陕西咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(理科)试题(含答案)

1、咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(理科)试题注意事项：L本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2 .答卷前，考生须准确填写自己的姓名,准考证号，并认真核准条形码上的姓名、 准考证号:3 .第1卷选择题必须使用2£铅笔填涂，第“卷非选择题必须使用0.5毫米黑色 墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4 .考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设z-1 = 2i+l,则2=()A. 2+ib. 2-iC. -2+：d. -2-i【答案】B【解析】

2、【分析】在等式z3 = 2Z+l的两边同时除以i,利用复数的除法法则可求出复数z.2i+l 21-i1 . z = 2-i详解Z 1 = 21+1, . i i故选 B.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.2 .已知集合/邛”则”叫，5 = (x,y)|y = x+l)则-8中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】/nx表示歹=下与=”+1的交点个数，由函数图象可确定交点个数，进而得到结果.【详解】由 = 2*与，="+1图象可知，两函数图象有两个交点，如下图所示：故选：b【点隋】本题考查集合运算中的交集运算，关

3、键是明确交集表示的含义为两函数交点个数,通过数形结合的方式可得到结果.3.在平面直角坐标系中，°为坐标原点,，若用绕点0逆时针旋转60°得b.(u)I 2，-T D. I以与“轴夹角为30'°夕与x轴夹角为90。A（。，1）便-112 ' 2C.>【答案】A【解析】【分析】 由后坐标可确定其与X轴夹角，进而得到而与X轴夹角,根据模长相等可得到坐标国=| 网=1,-.cg = (O,l)【点隋】本题考查向量旋转后坐标的求解问题，关键是能够确定向量与工轴的夹角的大小, 进而根据模长不变求得向量.4.已知贝U ()A |1-咐1-切c ga<

4、lg£>【答案】C【解析】【分析】 通过反例可否定4况根据对数函数单调性可确定C正确.【详解】若° = 1,办=2Z中，=。叫=1,则"小心/错误； 晔出4. © W, MB错误,C中，P = lgx在(。+8)上单调递增二当5>。>0时，lgb>lg。，C正确;1.11 1 1刀中，0, b 2,则a b,。错误.故选s C【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到时数函数单调性的应用，属于 基础题.5.椭圆“一叼'二1的一个焦点坐标为(。一&),则实数加=()2222A. 3b. 5C. 3d, 5

5、【答案】D【解析】【分析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数m的方程，解出即可.T 1二【详解】椭圆的标准方程为2 m ,由于该椭圆的一个焦点坐标为（。一&）,则-1-1 = 2m 2,2 m 解得 5.故选K D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要 注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.6.A4BC的内角4况C的对边分别为乌瓦。，若冬孔。既是等差数列又是等比数列，则角耳 的值为（）A. 30°B, 45°C. 60D, ""【答案】C【解析】【分析】由等差中项

6、和等比中项定义可得到4瓦,的关系，代入余弦定理中可求得cos与，进而得到 结果.【详解】由题意得，2b = a+cf "=acn o2 十，-分（a+cV-lac-b1 痔一 3必 1由余弦定理得，2/2劝2 3二 5 = 60°故选：C【点隋】本题考查余弦定理解三角形的问题，涉及到等差中项和等比中项的应用，属于基础 题.7.如因，直三棱柱/BC-44G中，AAX =AB = AC = BC则异面直线明和g所成 角的余弦值为（）【答案】D【解析】【分析】利用三角形中位线性质平行移动/4至8 ,在g°G中利用余弦定理可求得csNOg ，根据异面直线所成角的范围可知所

7、求的余弦值为1cos00GL【详解】连接4c交BG于点0,取ZC中点。，连接85ii.AA.=AB = AC = BC = 2仅 1:三棱柱ABC - 44G为直三棱柱 二四边形BCCA为矩形mDO = -AB. =-y/44 = 2二0 为4c 中点. . DO/JABi 旦22 3=7i71=后.一OC.=-BC.=y/21 21二 cos ZD0G2+2-51=2x0xS 4二异面直线和万G所成角的余弦值为|casZDOC；|故选：D【点暗】本题考查异面直统所成角的求解，关键是能够通过平移将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题；易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成所求余弦值符号

8、错误.11yw o,一8 .函数产二11*,在2句中随机取一个数x,使2的概率为（）【答案】c【解析】【分析】根据正弦函数的图象可确定时X的取值范围，进而根据几何概型可求得结果.【详解】当5乃6时,兀31二所求概率一兀_3故选：C【点暗】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到根据正弦函数的函数值求解自变量的取 值范围.9 .已知工+2>=孙>0,>>0）,则为十7的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】-+ A =12x+p =（2x + y） - + 由己知等式得到x y ，利用lx >1可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不

9、等式求得最小值.2 1 1 一十 = 1详解由x$2p =初得，x y.-.2x+ =（2x + y）f- + il = 5 + + >5 + 2 1=9- =lx y） y x Vv x（当且仅当y犬，即” 二 Pe寸取等号）;.2x+p的最小值为9故选：B【点隋】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子 进行应用，配凑成符合基本不等式的形式._ .c2 :y = cos| ix-|10.已知曲线j二,=.才，12 3人则下面结论正确的是（）1万A.把G上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移三个单位长度，得到曲线GB.把G上各

10、点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲战向右平移5个单 位长度，得到曲线GC.把G上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1个单 位长度，得到曲线GD.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移5个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】 根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正 确选项.J*【详解】Z中，将 = 0血、横坐标缩短到原来的5倍得： = sin2x；向右干移5个单位长y = sin 2(x 1 = sin /2x - -1 = sinf2x- - -1 = -cos(2

11、x 1度后得：V 3)3)2 6) I 6人/错误；Xy = smx耳中，将y=smx横坐标伸长到原来的2倍得s2 .向右平移3个单位长度后得:JT，3错误;c中，将y = sinx横坐标缩短到原来的2倍得，P = sin2x；向左平移不个单位长度后得,，C错误;p = sin 2 1 + ：）='加+ 与）=疝1 （笈 + F + 今）=00s3c+Jy = smxO中，将P = sin”横坐标伸长到原来的2倍得：2 .向左平移3个单位长度后y = sinifx + l = sinfix + 1 =-f-x + ll=cosfix-1得： 2( 3)(2 6)2(2 6JJ (2 3

12、人。正确故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关健是能够准确掌握变换原则, 得到变换后的函数解析式.1L设了)为R上的奇函数，满足/(2一乃=/(2+唠，且当(14x42时，Ax) = 则/0) + /(2)+/(3)+ -+/(100)=()A. 2e + 2e2B 5(te + 50e2c 100e+100e2D -2e-2e2【答案】A【解析】【分析】由/(2t) = /(2+x)可得对称轴，结合奇偶性可知/。)周期为8；可将所求式子通过周 期化为/0)+/(2)+/(3)+/(4),结合解析式可求得函数值.【详解】由/(2一%)=/(2+句得：/(”)关于x=2对

13、称又/(*)为K上的奇函数./(”)是以8为周期的周期函数+/(8) = /(1)+/(2)+/(4)+/(-1)+/(-2)+/(T) = 0且 1)+/( 2)+3)+/(4) = 2e+2二/。)+/(2)+/(100)=12/。)+/(2)+/(8)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)= 2e+2e2故选8 4【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用 奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.c _i12 .己知双曲线 9°力°）的两个焦点分别为4,耳，以斗弓为直径的圆交 双曲线C于P,0,M,N四点，且四边

14、形PQW为正方形，则双曲线C的离心率为（ ）A 2 yjib.q 2+d. -y2+/5【答案】D【解析】【分析】设P、0、财、N分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出P隹/】I? 2 ）,将点P的坐标代入双曲线C的方程，即可求出双曲线C的离心率.【详解】设双曲线C的焦距为2c（。0）,设尸、0、M、N分别为第一、二、三、四象 限内的点， 由双曲线的对称性可知，点尸、°关于y轴对称，尸、M关于原点对称，尸、N关于x轴兀 N） P C»C对称，由于四边形P0MN为正方形，则直线尸”的倾斜角为彳，可得I2 2 J22C2C1将点p的坐标代入双曲线C的方程得切 力一，

15、即M 2（1-，），/ ，T设该双曲线的高心率为好1）,则2 2（/T），整理得/-4，+ 2 =。，解得4=2 +收，因此，双曲线C的离心率为42+垃.故选：D.【点暗】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查 计算能力，属于中等题.第II卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13 .曲线P=x In x在点&O）处的切线的方程为.【解析】 【分析】 对/G)求导，带入x=l得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.详解；y=x.lnx=lnx + x- = lnx+l x带入x = l得切线的斜率比=1,

16、二切线方程为yo=ix(%_i),整理得x_p_i=o 【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方 程.难度不大，属于简单题.b=14 己知 cosG+s而2x = /Wn(wx+0)+仪Z>0,3>0b则/ =.V51A = b=【答案】(1).2(2).2【解析】【分析】根据已知条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式对式子co/x + s加2x进行化简成Zs加(wx + g)+b形式，即可求出/、b的值.2. 一 COS2X+1 . ". C 1 C 1cos x+sin2x =+sin2x =sin2x + -cos2x +

17、 sin(2x + + g =亭 sin ( 2r ”)+g222【详解】/_'51A -9 D所以 22/6 无1A = b=故答案为； 2 ；2【点隋】本题考查了二倍角余弦公式、两角和正弦公式，属于较易题.15 .如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函 数”.试写出一万工的一个“同域函数”的解析式为.【答案】9=牙-3, ”eL2（答案不唯一）【解析】【分析】由解析式可求得函数定义域；根据函数单调性确定函数的值域；根据“同域函数''的定义写 出一个符合题意的函数即可.Jx-10【详解】由12T之。得：l<x<2.二&#

18、39;=在彳一万I的定义域为也可又p 二石二1 一万G为定义域内的增函数值域为卜L1二产，三五一耳的一个“同域函数”为尸2、-3, “小2故答案为：> =2、-3, "«L2（答案不唯一）【点暗】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值 域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.16 .秦九韶是我国古代的数学家，他的数书九章概括了末元时期中国传统数学的主要成 就.秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为，个一次式的算法，其大大简化了 计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算 法，

19、在西方被称作霍纳算法./W = * + 4产 +* +aix + a0改写成以下形式：/W = 4/ + % +%2/2 + +牛 + 4=8产 +% +4 产 +-+4）X + 4 +-aix+a2jx+aix+a0 二（4%+- ）x+*）x+- + 4）x+4若/（x） =（2 +招）/+（1+/*+（1+道卜-1 则/（2-6）=【答案】0【解析】【分析】利用霍纳算法依次计算”=（2+6卜+（1+6）,町=华+（1 +州-在x = 2-出处的取值，由此可得出/（2一/）=吗，从而得出结果.t详解】由霍纳算法可知，当工=2-石时，珏=（2+倒2-石）+（1+）=2+抬，匕二（26）乂 +

20、（1 +6）=（2抬）（2+、行）+（1+括）=2+屿因此，2-君）=（2-6"-1=（2-冲2+6）-1=0故答案为I【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能 力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17.如豳长方体”48-4464中，笈是4G的中点，/'=zwc=巡=1.（I）求证：平面O4G1平面"CC14； （n）求二面角。一胡-G的余弦值.迫【答案】（I）证明见解析；（n）3 .【解析】【分析】（I）由长方体特点知与&工平面加£4,根据面面垂

21、直判定定理证得结论;（II）以马为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.【详解】(I):/'c0 一 44G4是长方体 二4G ,平面。CG4又4G u平面04G.-.平面DBici,平面DCCiA.(id以4为坐标原点，以44、4G、A。所在直线分别为轴、9轴、z轴，建立 空间直角坐标系，如图所示：。(0,0,1) 4(LZ0)笈(0,L0).二反=(0,lT 函=(LL0)设平面刀匠4的一个法向量为 DE n = 0 fy0-z0=O由函/=0得：(x0+y0=O 令z0=l 则=1 %=1.G=(LL1)又平面 叫G的一个法向量他=(a<u)<

22、<.cos<n9DlD >=迫二面角"一朝G是钝二面角二二面角。一即一G的余弦值为3【点暗】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到 面面垂直的判定定理的应用；关健是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是忽略所求二 面角的范围，造成求解错误.318.甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为彳，且各人是否 答对每道题互不影响.(I)用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(n)设幺为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件/发生的概率.135P（J）=【答案】（I）见解析；（n）汹8.【解析

23、】【分析】（I）确定X所有可能的取值，由二项分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此得到分布列和数学期望；（D）将事件4分成“甲答对2道，乙答对题°道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情 况，结合（I）中所求概率，根据独立事件概率公式计算可得结果.【详解】（I）x所有可能的取值为&LZ3P-。）=（力'&呼叫=喘）用啧联遥P-3）冏吟E（X）=Ox ,数学期望64+1x2 + 2x%3x?Z 646464 4二X的分布列为X0123192727P64646464（n）由题意得：事件Z “甲比乙答对题目数恰好多2”发生 即：“甲答对2道，乙答对题°道

24、”和“甲答对3道，乙答时题1道”两种情况135-204827 1 27 9*(/) =x1x 64 64 64 64【点隋】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求解、独立事件概率问题的求解； 关键是能够明确随机变量服从于二项分布，进而利用二项分布概率公式求得每个取值所对应 的概率，属了常考题型.19 .己打数列低的前项和为q,且满足工"么一方一乂女黑）.(I )求证：数列""+2是等比数列；(n)求数列+2)的前项和.【答案】证明见解析；(n) I55)2+5.【解析】【分析】(I)令 =1,利用4=占可求得 =3；当时，利用/=SS"整理可得4+

25、2=2(%+2),从而证得结论,(n)由可得依+2的通项公式，从而求得(4+ 2)=5”.尸，利用错位相减法求 得结果【详解】令"=1,4二科二叫一七解得，4=3当之2且wN*时，,“ 二四-2/11 $.=勿*-2?1+1=SSi =以一201 一2 即 4 = 21 +2.”“+2 = 2(%+2),依+2是以.+2 = 5为首项，2为公比的等比数列(H)由知，4 + 2=5犷1./1( + 2)=5« 2*4设数列"(""+2)的前项和为I7；=5x2°+10x2,+15x22 + .-+5(«-1)-22 +5n-2

26、n-l.-.27； = 5x21+10x22+15x23+ .-+5(n-l)-2,"1+5n-2n,.7 n2(1-2n)-T =5-5n-2w + 5x(21+22+ - + 21| = 5-5n-2ff+5x-iL两式作差得：'J1-2=5一5»2" + 52元-10 = (5一5)2"-5.Tn=(5n-5)2n+5【点暗】本题考查根据4与、关系、递推关系式证明数列为等比数列、错位相减法求解数 列的前项和的问题,关键是能够熟练掌握数列求和的方法，当数列的通项公式为等差与等 比的乘枳的形式时，选择错位相减法来求和.20 .已知八"

27、)=炉，g(x) = M("2)/和g(力的导函数分别为，(*)和g'(*),令Mx)=，(")一g'(x), 判断M")在(2hx)上零点个数；(n)当"-2时，证明/(x)>g(“).【答窠】(D网外在(一&*°)内有且只有一个零点,(n)证明见解析.【解析】【分析】(D由导函数可得""2("> 2),可知人在(一2同上单调递增；利用零点存在定理可确定岭)在(TO)内存在唯一零点，即在(-2词内有且只有一个零点，.二 1(n)令H(x)=/(x)-(x),由牙(/)=

28、6;可得%+2,根据中结论可得函M -u( "=国电_>0数单调性，利用单调性确定"I町一一"(飞人代入整理可得-%+2,从而证得结论.【详解】 Q，(x)f 式')=+2-2)一网x)=+(x>-2)_1_Qy=与工+2在(-2")上单调递增.,(”)在(一2十8)上单调递增vA(-l) = l-l<0 ft(O)=l-l = l>O二叫一的丫 (T。)使得3)=。二岭)在(一2 +°°)内有且只有一个零点(n)令"(x) = /(x)-g(»"-皿"2)贝产9

29、为由(I)可知:存在/'(一皿使得Xq+2，即:x0+2当xy一Z%)时 ZfW<0,日(X)单调递减；当时，HXx)>Q "(X)单调递增2二虫")_ = "(、) =/-皿/+ 2)=*+飞= +3=>。(”)> g(“)【点隋】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到零点存在定理的应用、利用导数求解函 数的单调性、函数最值的求解问题；利用导数证明不等关系的关键是能够通过构造函数的方 式将问默转化为函数最值的求解问题，通过验证最值所处的范围证得结论.21.如医，过抛物线°二/二8x的焦点尸的直线交抛物线C于不同两点4&#

30、174;, p为抛物线上 任意一点(与43不重合)，直线R&m分别交抛物线的准线/于点(I)写出焦点尸的坐标和准线I的方程；(n)求证：【答案】(D尸(Z。)，x = -2? (n)证明见解析.【解析】【分析】(D根据抛物线方程即可直接得到焦点坐标和准线方程；(n)设48方程为“一2=叼(女及)，与物物线方程联立可得歹也利用直线两点式方.二.九+取程得到直线尸8方程，整理可得乃十% ，代入工=-2即可求得N点坐标，同理可得M点坐标；根据向量数量积运算，可整理得到两司，二°,由此得到垂直关系.【详解】（I）由抛物线方程知：焦点“（2°）,准线为：工=-2令尸0缶%）/

31、（若，弘），见。，%）x-2 = my_ V=8x 消去得：/-W-16 = 0 则必为=一16y-y0 = x-x0直线"方程为：月一稣/一飞2、_ 为一% y %y = y2y°(x-x0)+y0 左%I 8 J:.N -2/2I 为+% )即 "588当 =-2 时， y2+yQ4#九二6、同理得：I 弘+。.而t应i、I %+%）前=3型i、H+Po ),而 市=16 月比一16乂必%16_16（pi+%）（必+%）+（为丹 16）（必先一16） 丹十九 /+稣（%+%）（%+%）16必为 +16* + %£ +256 16(-1司 + 16兄

32、+(-16沈 +256 供十%)(必+为)仇+%)(弘+%)J.FNLFM:MF INF【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，重点考查了垂直关系的证明问题；证明垂直关系的关键是能够将问题转化为平面向量数量积等于零或两直线斜率乘积为-1;解决此类 问题的常用方法是直统与抛物统方程联立，通过韦达定理的结论代入所证式子中进行整理得 到结果.(二)选考题：共10分，考生从2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡,上将所选题目对应的题号涂黑.x = 2>j3cosp<22.在直角坐标系X。中，曲线C的参数方程&加0(,为参数)，直线/的参数方程x = y3+tcosaP = l+fsina （f 为参数）.(1)求曲线C在直角坐标系中的普通方程;(2)以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线I所得线段的中点极坐标为时，求直线/的倾斜角.【答案】（1） 124. （2） 6【解析】【分析】(1)消去参数/后化简整理即可