微专题14设点、解点在解决椭圆问题中的应用

1、微专题14 设点、解点在解决椭圆问题中的应用頁題恿幣君点!I合I! :'処進灘童逋准明考血：；扣宴處真题感悟X2(2019江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: a2 +2*= 1(a>b>0)的焦点为 Fi( 1, 0), F2(1, 0).过 F2 作 x 轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2： (x 1)2 + y2= 4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E，5连接DF1.已知DF1 =刁(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 求点E的坐标.解设椭圆C的焦距为2c.因为 F1( 1, 0), F2(1, 0),

2、所以 F1F2= 2c= 2,所以 c= 1.5又因为DF1 = 2, AF2丄x轴，所以 DF2= .；df1 F1f2=因此 2a= DF1 + DF2 = 4,从而 a= 2. 由 b2= a2 c2,得 b2 = 3.2 2因此椭圆c的标准方程为4+3=1.2 2法一由(1)知，椭圆C: x4 +专=1，a = 2.因为AF2丄x轴，所以点A的横坐标为1. 将x= 1代入圆F2的方程(x 1)2+ y2= 16, 解得y= ±4.因为点A在x轴上方，所以A(1, 4).又 F1( 1, 0),所以直线 AF1: y= 2x+ 2.由 y 2x+ 2；2 得 5x2+ 6x_

3、伯=o,(x- 1) 2 + y2 16,11解得x 1或x-三.511 12 将 x- 丁代入 y2x+ 2,解得 y 5".11 12 因此B 51,卡.又 F2(1, 0),所以直线 BF2： y3(x 1).y 3 (x1)得 7x2 6x 13 0,2 21解得x1 或 x137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x 1.3 3将 x 1 代入 y4（x 1）,得 y 2.3因此 E 1， 2 .x2 y2法二由知，椭圆C： 4 + 3 1.如图，连接EF1.因为 BF2 2a, EF1+ EF2 2a,所以 EF1 EB, 从而/ BF1EZ B.因为 F2A F2B

4、，所以/ AZ B.所以/ AZ BF1E,从而 EF1 / F2A.因为AF2丄x轴，所以EF1丄x轴.x- 1,3因为 F1(1, 0),由 x2 y2 1 得 y苓4 + 3 1,3又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y 3因此 E 1， 2 .考点整合1椭圆的定义平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点P的轨迹叫做 椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距若M为椭圆上 任意一点，则有MFi + MF2 = 2a.2.椭圆的标准方程及其简单几何性质条件2a>2c, a2 b2 = c2, a>O, b>O, c>O标

5、准方程2 2字+討 1(a> b> O)2 2*+令二 1(a> b> O)图形厂J1aI范围a< x< a, b< y< bb< x< b, a< y< a对称性曲线关于x轴、y轴、原点对 称曲线关于y轴、x轴、原点对称顶点长轴顶点（±, O） 短轴顶点（O, ±）长轴顶点（O, ±i） 短轴顶点（±, O）焦占八、八、(±, O)(O, ±)焦距FF2= 2c(c2= a2 b2)离心率e=a =1 b (O, 1),其中a2 b2X2 y2、3.点P(xo,

6、 yo)和椭圆孑+詁=1(a> b>0)的关系;P(xo, yo)在椭圆内?孑+ b2< 1；X2 y0(2) P(xo, yo)在椭圆上?孑+詁=1;X2 yo(3) P(xo, yo)在椭圆外?孑+ b2> 1.热点聚焦仔类突破I>1af热点一设点、解点在解决直线与椭圆相交问题中的应用【例1】(2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆学+ b2 1(a>b>0)的离心率为 孑，且右焦点F至U左 准线I的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线I和AB 于点P，C,若PC = 2

7、AB，求直线AB的方程.c 2a2解(1)由题意，得2"且c+ = 3，a 2c解得 a= 2， c= 1，则 b= 1，2所以椭圆的标准方程为 二+宀1.当AB丄x轴时，AB= .：2,又CP= 3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时， 设直线 AB 的方程为 y= k(x 1), A(X1, y1), B(x2, y2),将AB的方程代入椭圆方程，得(1 + 2)x24k2x+ 2(k2 1) = 0,1 + 2k2则X1, 2= 2k ±5(1+ k ) , C的坐标为彳+亡，匸器，且 AB= . (x2 xi) 2+( y2 yi) 2=；(1 + k2)( x2 x

8、1)2=2© (1 + k2)1 + 2k2.若k= 0,则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意从而kM0, 故直线PC的方程为k 12k2y+ 1+ 2k2= k x 1+ 2k2，5k2 + 2则p点的坐标为-2，k( i + 2k2)，从而PC二2(:养打厂k .因为PC二2AB,所以 2(3k2 + 1 V1 + k2 = 4/2 (1 + k2)所以|k| (1 + 2k2) 1 + 2k2 ，解得k=±.此时直线AB的方程为y=x 1或y= x+ 1.探究提高(1)涉及求弦长的问题通法是联立方程组求解点的坐标，也可以利用根与系数的关系求解；涉及过焦

9、点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2) 涉及中点的问题，可考虑用 “点差法”求解.【训练1】设椭圆C：2+汾=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线I与椭 圆C相交于A，B两点，直线I的倾斜角为60° AF = 2FB.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 如果AB=字，求椭圆C的方程解 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由题意知 y1V 0，y2>0.(1) 直线I的方程为y= ,3(x c)，其中c= . a2 b2.(xc)，联立 x2 y2得(3a2 + b2)y2 + 2 3b2cy 3b4 = 0.a2+ 存=1 + 3|y2y1|，羽

10、b2 (c+ 2a) V3/ (c 2a)解得 y1=3O+2，y2=30+?.因为 AF= 2FB，所以一y1 = 2y2，3b2 (c+ 2a) ：J3b2 (c 2a)即3a2 + b2= 2 3O+2 ，得离心率e= a2 =3.因为AB=所以 215 由c 2 得 b “5所以.3 3a2 + b2= 4，由a = 3,得 b= 3 a，5 15所以&a= "4?,得 a= 3, b= '5,2 2故椭圆C的方程为X9 + y5二1.热点二 设点、解点在解决与椭圆相关的定点(定直线)问题中的应用2 2【例2】(2019如皋市高三模拟)如图，在平面直角坐标系x

11、Oy中，椭圆予+狰=1(a> b>0)过点P(2, 0),且两准线间的距离为3,3.(1) 求椭圆的方程；1(2) 已知B2, B1分别是椭圆的上、下顶点，过点 E 0,-的直线I与椭圆交于M ,N两点，直线MB2与直线NB1交于点T.1 若直线I的斜率为2,求点T的坐标； 试问点T是否在某定直线上？若在定直线上， 求出定直线方程；若不在定直线 上，请说明理由.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆过点P(2, 0),且两准线间的距离为3,3,所以 a = 2, 2XJ3,所以 a = 2, c= 3, b= a 1 1 因为直线I的斜率为2所以直线I的方程为y= 2x+2. c2=

12、 1,2所以椭圆的方程为X + y2= 1.(2) 设 M(x1, y1), N(x2, y2),y1 1则MB2的方程为y= x+ 1,y2 + 1NB1的方程为y二七厂x 1.222x2 + 2x-3= 0,+1，由11得:y= 2%+2所以xi =1 ,72 ，X2 =1 + ,7_2y1 1y= x+ 1,X1'由得:y2 + 1y=x 1X2y1 1y2+1x= 2,X2，xi2xix2所以 2X1X2 x2 3x1 1 1 2 + 2 x2 2 一 2 =1, 1=x1 (y2+ 1) x2 (y1 1)4X1X2L=34+2= 2 7-4,y=叮(2 .7 4)+ 1 =

13、X1 1牙(2.7 4) + 1= 2.即点T的坐标为(2.7- 4, 2).- 一 一 1由题意，直线I的斜率存在，设直线I的方程为y= kx+ 2,手+y2=1，由得：(1+ 4Q)x2+ 4kx 3= 0，1y= kx+4k解方程易得 kX2+ 2 X2kX1 + 2+ X2 + X1 + X2= 1+0 X1X2= 1 + 4k2.y1 1y= X1 x+1，由得:y2+1 彳y= X2 X 1xi(y2+ 1)-X2(yi 1)y= X2(yi 1) + xi(y2 + 1),X2 (y1 1)+ X1 (y2 + 1)X1y2+ X2y1 X2 + X1所以y=X1 (y2 + 1

14、) x2 (y1 1)X1y2x2y1 + x2 + x1,1, 1X1kx2+ 2+ X2kx1 + 2 X2+ X14kx1x2 + 3x1 -x2 4kx1x2 3 (x1 + x2)+ 6x1 + 2x2=3x1 + x2=3x1 + x23 4k4k2 - 32 + 6xi + 2x21 + 4k 1 + 4k=2,3x1 + X2所以点T在定直线y= 2上.探究提高 定点、定直线问题是解析几何问题的命题热点、 重点和难点，在学习 中应引起足够重视，但江苏卷这两年解析几何的命题告诉我们： 解析几何的运算很有必要回归最基本的运算，故仍然要加强解析几何的运算能力训练【训练2】(2019常

15、州期末)已知圆C: (x t)2+ y2 = 20(tv0)与椭圆E:1(a>b>0)的一个公共点为 B(0, 2), F(c, 0)为椭圆E的右焦点，直线 BF与 圆C相切于点B.(1)求t的值及椭圆E的方程；过点F任作与两坐标轴都不垂直的直线I与椭圆交于M , N两点，判断在x 轴上是否存在一定点P,使PF恰为/ MPN的平分线？解(1)由题意 b= 2,因为 C(t, 0), B(0, 2),所以 BC=”t2+ 4= 20,所以 t= ±4.又tv 0,所以t= 4.因为 BC丄BF，所以 20+ c2 + 4= (c+ 4)2,所以 c= 1,所以 a2 = b

16、2 + C = 5,2 2所以椭圆E的方程为x + y = 1.54设 M(X1, y1), N(x2, y2), l: y= k(x 1)(k0),2 2代入x+4 = 1,代简得(4 + 5k2)x2 10k2x+ 5k2 20= 0,解方程易得x1 + X2 =10k24+ 5k2,x1x25k2 20 4+ 5k2 .若点P存在，设P(m, 0)，由题意kPM + kPN= 0,所以亠+亠 二 4二2+41)二 0,xi m x2 mxi mx2 m所以(xi 1)(x2 m) + (x2 1)(x1 m)= 0,即 2xix2 (1 + m)(xi + X2)+ 2m5k2 20iO

17、k2二2+5?(i + m) osk2+2m=°，所以8m40= 0,所以m= 5.即在x轴上存在一定点P(5, 0),使PF恰为/ MPN的平分线. 热点三 设点、解点在解决与椭圆相关的存在性问题中的应用【例3】(20i9南京高三二模)已知A( 2, 0), B(2, 0),点C, D依次满足|AC|=2, At)= i(AB+ Ac).(i)求点D的轨迹；过点A作直线I交以A, B为焦点的椭圆于M , N两点，线段MN的中点到y 轴的距离为5,且直线I与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，设点Q的坐标为(1, 0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆 心的一个圆，

18、使得该圆与直线 PA, PB都相切？如存在，求出P点坐标及圆的方 程，如不存在，请说明理由解 (1)设 C(xo, yo), D(x, y)，则AC= (xo + 2, yo), AD = (x+ 2, y).又AB= (4, 0), aD=2(ab+AC),故(x+ 2, y)=多+ 3,罗，则X0 = 2x 2, yo = 2y,代入 |AC|2 =(X0+ 2)2 + y0 = 4,得 x2 + y2 = 1.所以点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆(2)设直线I的方程为y= k(x+ 2),椭圆的方程弩+ # = 1(a2 >4).a a 4由I与圆相切得:Tk2= 1, &a

19、mp;3.将代入得：(a2k2+a2 4)x° + 4a2k°x+ 4a2k2 a4 + 4a2 = 0,又 k2= 3，可得(a2 3)/ + a2x 3a4 + 4a2 = 0,有 X1, 2 =a2± 3a (a2 4)a2422( a2 3)， X1 + X2=- a2 3 = 2X 5，a = 8.22椭圆方程为8+4=1.假设存在椭圆上的一点P(xo, yo),使得直线PA, PB与以Q为圆心的圆相切, 则Q到直线PA, PB的距离相等，又A( 2, 0), B(2, 0),PB: (xo 2)y yox+ 2yo = 0,FA: (xo+ 2)y y

20、ox 2yo= 0,则 四I3yol_(xo-2) 2+( - yo) 2 寸 (xo+ 2) 2+( - yo) 2 化简整理得：x§ 5xo + 4 + yo= 0.点 P(xo, yo)在椭圆上， x§ + 2y§= 8.由解得：xo= 2或xo= 8(舍),当 xo= 2 时，yo =±.'2, r = 1,椭圆上存在点P,其坐标为(2, ：2)或(2, ;2),使得直线PA, PB与以Q为圆心的圆(x 1)2+ y2= 1相切.探究提高解析几何是通过建立平面直角坐标系，用方程的观点来研究曲线，体 现了用代数的方法解决几何问题的优越性解析

21、几何题目的难度很大程度上体现 在运算上，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚 至会中止解题的过程，达到 “望题兴叹”的地步.因此，探索减轻运算量的方法 和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程就成了突破解析几何问题的关键【训练3】(2019苏北四市调考)如图，在平面直角坐标X2 V21系xOy中，已知椭圆孑+ 皆1(a>b>0)的离心率为2,3且过点1, 2 .F为椭圆的右焦点，A, B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF, BF并延长分别交椭圆于点C, D.(1)求椭圆的标准万程；BF若AF = FC,求帀的值;(3) 设直线AB, CD的斜率分别为k1,

22、k2，是否存在实数m,使得k2= mk1 ?若存 在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题意知a2= b2 + c2,所以椭圆方程为x4+3二1.3 3若AF = FC,由椭圆对称性，知AC垂直于x轴，则A 1, 2，所以B 1，,此时直线BF的方程为3x 4y 3 = 0,3x 4y 3 = 0,由 x2 y2得 7/ 6x 13 = 0,4 + 3，13 解得x = (x= 1舍去),BFFD =1( 1)13彳71设 A(xo, yo),则 B( XO,y0),X24y031.直线AF的方程为y=J(x 1),xo 1八2 2代入椭圆方程4+£=1,得(15 6xo)

23、x2 + (6x0 24)x 15x0 + 24xo= 0.因为x = xo是该方程的一个解，所以点C的横坐标xc8 5xo5 2xo.又 C(xc, yc)在直线 y= x01 (x 1)上,所以2韵心1)=讒.同理，点D坐标为聽'熬.3y0一 3y0所以 k2= 5+20一 5一=也 5k1 所以 k 8+ 5x0 8 5x0 3x0 3k1，5+ 2x0 5 2x05 5即存在m= 3使得k2 = ki.【新题感悟】(2019 天津卷设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为春(1)求椭圆的方程；设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下

24、顶点，点 M为直线PB与x轴的交点， 点N在y轴的负半轴上，若 ON= OF(O为原点)，且OP丄MN,求直线PB的斜 率解 设椭圆的半焦距为c,依题意，2b=4, a55，又*2= b2 + c2,可得5,b = 2, c= 1.22所以椭圆的方程为X + 4 = 由题意，设 P(xp, yp)(xPM 0), M(xm , 0),直线PB的斜率为k(kM 0),y= kx+ 2,又B(0, 2),则直线PB的方程为y= kx+ 2,与椭圆方程联立xf y2整理得5 + 4 = 1，(4+ 5k2)x2 + 20kx= 0,”20k可得 xp二一 4+?，28 10k代入 y= kx+ 2

25、得 yp=2,4+ 5k进而直线OP的斜率为& 唸.k.在 y= kx+ 2 中，令 y= 0,得 xm =k由题意得N(0,1)，所以直线MN的斜率为一2.4 一 5k2k24由 OP 丄 MN，得0k 2 二一1,化简得 k2 = 242 .30从而k= ± 5 .所以直线PB的斜率为2厶30或-2 530.专sum时接高考I求毒一、填空题x2 y21. (2019南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M :孑+含=1(a>b>0)上若点A的坐标为(a，0)，B的坐标为0, |，且|bc，则椭圆M的离心率为._岑a 岑a> 3 >a+

26、22 3a2a解析设 C(X0,y°),则AB=a,3 , BC=X0,y03 ,因为AB=2BC,所以a,"32yo3 =3x0, 2yo2，得x0 3a，匸 因为点C在椭圆M上，所以5yo弋乩25 9ab2 = 1，得 a2=9b2.又因为a2 b2= c2,所以c 2 e= a= 3.2答案2X2 y222. (2019镇江一模)已知椭圆 M：孑+卡=1(a> b> 0)的离心率为-y，过其左焦点F( c, 0)的直线交椭圆M于A, B两点，若弦AB的中点为D( 4, 2),则椭圆 M的方程是.解析 设 A(X1, y1), B(x2, y2),由中点坐标

27、公式得X1 + X2= 8, y1 + y2= 4.a2+用 一1， 将A, B的坐标分别代入M的方程中得2亍+b2 一1,两式相减，化简得y1 y2 2b2x12 一孑，又因为A, B,D, F四点共线,所以2一 0 y1一 y22 b2c 4X1 x2所以 a2= b2(c 4).a2= b2 (c 4),由解得a2= 72,b2 = 36,b2 + c2= a2,c= 6,所以椭圆M的方程为2 2x y+匚一72+ 36=1.2 2答案 72+3o=13. 已知直线I交椭圆4x2 + 5y2= 80于M , N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点,若 BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，贝U

28、直线 I的方程是解析2 2由4x2 + 5y2 = 80得2；0+治一 1, 椭圆上顶点为B(0,4),右焦点F(2, 0)为厶BMN的重心，故线段 MN的中点为C(3, 2).直线I的斜率存在，设为k,2 24x2 + 5yi = 80, 点 M(xi, yi), N(x2, y2)在椭圆上,/.224x2 + 5y2= 80,yi y2 4(xi x2)(xi + X2)+ 5(yi y2)(yi + y2)= 0, ' k=xi X2-十 +対-y14- 5-4x645；直线 I 的方程为 y+ 2= 6(x 3), 即卩 6x 5y 28= 0.答案 6x 5y 28 = 0x

29、2 y22 y4已知椭圆Ci： a2 +1(a>b>0)与双曲线 C2： x24 = 1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以Ci的长轴为直径的圆相交于 A, B两点，若Ci恰好将线段AB 三等分，贝U b=.2解析 由双曲线x2-冷=1知渐近线方程为y=±x,又椭圆与双曲线有公共焦(b2+ 5) b25b2 + 20点，.椭圆方程可化为b2x2+ (b2 + 5)y2= (b2+ 5)b2，联立渐近线与椭圆方程消去 y,得x2=( 5)b，又 tCi 将线段 AB 三等分，：i+ 22x5b2 + 207=鲁，解得 b2= i.A b = 了.答案-22 25.设椭圆C:拿

30、+ *= i(a> b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，FiB与y轴相交于点D.若AD丄FiB，则椭圆C的离 心率等于.解析由题意知Fi( c, 0), F2(c, 0),其中c=“ a2 b2.因为过F2且与x轴垂b2b2直的直线为x= c,故由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A c，7 ,Bc,-.因为AB平行于y轴，且FiO= OF2，所以FiD = DB，即D为线段FiB的中点，b2a 2a所以点D的坐标为0, 2；.又AD丄FiB，所以kAD kFiB= I,即卩2ac 0单0x = I,整理得 3b2= 2ac,所以.3(a2

31、 c2) = 2ac.又 e= f, 0v ev i, c+ ca所以 3e2 + 2e 3 = 0,解得 ef.X26.（2019苏州测试）如图，已知椭圆E：4 + /= 1的右焦点为F，点B, C分别是椭圆E的上、下顶点，点P是直线I: y二一2上的一个动点（与 y轴的交点除外），直线PC交椭圆于另一个点M.记直线BM，BP的斜率分别为ki，k2,则ki k2的值为一 1 （ 2） 解析 法一 设点P（m， 2）,且m0,则直线PM的斜率k=0 m1m，贝U直线PM的方程为11 mx1,mx 1.联立 x224+y= 1，48化简得 1 + m2 X2+ mx= 0,得 M 28m 4 m

32、m2 + 4 m2 + 44 m2m + 4 2m2所以k1二 8m二m2 + 41 8m 4m，1( 2)3又k2=0 mm133所以k1k2= ；m 4=一4法二 设点M（X0, y0）（x°M0）,则直线y0+ 1PM的方程为1,令y= 2,0得点x0P y0+ 1,所以k1 =y0 1x0，k2 =2 13 (y0+ 1)x0x0y0+ 1所以ki k2 =yo 1 3 (yo+ 1)xo xo3 (y§ 1)XT3 (y§-1)4 (1 yo4'3答案一37.(2019盐城中学期初考试)已知椭圆2 21(a>b>0)的一个顶点为 B(

33、0, b).右焦点为F,直线BF与椭圆的另一交点为 M ,且BF = 2FM ,则该椭圆的离心率为.解析 设F(c, 0),贝U直线BF的方程为*+ b= 1,即bx+ cy bc= 0.bx+ cy bc= 0,联立 x2 y2得(a2 + c2)x2 2a2cx= 0,02+ Z2= 1,a b解方程得xm2a2 ca2 + c2.因为 BF = 2FM，所以 2FM ,2a2 cc所以 c= 2(xm c)，即 2xm = 3c,所以 2X = 3c,可得 e=- = 7.a2 + c2a 3答案2 28.如图，已知椭圆C1：拿+ *= 1(a>b>0)和圆 C2： x2 +

34、 y2 =r2都过点P( 1, 0),且椭圆C1的离心率为三°,过点P作斜率为k1, k2的直线分别交椭圆C1、圆C2于点A, B, C, D,且k1=入k,若直线BC恒过定点Q(1, 0),贝U A 解析 因为椭圆过点P( 1, 0),所以a= 1,又椭圆的离心率为 于，所以c=w°, 则 b2= 1?=?,故 C1： x+2=1, 又由题意得圆C2： x2 + y2= 1.由x2 + y2= 1与y= ki(x+ 1)联立，消去y得(k1+ 1)x2+ 2kix+ k2-1= 0,1-k2ki+ 1,2k1k2+11-2k2同理可得C斗2k22 k2+ 11-k2解得x

35、=-1 或 x= k1+ 1,k2+1所以21-k2-12 k2+ 1-1-2k2玮-1因为B, C, Q三点共线,2k12k2解得 k1 = 2k2，故=2.答案2、解答题9.(2019苏北七市高三一模)如图，在平面直角坐标系/ 2中，椭圆孑+冷=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为 上顶点为B.1V2(1)已知椭圆的离心率为2线段AF中点的横坐标为"2，求椭圆的标准方程;已知 ABF外接圆的圆心在直线y=- x上，求椭圆的离心率e的值.2 2 1解 因为椭圆字+狰=1(a>b>0)的离心率为2，c 1 所以-=j则a = 2c.a 2因为线段AF中点的横

36、坐标为 宁，所以岂二今.所以 c=2,则 a2 = 8, b2= a2-c2 = 6.(2)因为 A(a, 0), F(-c, 0),所以线段AF的中垂线方程为:a c x=又因为 ABF外接圆的圆心C在直线y= x上,a ca c r所以，一丁 .因为 A(a, 0), B(0, b),所以线段AB的中垂线方程为:b a a y 2二 bx 2 .由C在线段AB的中垂线上,整理得，ac ab+ bc b2= 0,即(b c)(a+ b) = 0.因为a+ b>0,所以b = c.c所以椭圆的离心率e= a =cyJ2；b2+ c2二兀10.(2019苏北四市高三期末)在平面直角坐标系xOy中，已知Fi, F2分别为椭圆2 2拿+ *= 1(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆经过点 A(2, 0)和点(1, 3e),其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；过点A的直线I交椭圆于另一点B,点M在直线I上，且0M = MA.若MF1丄BF2, 求直线I的斜率.解(1)因为椭圆经过点A(2, 0)和点(1, 3e),a= 2,19c2所以y+a胃二1, a a bb2 + c2= a2.-x2 y2解得a = 2, b= 3, c=