D.因为一20B. ac 0C. ab 0D. ac 03-.一韦达定理3a1 ,满足0,所以a 1 .a2(2)右k 1 ,方程(k 1)x 3x 2 0有头数根x；317o右k 1,当判别式17 8k 0,即k一时，方程(k 1)x23x 2 0有实数根,8因为k N ,所以k 0或k 2 .当k0时，11；当k1时，10；当k2时，k 1-不存在k 2 2k2k 227.已知_2_ _23x22018x 6 0 , 6y22018y30,若xy 1 ,则xy11A . 2B.2C.D.-22答案：A解：因为y是方程6y22018y 3 0的根，所以1是方程3x22018x 6 0的根.y而x是方程3x22018x 60的根，xy 1,所以x与1方程3x22018x 6 0的两1cx 2 .yy个不问头数根，由韦达7E理得xy28.已知方程组x2y ax y 1 020 x0的两组解分别为yx.xx21和2(x1y1y y2x2),若x12x223x1x28a26a 11.(1)求a的值；(2)不解方程组判断方程组的两组解中的每一个数能否都为正数，为什么解:(1)2, x由y a 20,曰2得xx a 1 0,4a 3 0,x1x21-.所以xy 1 0 x1x2a122xx23x1x2(x1x2)25