(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

1、坐标系与参数方程 知识点 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ?g?(0)xx?:的作用设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?g0)y?y(?),Py(x为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,下,点P(x,y)对应到点,称简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 OO引一条射自极点叫做极点如图所示,在平面内取一个定点,Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)线及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,

2、而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 ?OxO为始;,记为以极轴与点M的距离|OM|叫做点M,设M是平面内一点极点的极径?)(,xOMOM?叫做点.有序数对边,射线M为终边的角的极坐叫做点M的极角,记为?)(,M. ,记作标?0,?可取任意实数. ,我们认为一般地,不作特殊说明时?M平面内一个,和直角坐标不同R).,它的极坐标为(0, )(特别地,当点在极点时. 点的极坐标有无数种表示?)?0,0,?2(?;平面内的点可用唯一的极坐标那么除极点外,如果规定,表示?)(,. ,同时表示的点也是唯一确定的极坐标 极坐标和直角坐标的互化3.并在两种坐标系把直角坐

3、标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,(1)互化背景: 中取相同的长度单位,如图所示 ),y(xM是标,角坐标是极坐直:(2)互化公式设内是坐标平面任意一点,它的?0),?(: (),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表?)y)x,(,M 直角坐标极坐标 点222?y?x?cosx? 互化公式?y?sin?y?(x?tan0)?x?tanM所在的象限最小正角. 确定角时在一般情况下,由,可根据点4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径?)?2?r(0 r 为的圆 ,0)r(半径圆心为,?)(?2?rcos 22r 为的圆 ?),r(,圆半为心2?)?sin2r(0

4、r 的圆径为 (1倾斜角过极的直00(2) ,0)(a与极轴,过点?)?cos?a( 22 垂直的直线 ?)(a,极过点与,2?)?sin?a(0 轴平行的直线 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即?),?),(?,2),(?),(?,?(,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足?,()M,?可以表方程点示为例极坐标方程即可.如对于极坐标44?5?)或(-,)(,?2,)(,?2)或的极坐标满足方,只有等多种形式,其中44444444?. 程二、参数方程 1.参数方程的概念 tyx,的函数都是某个变数,如果

5、曲线上任意一点的坐标一般地,在平面直角坐标系中x?f(t)?tM(x,y)都在这条曲线上由方程组所确定的点的每一个允许值,并且对于,?y?g(t)?ty,x叫做参变数,联系变数简称参数,的变数相对,那么方程就叫做这条曲线的参数方程于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 一般地可以通过消去参数而从,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式(1)参数方程得到普通方程. ty,xx?f(t),把它代入普通方程中的一个与参数,如果知道变数的关系,例如求(2)x?f(t)?)ty?g(就是曲线的参数方程,那么出另一个变数与参数的关系在参数方程与?y?

6、g(t)?x,y的取值范围保持一致普通方程的互化中,必须使. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3圆的参数 MOOMr上作，点出发，按逆时针方向在圆如图所示，设圆从初始位置的半径为0?cos?rx?),yM(x为参数()。匀速圆周运动，设，则 ?sinr?y?OMOr转过的角的圆的参数方程，其中这就是圆心在原点的几何意义是，半径为0度。 222r?y?(?b)(x?a),b(ar ，圆心为，半径为的圆的普通方程是?cosra?x?为参数)(。 它的参数方程为：?sinr

7、b?y?4椭圆的参数方程 22yx?1(a?b?0),xO其参以坐标原点轴上的椭圆的标准方程为为中心，焦点在 22ab?cosax?y)(为参数轴上的椭圆的标准方数方程为其中参数焦点在称为离心角；，?sinby?cosbx?22?xy?0),?a?b?1(),(为参数仍为离心其中参数程是其参数方程为? 22?basinay?）。 0，角，通常规定参数2的范围为?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一椭圆的参数方程中，参数注：?20到区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在点的旋转角?0?时，相应地也有，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当的范围内） 2?0，在

8、其他象限内类似。 25双曲线的参数方程 22yx?1(a?0,b?0),xO轴上的双曲线的标准议程为以坐标原点为中心，焦点在 22ab?secax?3?且,?0,2?.)(为参数，其中 其参数方程为? ?tanby?22?22xy?1(a?0,b?0),y其准方程是参数方程为焦点在上轴的双曲线的标 22ab?cotbx?.且(0,2?()为参数，其中e? ?csc?ay?都是双曲线上任意一点的离心角。以上参数 6抛物线的参数方程 20)p?2px(y?为方程的参的标原点为顶点，开口向右抛物线数以坐2?pt?2x(t为参数). ?y?2pt?7直线的参数方程 ?(x?xyy?)M(x,y?tan),)(?l的普通方程是，经过点倾斜角为的直线 000002?cos?xtx?0?),xyM(t为参数)l。的直线而过 ，倾斜角为的参数方程为?000?sin?ty?y?0?),yM(xl的参数倾斜角为直线参数方程中参数的几何意义：过定点，的直线注：000?cost?x?x?0tM)(t为参数l为起点，任一点方程为，其中上以定点表示直线?0?sinty