D10习题课曲线曲面积分ppt课件

1、习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 线面积分的计算 第十章 定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式各种积分之间的联系各种积分之间的联系联络1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系( )( )( )( )( )baf x dxF bF aF xf x牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系()()LDQPdxdyPdxQdyLxy沿 的正向格林公式格林公式3.

2、三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式梯度梯度uuugraduijkxyz通量通量旋度旋度环流量环流量PQRdivAxyzPdydzQdzdxRdxdy ()()()RQPRQProtAijkyzzxxyPdxQdyRdz 散度散度（三场论初步（三场论初步一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下

3、限第一类: 下小上大第二类: 下始上终机动 目录 上页 下页 返回 完毕 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(cos: arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算,:L)20( txaoyrda22cosaaxttyasin2t那么tyxsdd22 tad2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 练习: P184 3 (1)ttad)cos1 ( P184 3(3). 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的

4、一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 摆线演示旋轮线旋轮线Cycloid也叫摆线。一个半径为也叫摆线。一个半径为 a 的圆的圆在在x轴上滚动时，圆上一个点的轨迹就是旋轮线轴上滚动时，圆上一个点的轨迹就是旋轮线 一拱一拱两拱两拱zoyx1P184 3(6). 计算其中由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd)cos1 (cos42022221

5、221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 计算计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用对称性利用对称性(区域中区域中x,y,z地位相地位相同同) , 有有szsysxddd22

6、2利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx(的重心在原点)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 计算计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令令,22xyQyxP那么xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线

7、或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)考虑考虑:(2) 假设 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加辅助线段机动 目录 上页 下页 返回 完毕 L是上半圆思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (22

8、22y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo计算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆时针方向.ABABL练习题练习题: P184 题题 3(5) ; (与前例类似与前例类似)3(5).机动

9、目录 上页 下页 返回 完毕 P185 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P185 10. 求力沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.

10、利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 设三角形区域为 , 方向向上,那么zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2nBAzyxCo23yxDyxdd33机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思思 考考

11、题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zyxo练习练习:P185 题题4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面2

12、22yxRz的上侧.且取下侧 , 提示提示: 以半球底面以半球底面0原式 =3323R032RP185 题题4(2) , P185 题题 9 同样可利用高斯公式计算同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算为辅助面, 利用机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134考虑考虑: 此题此题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提

13、示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (思想类似于P146-例4)曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. .解解由对称性由对称性 LLdsyxz

14、dsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参参数数方方程程为为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 2121I例例5. 设设 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数取足够小的正数, 作曲面作曲面取下侧 使其包在 内, 2为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21ozyx取上侧, 计算,

15、 )0( z那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. 计算曲面积分计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xzoy例例7.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴

16、正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记记 为平面为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD公式 目录 上页 下页 返回 完毕 Dyxyxdd)6(2Dxyo11D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 轮换(转)对称性 例如: 平面积分区域关于 x=y 对称回忆如 f(x,y)=f(y,x), 则在xy区域上加倍 如 f(x,y)=-f(y,x), 则积分为0推广到三元函数

17、的积分推广到三元函数的积分:空间区域关于变量, ,x y z是轮换对称的xyz即作替换,xy yz zx后不变;如果被积函数也是轮换对称的, (1)(2)( , , )( , , )( , , )f x y zf y z xf z x y即,例如, 前例中 为曲线02222zyxazyx利用轮换对称性, 有szsysxddd2222222211d()dd33xsxyzsas 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd3从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,xyz例例. 设设S 是球面是球面1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: