两次相遇行程问题地基本解法

1、两次相遇行程问题的基本解法例1.甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇 后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在 距B地60千米处相遇。求 A B两地间的路程。分析与解根据题意可画出下面的线段图:由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了 3个全程，第 一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了 8O千米。两车同时出发 同时停止，共行了 3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了 8X3= 240（千米）， 从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多 60千米，所以A、B两地间的路程就 是：240 60=180 （千米）例2.

2、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相 遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次 在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。分析与解根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了 8O千米。两车同时出发 同时停止，共行了 3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80X3=240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少 60千米，所以A、B两地 间的路程就是：（240+ 6Q +2=150 （千米）可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓

3、住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。寻找最佳的解题方法 有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多 个角度去想就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解 题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。例 某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽 车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？解法一：先求一辆汽车一大运沙子的吨数，再求12辆汽车一大运沙子的吨数，减去第一大运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。6 + 6X1296=96 （吨）解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12

4、辆汽车每天运的吨数，最后 减去6辆汽车每天运的吨数。96X （ 12+6） 96=96 （吨）解法三：先求一辆汽车一大运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车， 这多 的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。96+6X （ 126） =96 （吨）答：第二天比第一天多运48吨。你认为哪种算法最好？我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？例 某饭店买回一桶豆油，连桶称共有 210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重， 从中去掉 210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。

5、120X 2 210= 30 （千克）解法二：先求出半桶豆油的重量，再从 120千克中去掉这半桶豆油的重量， 也可得桶重。120 （210-120） =30 （千克）解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量， 这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。210 （210X2 120X2） =30 （千克）解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。210 （210120） X2 = 30 （千克）解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。（120 210+2） X 2=30 （千克）答：油桶重30千克。我们再来看一道题：师傅要加工3080个零件，

6、他用4天加工了 280个零件。 照这样计算，加工剩下的零件还需要多少大？解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少大。(3080 280) + ( 280+4) =40 (天)解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少大， 最 后求还需要加工多少大。3080+ (280+ 4) 4=40 (天)解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零 件一共需要多少大，最后求还需要加工多少天。4X (3080+ 280) 4=40 (天)解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件 数的多少倍，最后求还需要加工多少天。4

7、X ( 3080 280) +28 =40 (天)答：加工剩下白零件还需要40天0一道思考题的三种解法题目是这样的：选择+、X、一中的运算符号，把下面各题连成算式，使它 们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1) 2 2 2 2 2 =0(2) 2 2 2 2 2 =1(3) 2 2 2 2 2 =2(4) 2 2 2 2 2 =3(5) 2 2 2 2 2 =4(6) 2 2 2 2 2 =5(7) 2 2 2 2 2 =6(8) 2 2 2 2 2 =7(9) 2 2 2 2 2 =8(10) 2 2 2 2 2 =9下面向你介绍三种解这道题的方法， 希望你能受到启发，

8、从而举一反三，学 会解更多的思考题。猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如(1)题, 先试 2X2 + 2+2 2W0,后试 2 + 2 + 2 2 + 2W0最后试得 2+2+2+22 =0,成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠 拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如(2)题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或 者除号。如添上减号，使原题变成 2 2 2 2 =3。同理又因3>2,故可在等号左 边第二个2的前面添上加

9、号，使原题变成2 2 2 =1。这时就很容易看出2 2 + 2 =1 了。综合前两步逆推，就得到 2 2 + 2 + 2 2=1的一种解法。如继续作其 它逆推，还可得到第二、第三种解法。前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。下面请看第三种解法。凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如(3)题，可以让等式左边的5个2两两相减得0,剩下的一个2当然就和等 式右边的2相等了，即22+22+2=2。从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方 法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一

10、样吗？你还有更好的方法吗？ 如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大 提高的。好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。选择适当的运算符号和括号，使下式成立。(1) 2 3 5 7 1 =2 (2) 2 3 5 7 1 =4(3) 2 3 5 7 1 =6 (4) 2 3 5 7 1 =8找出等量关系解决复杂应用题同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的 等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。题目修一多公路，已修和未修长度的比是1:3,再修300米后，已修和未 修长度的比是1:2。这条路长多少

11、米？(九年义务教育六年制小学数学第十二册 思考题)分析与解解法一：这道题的条件是：再修 300米后，已修和未修长度的比是1: 2 , 这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的 长度为x米，那么未修的长度为3x米。, 2（x+300） ： （3X-300）= 1：2 工 3 + 2尸9即x+ 3X=9DO+9COX 3 = 3600 （米）需这条路长360咪，一 解法二工如果把条件品已修和未修长度的比是1B,再修3口米后，已修和未修长度的比亶一I12以转化为；已修亲款是未修米散的行，再修3期米，已修米数是未修米数密万又因为公路的总1 2米敷是“不变董"，我

12、们把它看作单位苗产，所以，已修的米敬就是总米数的4=a,再修1 £ 1300米后，已修的米数就是总半数的' = §，由此可知，3口味就相当于总半数的1司 所以 1 1可列式为3m2 （ 1 + 2 1+3） =300- 12=3600 （米）答：这条路有36cl口米，利用双向思考解决奥数题早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题）此题可以用三种方法来解。解法一：画线段图来解。小明» I =M .kn . T爸爸工1-2喀10* 成

13、耳妈：i由图可见，小明比妈妈跑的路程长。解法二：用方程解。设小明跑了 100米，爸爸跑的路程就是100X220= 180 （米），再设妈妈 跑了 x列出方程：2x+10= 180 x=85 （米）即妈妈跑了 80米，可见小明比妈妈跑的路程长。解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为 x米、y米、z米，根据题意 可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：y = 2x20- y = 2x+20y = 2x+10- y = 2x10 （x>z）即小明比妈妈跑的路程长。画图法解决奥数难题一个山清水秀的村子里有三个好朋友： 小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打 鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了

14、一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下 休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有 吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。 他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明 和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己 拿走一份。最后还剩下8条鱼。第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩 下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？这个问题直接从文字上分析有一定难度， 为了帮助我们理解题意，启发解题 思路，可以根据题意，画出下面的线段图。由于

15、最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8+2条。 那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是 8+2X3条，这占小刚分的三份中的 两份，所以小刚拿走的鱼是（8 + 2X3） +2;同样可得知小明拿走的鱼是（8 + 2X3） +2X3 +2 条。所以打的鱼一共是（8+2X3） +2X3 +2X3 = 2 7 （条）。当然,我们还可以从小强第一天拿走的鱼是 8一条和第二天又拿了 5条知道， 每人平均拿了 8 + 2+5条，所以打的鱼一共是（8 + 2+5） X 3 = 27 （条）。小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了 另外两个朋友。一次，小明从山里来了一

16、筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚， 然后又给小刚加了 1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了 1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢?可以按照上次的方法，先画出下面的图。小刚的1布小曼.I礼螃小5个然后列出算式：(5+l ) X2+1 X2= 6X2+1 X2=26 (个)答：筐里一共有26个山梨。你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来， 对于复杂的题目，可以根 据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系，也就比较容易列出算 式、求出结果。逆向思维的巧

17、妙运用逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来， 用对立的、看上去似乎不可 能的办法解决问题的思维方法。利用这种思维方法，可以巧妙地解决一些我们正 常思维所不能解决的问题。比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共100, 一共花了 17元钱。他买了 1 角和2角邮票各多少？解这一题目，假设买来的100都是2角邮票，那么总钱数应为：2X100= 2 00 (角)=20 (元)。可实际上小远只花了 17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的 邮票。若有一 1角邮票，总钱数就相差1角。由此可求出1角邮票数为：3元=30角，30+1 = 30 (

18、)。2角邮票数为：100 30= 70 ()。请你用这种方法算出下面的题目：三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只， 如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？利用周密的推理解决难题J解答奥数习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我 们要善于挖掘题中所隐含的条件， 把它作为推理的依据，有次序地进行，使前面 得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。有这样的一道题：甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有：100米、 40印、800米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得 5分、2 分、l分；乙800米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲 22分，乙、 内各得9分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？由题中条件可知：乙800米赛跑得第一名，乙得5分；而甲总分是22,只 有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得 22分，很显然， 甲只能是800米得第二名，其余四项均为第一名；由于参加比赛的只有三人，每 人每项至少能得第三名，拿1分；乙只有除80印外四项都得第三名，才会获得 9分(5+ l+1+1+1);那么剩下的名次