矩阵特征值计算ppt课件

1、第八章矩阵特征值计算计算方法 幂法与反幂法幂法与反幂法本章内容本章内容n 特征值根本性质特征值根本性质n 幂法与反幂法幂法与反幂法n 正交变换与矩阵分解正交变换与矩阵分解n QR 方法方法本讲内容本讲内容n 特征值根本性质特征值根本性质n 幂法幂法n 幂法的加速幂法的加速n 反幂法反幂法特征值性质特征值性质A x = x( C, x 0 )l 性质性质(1) q 特征值与特征向量特征值与特征向量 ()()AxxAI xx (2) kkAxxA xx (3) 11 , , BPAP AxxByyyPx (4) 假设假设 A 对称，那么存在正交矩阵对称，那么存在正交矩阵 Q，使得，使得12diag

2、(,)TnQ AQ 圆盘定理圆盘定理定理：定理：(Gerschgorin 圆盘定理圆盘定理) 设设 是是 A 的特征值，的特征值，那么那么i=1, 2, . , n设设 A=(aij)Rnn ，记，记1,C |niiiijjj iDaa Gerschgorin 圆盘圆盘1niiD 假设有假设有 m 的圆盘相互连通，且与其它圆盘都不相连，那么的圆盘相互连通，且与其它圆盘都不相连，那么这这 m 个圆盘内恰好包含个圆盘内恰好包含 m 个特征值。个特征值。Rayleigh 商商定理：设定理：设 A 是是 n 阶实对称矩阵，其特征值为阶实对称矩阵，其特征值为那么对恣意非零向量那么对恣意非零向量 x，有有

3、1(, )( , )nAx xx x100(, )(, )max, min( , )( , )nxxAx xAx xx xx x 12n 且且l 称为矩阵称为矩阵 A 关于关于 x 的的 Rayleigh 商。商。(, )( )( , )Ax xR xx x(1) 任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对对 k = 1, 2, . ，直到收敛，计算，直到收敛，计算 幂法幂法l 计算矩阵的主特征值按模最大及其特征向量计算矩阵的主特征值按模最大及其特征向量假设：假设：(1) |l l1| |l l2| |l ln| 0(2) 对应的对应的 n 个线

4、性无关特征向量为：个线性无关特征向量为：x1, x2, ., xn计算过程：计算过程：q 幂法乘幂法，幂迭代幂法乘幂法，幂迭代1kkvAv 幂法的收敛性幂法的收敛性l 收敛性分析收敛性分析012112(0) nnvxxx 10111222nnnvAvxxx 1111222kkkkknnnvAvxxx 21112211kkknnnxxx 111kx 设设21 越小，收敛越快越小，收敛越快幂法的收敛性幂法的收敛性当当 k 充分大时，有充分大时，有111kkvx 11111kkvx 11kkvv 又又1kkvAv 1kkAvv 11kjkjvv ( j =1, 2, . , n )vk 为为 1 的

5、近似特征向的近似特征向量量幂法的收敛性幂法的收敛性定理：设定理：设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征值个线性无关的特征向量，其特征值满足满足那么由幂法生成的向量满足那么由幂法生成的向量满足11111()lim, lim()kjkkkkkjvvxv 123nl 注：幂法的收敛速度取决于注：幂法的收敛速度取决于 的大小的大小21 幂法幂法111kkvx 1| 1, 1|10, | 改良方法：规范化改良方法：规范化1, kkkkkvuvAuv 1kkvAv l 幂法中存在的问题幂法中存在的问题11limkkxux 幂法幂法l 1 的计算的计算1limkkv 00kkkkkvA vuvA v

6、 1111112101011121knkiiikikkkknkiiiixxAvvAuA vxx 改良的幂法改良的幂法定理：设定理：设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征个线性无关的特征向量，其特征值满足值满足那么由改良的幂法生成的向量满足那么由改良的幂法生成的向量满足111lim, limkkkkxuvx 123n(1) 任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对对 k = 1, 2, . ，直到收敛，计算，直到收敛，计算 q 改良的幂法改良的幂法1, kkkkkvuvAuv 举例举例例：用改良的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的例：用改

7、良的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量特征向量 ex81.m1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 幂法的加速幂法的加速幂法的收敛速度取决于幂法的收敛速度取决于 的大小的大小21r 当当 r 接近于接近于 1 时，乘幂法收敛会很慢！时，乘幂法收敛会很慢！q 幂法的加速：原点平移法幂法的加速：原点平移法令令 B = A pI，那么，那么 B 的特征值为：的特征值为：l li - p选择适当的选择适当的 p 满足：满足：(1) ( j = 2, . , n )1| |jpp 2211maxjj npp (2)用幂法计算矩阵用幂法计算矩阵 B 的主特征值：的主特征值：1

8、 - p坚持主特征值坚持主特征值加快收敛速度加快收敛速度带位移的幂法带位移的幂法举例举例例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取的特征向量，取 p=0.75 ex82.m1.01.00.51.01.00.250.50.252.0A 反幂法反幂法l 计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量假设：假设：(1) |l l1| |l l2| |l ln-1| |l ln| 0q 反幂法反幂法(2) 对应的对应的 n 个线性无关特征向量为：个线性无关特征向量为：x1, x2, ., xn A-1 的特征

9、值为：的特征值为：1211111nn 对应的特征向量依然为对应的特征向量依然为 x1, x2, ., xnl 反幂法：对矩阵反幂法：对矩阵 A-1 运用幂法运用幂法反幂法反幂法定理：设定理：设 A 有有 n 个线性无关的特征向量，其特征个线性无关的特征向量，其特征值满足值满足那么由反幂法生成的向量满足那么由反幂法生成的向量满足1lim, limnkkkknnxuvx 1210nn (1) 任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对对 k = 1, 2, . ，直到收敛，计算，直到收敛，计算 q 反幂法反幂法11, kkkkkvuvuvA 反幂法的

10、加速反幂法的加速反幂法的收敛速度取决于反幂法的收敛速度取决于 的大小的大小1nnr 当当 r 接近于接近于 1 时，反乘幂法收敛会很慢！时，反乘幂法收敛会很慢！可以运用原点平移法对反幂法进展加速可以运用原点平移法对反幂法进展加速问题：如何选择参数问题：如何选择参数 p ？离离 n 越近越好但不能相等越近越好但不能相等Rayleigh 商加速商加速q Rayleigh 商加速商加速(1) 任取一个非零向量任取一个非零向量 v0，要求满足，要求满足 (x1,v0) 0 (2) 对对 k = 1, 2, . ，直到收敛，计算，直到收敛，计算 11(,), (,)kkkkkkkkkkkvuAuAp Iupvu uvu limnkknxux (,)(,)lim(,)(,)kknnnkkknnuAuxAxu uxx 几点注记几点注记l 带位移的反幂法中需求计算带位移的反幂法中需求计算 11kkkApvuI 1kkku