有理数复习题解析

1、有理数复习提纲知识点：L有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数m/n (m, n都是整数，且nWO)的 形式。有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。无限 不循环小数称之为无理数(例如：圆周率n)2、在具有相反意义的一对量中，一种量用正数表示，一种量用负数表示。在正数前面加上“一”号(读作负号)；有的时候在正数前面加上“ + ”号(读作正号)以强 调它是正数。例如：正数5写作+ 5,但通常把“ + ”号省略不写。注意：负数前的“一”号不能省略，所有的数都带有符号，小学学习得数为正数(小学阶段 正号一般不写)。3、0既不是正数，也不是负数。4、负数都小

2、于0,正数都大于0,负数小于正数。5、0和负数统称为非正数，。和正数统称为非负数，有理数包括：(1)自然数：数0, 1，2, 3,叫做自然数.(2)正整数：+1, +2, +3,叫做正整数。(3 )负整数：-1, 2, 3,叫做负整数。(4)整数：正整数、0、负整数统称为整襄-(5)分数：正分数、负分数统称为分数。(6)奇数：不能被2整除的整数叫做鱼数。如-3, -1, 1, 5等。所有的奇数都可用2nT 或2n+l表示，n为整数。(7)偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2, 0, 4, 8等。所有的偶数都可用2n表示， n为整数。(8)质数：如果一个大于1的整数，除了 1和它本身外，没有其

3、他因数，这个数就称为质 数，乂称素数，如2, 3, 11, 13等。2是最小的质数。(9)合数：如果一个大于1的整数，除了 1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合 数，如4, 6, 9, 15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。第二种:有理数的分类: 第一种：'正整数整数4 0有理数I负整数正有理数4有理数0正整数正分数-8-'正分数负分数负有理数,负整数负分数基础练习将下列各数填入适当的括号内先 5, -3, p 8.9, 19, 一彳，-3.14, 一 9, 0, 2：正数集合:负数集合:整数集合:分数集合:正有理数集合：（）负有理数集合：（）非负数集合：（2某

4、种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 0二:【数轴】1 .规定了、的直线，叫数轴。2 .任何一个有理数都可以在数地上表示。3 .数轴上的点所代表的数从左向右越来越大。小 大11»-h 0a画数轴时要尺规作图，不能手画。基础练习1如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A B -«>C '11D 11:'-12345-10123-1 -2012-2 -10122在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用号连接起来。4, -|-2|,-4.5,1,03

5、下列语句中正确的是（）A数轴上的点只能表示整数B数轴上的点只能表示分数C数轴上的点只能表示有理数D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来4、比一3大的负整数是:已知m是整数且-4<m<3,则m为 。有理数中，最大的负整数是，最小的正整数是o最大的非正数是O与原点的距离为三个单位的点有_一个，他们分别表示的有理数是_和5、在数轴上点A表示-4,如果把原点0向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是（）A.-5, B. -4C.-3 D. -2兰、1相反数】像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0 。一般地：若a为任一有理数，则

6、a的相反数为-a1、相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点(除。外)分别在原点0的两边，并且到原点的距离相等。2、互为相反数的两个数，和为0。基础练习1、-5的相反数是； - (-8)的相反数是； - + (-6)=0的相反数是；a的相反数是 ；的相反数的倒数是22、若a和b是互为相反数，则a+b=()A. -2a B .2b C. 0 D.任意有理数3、(1)如果 a=-13,那么一a=:(2)如果-a=-5. 4,那么 a=：(3)如果一x=-6,那么 x=：(4) x = 9,那么 x=.4、已知a、b都是有理数，且a=a, b=-b、，则ab是()A.负数；B.正数；C负数或零；D.

7、非负数 【倒数】1>。没有倒数；2、。的倒数是, a3、倒数等于它本身的数是_1和-1_相反数等于它本身的数是_0_绝对值等于它本身的数是一非负数(0和正数)_例：已知。力互为相反数，C/互为倒数，的绝对值时2,求式子_一_-/ + ?的值m四、【绝对值】一般地，数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作I a I.一个正数的绝对值是;一个负数的绝对值是它的°伫电心力是-【任一个有理数a的绝值】用式子表示就是:(1)当 a 是正数(g|J a>0)时，I a I =a:(2)当a是负数(即a<0)时，|q|二-a (为正数)：(3)当 a=0 时,I a |

8、 二 0.基础练习1 1-8|=。-1-51=。绝对值等于4的数是 o2绝对值等于其相反数的数一定是()A.负数B.正数 C.负数或零D.正数或零则无二；卜兄二7,则37绝对值不大于11的整数有()A. 11个 B. 12个 C. 22个 D. 23个五二 rw理统运算】有理数加减法做题步骤：L观察算式，优先计算括号中的算法(当括号中只有一个数时不用去括号)。2 .判断符号。当算式中出现两个或两个以上符号作用于一个数字时要先判断符号,对只有一个符号的照抄写下 来。判断符号法则同号得正、异号得负。3 .在数轴上进行数的合并。1 .有理数加法法则有三条：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值

9、相加；有理数加减法法则口诀记法 先定符号，再计算， 同号相加不变号； 异号相加“大”减“小”, 符号跟着“大数”跑； 减负加正不混淆。(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符 号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两 个数相加得0。(3) 一个数同0相加，仍得这个数。2.注意事项：1.在算式中二定要分清表示数的正、负的性质符号和表示加 法运算的运算符号，并用括号分开。如： (-2) + (+5)、(+2) + (-5)、(一2) + (-5)等 o(2)可以证明，加法的交换律，加法的结合律在有理数范围内仍然成立，因此，利用有理数加法的运算律，有时可使计算简化。利用有

10、理数的加法运算律，可使计算简化，一般可考虑以下儿点：把相加得零的数结合；把相加得整数的数结合；分数相加时.，同分母分数结合； 把符号相同的数结合。(二)、有理数的减法1 .已知两个有理数的和及其中一个加数，求另一个加数的运算叫做有理数的减法由于有理数的减法是加法的逆运算，因此，求两个有理数的差，依据定义可转化为有理数的加法.例如计算例2) - (-7) .解：设(-2)-(-7)内,则x+(-7)=-2.(想一想：什么数加上(-7)等于-2呢?) V (+5) + (-7)二一2, . x=5 即(-2)-(一7)二5.2 .有理数减法的运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.注意：(1

11、)依据有理数减法法则进行减法运算的关键是如何正确地根据法则将减法转变为加法，再按有理数的加法法则计算，特别是这里有两个符号的变化，即将运算符号(减号)变为“ + "(加号) 的同时，改变减数的性质符号(使减数变成它的相反数).有理数乘法法则针对有理数的正负性及其相乘时负因数的个数不同,有理数的乘法法则分为以下几条:有理数乘除法法则，同号得，异号得 绝对值相乘(除)。乘.注意法则1：两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相一是符号的确定法则；二是数字的处理法则：占(1)确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零，只有非零的两数相乘才 能使用此法则；(2)数字处理是在符

12、号确定后进行的，其方法与小学里一样；(3)不要与加法法则混为一谈，错误理解为“同号取原来的符号”，如把(-2) X (-3)错误的做成“取 “奇负偶正”的应用1、如下符号的化简(指负号的 个数与结果符号的关系)，如：-+-(-2)= -22、连乘式的积(指负因数的个 数与结果符号的关系)，如：(-1) X (-2) X (-3) X (+4) =-24 (-1) X (-2) X (-3) X (-4) =243、负数的乘方(指乘方的指数与 结果符号的关系)，如：(-2) 3 =-8, (-3)三 94、分数的*号法则(指的是分 子、分母及分数本身三个符号 中，同时改变两个，值不变，但 改变一

13、个或三个都改变时，分数 的值就变相反了)，如：原来的符号'-'"，再把绝对值相乘,得-6.法则2：任何数与零相乘，都得零.法则3：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负; 当负因数的个数有偶数个时，积为正。例如，(-3) (-2) (-8),负因数的个数是3,为奇例 所以积为负，因此，(-3) (-2) (-8) =-3X2X8=48； 乂如，(-3) (-2) (+8),负因数的个数是2,为偶数,所以积为正,因此，(-3) (-2) (+8) =3X2X8=48.法则4：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。用字母可简单表示

14、为:OXaXb=O。如(-28)亦为78)X0X91=0.1 .乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。乘法交换律可用字母简单表示为：ab=bao2 .乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。乘法结合律可以用组合简单表示为：abc= (ab) c=a (bc)o乘法交换律和结合律可以推广为：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先 把其中几个数相乘，积都不变。3 .乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 四、有理数的除法(1)法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数(2)符号确定：两数相除，同号得正，异

15、号得负，并把绝 对值相除。(3) 0除以任何一个非零数，等于0； 0不能作除数！分数乘除法1、分数乘整数，分母不变，分子乘整数，最后要化成 最简分数。例 1： 4/5X3=4X3/5=12/5例 2： 3/22X2=3X2/22=6/22=3/112、分数乘分数，用分子乘分子，用分母乘分母，最后 要化成最简分数。例 1： 5/6 X1/3=5 X1/6 X 3=5/18例 2： 2/5X1/4=2X1/5X4=2/20=1/103、分数除以整数，分母不变，如果分子是整数的倍数， 则用分子除以整数，最后要化成最简分数。例 1： 4/152=44-2/15=2/15例 2： 42/304-7=42

16、4-7/30=6/30=1/54、分数除以整数，分母不变，如果分子不是整数的倍 数，则用这个分数乘这个整数的倒数，最后要化成最简分 数。例 1： 3/8 2=3/8 X 1/2=3 X 1/8 X 2=3/16例 2： 4/54-6=4/5 X1/6=4 X1/5 X 6=4/30=2/155、分数除以分数，等于被除数乘除数的倒数，最后不是最简分数要化成最简分数。例 1： 2/3+ 3/4=2/3 X 4/3=2 X 4/3 X 3=8/9例 2： 2/154-1/3=2/15X3=2X3/15=6/15=2/5求几个相同因数的积的运算，叫做有理数的乘方。即：aFaa (有n个a)五、有理数的

17、加减乘除混合运算：1、有乘方先计算乘方运算2、没乘方时先计算括号中的算法（当括号中只有一个数时不用去括号）。3、先乘除，乘除时其他符号和数都不变注意乘除的数的符号，结果添加括号。4、再加减，从左向右一步一步计算。易错点（1）正法有交换律、结合律；乘法有交换律、结合律、分配律；但是减法和除法均没有以上规律。（2）不注意乘除的数，不考虑运算顺序。（3）注意认准乘方的底数。22，（一2尸 ，（一2?），一（一2）27?3（-I）3，-注意认准底数!基础练习1 .若附>0, « <0,则有（）.A.也一司 > 0 b.冽+% > 02 .如果（口+】y+M-iy=o,

18、那么2（。一切的值为（）.A. 0 B. 4 C. -4 D. 23 .代数式1-2）2+3取最小值时，"值为（）.92001 . / 920024 .计算卜十卜所得结果为（A. a 二 0 B. &=2 c. &二一2 D.无法确定).A. 2 B. 2M C. 22m22oo2二、填空题（每题4分，共24分）1 .有理数混合运算的顺序是.2 .已知幽为有理数，则加 0, 4+1 0, -加2_2 0.（填“>”、“V”或 "N"=）的立方等于一 8.3 .平方得16的有理数是4 . (1-2)(3-4)(5- 6)(99- 100)=.5

19、 . 一个负数减去它的相反数后，再除以这个负数的绝对值，所得商为.三、解答题(每题4分，共24分)1.计算24+6-1x32-(-)x0-(-2-)15x(-1 + 1)-24x()(1)3；(2) 325 ；(3)5 312 15 ;(一令七36)包导(/21-2-4 + (l-x0.6)-(-3)-l+-(l-0.5)x-x2-(-3)2(5)3； (6)3(一产 x l +2.计算：(一°?)-22-(-3)平(-1严、6吗21 + (-3.当A为奇数时，计算2” 的值+dab (a + DS + l) (6/+ 2)(/?+ 2)如果有理数a,b满足| ab-2 | +(1

20、-b):=0试求+的值(” + 2007)3 + 2007)5已知同工3, /?2=4,且求 的值0六、【科学记数法】【近似数及有效数字】把一个大于10的数记成a X1(T的形式(其中a是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.对一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有 效数字。基础练习1用科学记数数表示：1305000000=； -1020=.2以 水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示万.一3* 120万用科学记数法应写成； 2.4万的原数是 .4九 近似数3. 5万精确到 位，有 个有效数字.5近似数0.4062精确到,

21、有 个有效数字.6支5.47X10$精确到 位，有 个有效数字7.3.4030X1()5保留两个有效数字是 ,精确到千位是.8某数有四舍五入得到3. 240,那么原来的数一定介于 和 之间.9用四舍五入法求30951的近似值(要求保留三个有效数字)，结果是.有理数运算的实际应用:例L某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工 时所走路线(单位：千米)为:+10, -3, +4, +2, -8, +13, -2, +12, +8, +5。(1)问收工时距A地多远？(2)若每千米路程耗油0. 2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？分析：(1)求收工时距A地多远，

22、应求出己知10个有理数的和，若和为正数，则此和是在A地前 面距A地的路程；若和为负数，则此和的绝对值是在A地后面距A地的路程。(2)要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可。解：(1) (+10) + (-3) + (+4) + (+2) + (-8) + (+13) + (-2) + (+12) + (+8) + (+5)=+2+ (2) + (-8) + (+8) + (+10+4+13+12+5) + (-3)=0+0+44+(-3)=41(千米);(2)(1+101 + 1-31 + 1+41 + |+21 + 1-81 + 1+131 + 1-2

23、11 + 1+121 + 1+81 + 1+51)X0. 2=67X0. 2=13. 4(升)答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13. 4升。例2.股民老王上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每天该股票的涨跌 情况(单位：元)星期四五每星期涨跌+3+5.5-1-3.5-5(1)星期三收盘时，每股是多少元？(2)本周内最高价是每股多少元?最低价是每股多少元？(3)已知老王买进股票时付了 1. 5%。的手续费，卖出时需付成交额1. 5%。的手续费和1%。的交易税, 如果老王在星期五收益时将全部股票卖出，他的收益情况如何？解：(1) 27+(+3) + 氏5

24、) + (-1)=34.5 (元)答：星期三收盘时，每股是34. 5元(2)本周内最高股价为：27+(+3)+ (+5. 5)=35. 5 (元)最低股价为:27+(+3) + (+5.5) + (-1) + (-3.5) + (-5)=26 (元)答：本周内最高价是每股为：35. 5元，最低价每股26元(3)周五的股价是：27+(+3) + 什5.5) + (-1) + (-3.5) + (-5)=26 (元)老王上周五买进股票时共付金额：27X 1000+27X 1000X 1. 5%o=27040. 5 (元)本周五收盘时老王拥有金额：26X 1000-26 X 1000 X (1. 5%