习题与复习题详解线性空间高等代数0001

1、习题5. 11 .判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的 封闭性.由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实 对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是 n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与 数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间.2 .全体正实数艮其加法与数乘定义为a b abk oa ak其中 a,b R ,k R判断R按上面定义的加法与数乘是否成实数域上的线性空间答是.设，R.因为 a, b R a b ab R ,R,a R oa a R ,所以R对定义的加法与数乘运算

2、封闭.下面一一验证八条线性运算规律(1) a b ab ba b a;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c)；(3) R中存在零元素1, aR,有alala；(4) 对R中任一元素a ,存在负元素a 1 Rn,使 a a 1 aa 1 1 ；_1(5) 1oa a a ；(6)o oa oa a aoa ；(7)oa a a a a a oa oa ；所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间.3,全体实n阶矩阵，其加法定义为按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间 答否.A B与B A一定相等.全体实n阶矩阵按定也就是说集合对加

3、法不故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则(1 )义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间4.在P22中，W A/ A 0,A P2 2 ,判断W是否是P2 2的子空间.答否.1211 23例如 和的行列式都为零，但的行列式不为零，1 23 34 5封闭.习题5.21 .讨论p2 2中的线性相关性.ax1 x2 x3 x4 0a 1 1 1即x1 ax2 x3 x4 0 ,由系数行列式1 a 1 1(ax1 x2 ax3 x4 01 1 a 1x1 x2 x3 ax4 0111a解 设 x1A x2A2x4A4 O ,33)(a 1)知，a 3且a 1时，方程组只有零解，这组向量线性无关;2

4、.在R4中，求向量在基1, 2, 3, 4下的坐标,其中X4 41210M0初等行变换1111M00301M01101M1故向量在基12, 3, 4 下的坐标为(1, 0 , - 1 , 0 ).x1 1x2 2x3 3x4 4X1 0X2 X3 X42则有X1x2 x3 0x4x1 x 0x3 0x4 4X1 0x2 0x3 0x471000M7初等行变换0100M110010M210001M307 1 11 2 21 3 30 4.故向量在基1，2，3，4下的坐标为（-711, -21 , 30)4.已知R3的两组基111(I)：(n)：1=1，2=0，3=01-111231=2，2=3，

5、3=4143（1）求由基（I）到基（n）的过渡矩阵;1（2）已知向量 在基2, 3下的坐标为 0，求在基Q2, 3下的坐标；-11（3）已知向量在基1, 2, 3下的坐标为-1，求在基1, 2, 3下的坐标；2（4）求在两组基下坐标互为相反数的向量解（1）设C是由基（I）到基（n）的过渡矩阵 ，由知基到基（n）（2）首先计算得C于是在基1, 2,（3）的过渡矩阵为1201232132下的坐标为C在基1, 2, 3设在基下的坐标为C3下的坐标为y1y2y332012y1y2y3y1y2y3V10解此方程组可得y2 =k 4 , k为任意常数.生 34k123k 3 k 07,k为任意常数.5.已

6、知P X 4的两组基f1（x）231 X X X , f2（X）2X , f3（X） 1 X,f4（x）（n）：g（x）23X X X , g2（X） 1X3, g3（X）1 XX3, g4（X）1(1)求由基(i)到基(n)的过渡矩阵;(2)求在两组基下有相同坐标的多项式 f (x).解（1 ） 设C是由基（I）到基（fl）的过渡矩阵，由回回4 c有(1,x,x2,x3)01111011110111101231(1,x, x , x )110110110010 C .0010 C01101111110123（2）设多项式f (x)在基下的坐标为T （%,加木3,乂）.x1据题意有C x2x3

7、x为x2x3x4(CE)xx2x3x*)0001111111010122所以方程组（*）只有零解，则f（x）在基（下的坐标为（0,0,0,0） T，所以f（x）习题5.3证明线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.证明 设线性方程组为 AX= 0,对系数矩阵施以初等行变换.Q R(A) 2线性方程组的解空间的维数是5- R（A） 3 .实系数多项式空间Rx3的维数也是3,所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间Rx3同构.习题5.41 .求向量 1, 1,2,3的长度.解 . 12 ( 1)2 22 32,15 .2 .求向量 1, 1,0,1与向量 2,0,1,3之间的距离.解 d

8、( , ) |(1 2)2 ( 1 0)2 (0 1)2 (1 3)27.3 .求下列向量之间的夹角(1) 1,043,1,21 1(2) 1,2,2,3 ,3151解(1) Q(3) 1,1,1,2 ,31 1,01 ( 1) 0 2 4 1 3 ( 1) 0, a,1 3 2 1 2 5 3 1 18,18arccos6 18(3) Q1 3 1 1 1 ( 1) 2 0 3,| |1-1-1_4.7 ,| |四一11一0 .11 ,arccos77.3.设，为n维欧氏空间中的向量，证明：d( , ) d( , ) d(,).证明 因为I I|2 (,)所以 I (| I|)2,从而 d(

9、 , ) d( , ) d(,).习题5.51.在R4中，求一个单位向量使它与向量组11,1, 1, 1 ,21, 1, 1,1 ，31, 1,1, 1 正交.解设向量(Xi ,X2, X3,X4)与向量 1, 2,3正交，则有X2X2X2X3X3X3X4X4X*)齐次线性方程组(*)的一个解为X2x4 1.(1,1,1,1),将向量单位化所得向量=(-，-2 22.将R3的一组基化为标准正交基.(1 )正交化，取(1,(1,2)1)1112 11111111132313(2 )将3单位化1*, 2, 3为R的一组基标准正交基.3.求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基.所以只需求出一分析

10、因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基, 个基础解系再将其标准正交化即可 解对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 可得齐次线性方程组的一个基础解系1110 ,00101 ,0010041由施密特正交化方法，取1/21/31/21/311n11/3110，22 1200将1, 2, 3单位化得单位正交向量组因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解，所以1*,；,；是解空间的一组标准正交基.3.设1, 2 , , n是n维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，证明：A 1, A 2，A n也是Rn中的一组标准正交基.证明 因为

11、1, 2, , 0是门维实列向量空间Rn中的一组标准正交基，所以t 0 i j(i, j) i j d . (i，j 1,2,L ,n).1 i j又因为A是n阶正交矩阵，所以ata e.则故A 1,A 2, ,A n也是Rn中的一组标准正交基.5.设1，2, 3是3维欧氏空间V的一组标准正交基，证明也是V的一组标准正交基.证明由题知所以1 , 2，3是单位正交向量组，构成V的一组标准正交基.习题五(A)一、填空题1 .当 k 满足 时，11,2,1 , 22,3,k ,13,k,3 为R3的一组基.解三个三维向量为R3的一组基的充要条件是I 1, 2, 3 0,即k 2M k 6.2 .由向

12、量 1,2,3所生成的子空间的维数为.解 向量 1,2,3所生成的子空间的维数为向量组 的秩，故答案为1.3 .R3中的向量3,7,1在基i 1,3,5, 26,3,2 , 33,1,0下的坐标为 .解根据定义，求解方程组就可得答案.设所求坐标为（X1,X2,X3）,据题意有X 1X22X33 .为了便于计算，取下列增广矩阵进行运算M 154M 82 ,M 33361M3100133M7初等行变换010025M1001所以(x,X2,X3)= (33,-82,154).1,0,1 , 32, 5, 1的过渡矩阵为4 .R3 中的基 1, 2, 3 到基 12,1,3 , 221解因为(1, 2

13、, 3)( 1, 2, 3)103122125 ,所以过渡矩阵为10513115 .正交矩阵A的行列式为 解AT A |E|A2 1 A 1 .6 .已知5元线性方程组 AX= 0的系数矩阵的秩为3,则该方程组的解空间的维数为 .解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组（基础解系）含 5-3 =2个向量，故解空间的维数为2.7 .已知 12,1,1,1, 22,1,a,a , 33,2,1,a , 44,3,2,1 不是 R4 的基且 a 1,则a 满 足 解 四个四维向量不是R4的一组基的充要条件是| 1, 2, 3, 4 0,则a 3或1.故答案为a 2二、单项选择题1.下列向量

14、集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是().(A)Vi，,0,0,5 X1,X(B)Xi,X2, ,XnX1x2Xn 0,为(C)V3X1,X2,XnX1x2Xn 1, Xi(D)V4X1,0,L ,0,0 X1R解(C )选项的集合对向量的加法不封闭故选（C）.2.在P33中，由A生成的子空间的维数为（3(A)(B)(C)(D) 41向量组A生成的子空间的维数是向量组A的秩，故选（A）.选项中（,23 3,3 31)=( 1, 2,又因,3线性无关且可逆，所以12 2,23 3,3 31线性无关.故选（B）.2)( 23)0,所以（C）选项中向量组线性相关，故选（C）.5. n元

15、齐次线性方程组AX= 0的系数矩阵的秩为r,该方程组的解空间的维数为s,贝U().(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r选(B)6 .已知A, B为同阶正交矩阵，则下列()是正交矩阵.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA (k 为数) 解A, B为同阶正交矩阵 ab(ab)t abbtat aat e故选(C).7 .线性空间中，两组基之间的过渡矩阵().是正交矩(A) 一定不可逆(B)一定可逆(C)不一定可逆(D)阵选(B)(B)1 .已知R4的两组基(I ) ：1, 2, 3, 4(U).11234, 2234 , 334 ,

16、44(1 )求由基(n)到(I)的过渡矩阵；(2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解(1)设C是由基(I)到基(n)的过渡矩阵，已知10 0 0()()110 0(1 , 2 ,3, 4)(1 , 2, 3, 4)/ 八,11101111所以由基(n)到基(I)的过渡矩阵为100 0n 11100C.0110001 1（2）设在两组基下有相同坐标的向量为，又设 在基（I）和基（n）下的坐标均为（Xi，X2，X3，X4）,由坐标变换公式可得XiXiX2X2CX3X3X4X4Xi即(E C) X20X3X4(*)齐次线性方程（*）的一个基础解系为(0,0,0,1),通解为 X (0,0,0, k)

17、 (k R).故在基（i）和基（n）下有相同坐标的全体向量为010 2 0 3 k 4 k 4 (k R).解(1 ) 由题有0,所以1，2，3线性无关001100111222故1，2，3是3个线性无关向量，构成R3的基.(2 ) 因为0 10所以从基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵为-1 -1 20 1011， 2， 3.1, 2, 3)-1 -1 22-52所以向量在基1, 2, 3下的坐标为5 .1解（1）因为由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矢I阵为C =2 10 0110 00 0 3 50 0 12所以(1,2， 3,1， 2， 3， 4)C12 0

18、02 10 00 0 120 0 2 11-100-12000 02-50 00010 0 37所以13000037(2 ) Q111232 4( 1，2，3，4)/12111(1，2，3，4)C1201(1，2， 3，4) 12701向量 123 2 4在基1，2，3，4下的坐标为12-7证明 设 t"1(x) 12f2(x) 13f3(x)0，则有 t1(1 xx2) t2(1x2x2)t3(12x3x2)0t112t30111即t1 t2 2t3 0 (*)因为系数行列式11210t1 2t23t30123所以方程组(*)只有零解.故f1(x)，f2(x)，f3(x)线性无关，构成线性空间Px3的一组基.设 f (x)Y1 f1(x)y2 f2 (x)y3 f3(x)V1y2y36Vi1则有V1y22y39V22y12 y23y314V33所以f(x)在基fi(x), f2(x), f3(x)下的坐标为(1,2, 35