ch3-3洛必达法则ppt课件

1、3.3 洛必达法则问题:本节讨论以下七种不定型的极限计算问题 :0(1) 00 (7) (3) 0 (2) (4) (5) 1 0 (6) 0 注意:这七种不定型中以 , 为基本不定型 , 00 其余五种都可化为这两种基本不定型 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xgxfxgxfxgxfxgxgxfaxgxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理6定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下

2、通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxgxg,),(xaN内任取一点内任取一点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条xgxf则有则有)()()()()()(agxgafxfxgxf )()( gf )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxgxfax ,)()(limA

3、gfa .)()(lim)()(limAgfxgxfaax 使使用用洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续满满足足型型，且且仍仍属属如如果果)(),(00)()(xgxfxgxf .)()(lim)()(lim)()(lim xgxfxgxfxgxfaxaxax注：定理中的条件 (3) 是重要的 例例解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(例计算下列极限x xx1210lim)(xarcx xcot)ln(lim)(112解 (1)1221200lnlimlimxxxxx (2)xarcx xcot)

4、ln(lim111122xxxxlim22111111xxxx)(lim2ln 说明：利用洛必达法则要与其他的极限计算方法结合起来使用 例计算3x0sin 44sin limsinxxx解原式洛203444xxx xcoscoslimxxx x644160sinsinlim10644640 xx xcoscoslimx30sin 44sin = limxxx洛洛例计算xxxx xtanarctansinarcsinlim0解 原式xxxx x222011111coscoslim2220111xxxx xcoscoslimxxxxxxxx x2211220sincossincoslimxxxxx

5、xx xsincoscos)(sinlim2012121112120 xxxxxxx xcossincossin)(lim洛洛整理分子、分母 同除 x例计算)sinln(limcosxxee xxxx110解这是一个 型的不定型 , 但直接利用洛必达00法则计算比较繁琐 , 先利用等价代换简化问题 分子:)(cos1111xxxcosx-xeeee)cos(xex11221xe分母:21xxxxxsin)sinln(原极限22021xxe x lime21.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(,)2(;)()(,)1(xgxfxgxfxgxfxgxgxfax

6、gxfaxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在且且都存在都存在及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在都趋于无穷大都趋于无穷大及及函数函数时时当当设设定理定理7例例解解axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 .sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbxbaxaxsinsincoscoslim0 axbxbaxsinsinlim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos

7、6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式2203tanlimxxx 22031seclimxxx 220lim31xxx .31 例计算)(lim0 xe xx解这是一个 型的不定型 .设 1n n 利用洛必达法则 , 有 xe xxlim1 xe xxlim21 xe xx)(lim)(

8、)()(lim011n xne nxx )()()(lim0111n xne nxx nxe nxx)()(lim 11说明: 上例说明 , 无论正数有多大 , 当 x时 , ex 的增长总比幂函数 x的增长快例计算)(lnlim0 xx x解 这是一个 型的不定型 ,利用洛必达法则 , 有 xx xlnlim011 xxlim11 xxxlim说明: (1) 上例说明: lnx 的增长总比幂函数 x慢 (2) 进一步可以证明: 对任意 0 , k 0 , 有 0 xx kxlnlim型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类

9、型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或例计算)(lnlim00n xx nx解xx nxlnlim0nxxx 10lnlim洛101nxxnx lim00nx nxlim例求极限xx x2121 tan)(lim解)( 型型0原极限xxx x22121 cossin)(lim) (型型00 xx x2121 coslim洛xxx2221 sinlim 4241xsinxxlim例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxx2cos1lim0

10、. 0 型型 . 2步骤步骤:20sinlimxxxx 2sinlim0 xx 19例计算)ln(limxxx x112解这是 . 不不定定型型原极限)ln(limxxx x1112)( 型型021111xxx x)ln(lim322211111xxxx xlim洛21111322xxxx xlim212122xxx xlim步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1010解解.lim11

11、1xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式4、洛必达法则在求数列极限中的应用 下面的定理说明 , 有些数列极限可转化为函数极限来计算假如定理对于数列, )( , nfaann Axfx )(lim( 或 )则有Aann lim( 或 )例计算极限14nnnlim tan (

12、) 解 取,)tan()(xxxf14 那么),(nfan 而 xxxxxf)tan(lim)(lim14 )lntan(limxxxe14 )lntan(limxxx14 )lntan(limxxxe14 xxx114)lntan(lim xt1 ttt)lntan(lim 40 洛24420 )tan()(seclimttt 所以214ennn )(tanlim 几点注意几点注意(1). 洛必达法则虽然是洛必达法则虽然是“高等高等的方法，但并的方法，但并不是万能的，初等的求极限的技巧和方法仍有不是万能的，初等的求极限的技巧和方法仍有用武之地。用武之地。cos2lim、xxxx + + +

13、+cos1lim1xxx + + + += =101.1+ +=133(1)1limxxx+ +、3331limxxx+ += =33331lim11.xxx+ +=下面两例就无法使用洛必达法则：下面两例就无法使用洛必达法则：(2)、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。 切记：不能切记：不能“炫耀武力炫耀武力”，一味求导。，一味求导。(3)、每次使用洛必达法则之前和之后都要注意、每次使用洛必达法则之前和之后都要注意整理表达式，以便继续使用法则整理表达式，以便继续使用法则.例

14、知 f (x) 在 (- , + ) 内可导 , 且, exf x)( lim, xfxfcxcx xxx)()(limlim1求 c 的值解 因为 xfxfx)()(lim1( 利用拉格朗日中值定理 ) ef x)( lim (介于 x-1与 x 之间 )知 c 0 又因ccxcxccxxxxecxccxcx 22221limlim于是有 ee2c c 21例设函数 f (x) 具有二阶连续导数 , 且 f (a)=0 ,ax , axxf)(ax , af)( )(xg求 , 并证明 在 x = a 处连续 .)( xg)( xg解当 x a 时 ,2)()()( )()( axxfxfaxxgaxagxgagax)()